Theorem ipiiie0 42888

Description: The multiplicative inverse of i (per i4 14161) is also its additive inverse. (Contributed by SN, 30-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ipiiie0	⊢ (i + (i · (i · i))) = 0

Proof of Theorem ipiiie0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-it1ei 42887	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
2	1	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ i = (i · 1)
3		reixi 42873	. . . 4 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
4	3	oveq2i 7373	. . 3 ⊢ (i · (i · i)) = (i · (0 −ℝ 1))
5	2, 4	oveq12i 7374	. 2 ⊢ (i + (i · (i · i))) = ((i · 1) + (i · (0 −ℝ 1)))
6		ax-icn 11092	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
7		ax-1cn 11091	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		1re 11139	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		rernegcl 42821	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
11	10	recni 11154	. . 3 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℂ
12	6, 7, 11	adddii 11152	. 2 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = ((i · 1) + (i · (0 −ℝ 1)))
13		renegid 42823	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 + (0 −ℝ 1)) = 0)
14	8, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 + (0 −ℝ 1)) = 0
15	14	oveq2i 7373	. . 3 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = (i · 0)
16		sn-it0e0 42866	. . 3 ⊢ (i · 0) = 0
17	15, 16	eqtri 2760	. 2 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = 0
18	5, 12, 17	3eqtr2i 2766	1 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034  ici 11035   + caddc 11036   · cmul 11038   −_ℝ cresub 42815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-2 12239  df-3 12240  df-resub 42816

This theorem is referenced by:  sn-0tie0  42914