Theorem ipiiie0 42760

Description: The multiplicative inverse of i (per i4 14131) is also its additive inverse. (Contributed by SN, 30-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ipiiie0	⊢ (i + (i · (i · i))) = 0

Proof of Theorem ipiiie0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-it1ei 42759	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
2	1	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ i = (i · 1)
3		reixi 42745	. . . 4 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
4	3	oveq2i 7371	. . 3 ⊢ (i · (i · i)) = (i · (0 −ℝ 1))
5	2, 4	oveq12i 7372	. 2 ⊢ (i + (i · (i · i))) = ((i · 1) + (i · (0 −ℝ 1)))
6		ax-icn 11089	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
7		ax-1cn 11088	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		1re 11136	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		rernegcl 42693	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
11	10	recni 11150	. . 3 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℂ
12	6, 7, 11	adddii 11148	. 2 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = ((i · 1) + (i · (0 −ℝ 1)))
13		renegid 42695	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 + (0 −ℝ 1)) = 0)
14	8, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 + (0 −ℝ 1)) = 0
15	14	oveq2i 7371	. . 3 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = (i · 0)
16		sn-it0e0 42738	. . 3 ⊢ (i · 0) = 0
17	15, 16	eqtri 2760	. 2 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = 0
18	5, 12, 17	3eqtr2i 2766	1 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031  ici 11032   + caddc 11033   · cmul 11035   −_ℝ cresub 42687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-2 12212  df-3 12213  df-resub 42688

This theorem is referenced by:  sn-0tie0  42773