Theorem ipiiie0 42127

Description: The multiplicative inverse of i (per i4 14203) is also its additive inverse. (Contributed by SN, 30-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ipiiie0	⊢ (i + (i · (i · i))) = 0

Proof of Theorem ipiiie0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-it1ei 42126	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
2	1	eqcomi 2734	. . 3 ⊢ i = (i · 1)
3		reixi 42112	. . . 4 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
4	3	oveq2i 7430	. . 3 ⊢ (i · (i · i)) = (i · (0 −ℝ 1))
5	2, 4	oveq12i 7431	. 2 ⊢ (i + (i · (i · i))) = ((i · 1) + (i · (0 −ℝ 1)))
6		ax-icn 11199	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
7		ax-1cn 11198	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		1re 11246	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		rernegcl 42061	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
11	10	recni 11260	. . 3 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℂ
12	6, 7, 11	adddii 11258	. 2 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = ((i · 1) + (i · (0 −ℝ 1)))
13		renegid 42063	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 + (0 −ℝ 1)) = 0)
14	8, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 + (0 −ℝ 1)) = 0
15	14	oveq2i 7430	. . 3 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = (i · 0)
16		sn-it0e0 42105	. . 3 ⊢ (i · 0) = 0
17	15, 16	eqtri 2753	. 2 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = 0
18	5, 12, 17	3eqtr2i 2759	1 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7419  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141  ici 11142   + caddc 11143   · cmul 11145   −_ℝ cresub 42055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285  df-2 12308  df-3 12309  df-resub 42056

This theorem is referenced by:  sn-0tie0  42129  sn-inelr  42155