Theorem ipiiie0 42467

Description: The multiplicative inverse of i (per i4 14243) is also its additive inverse. (Contributed by SN, 30-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ipiiie0	⊢ (i + (i · (i · i))) = 0

Proof of Theorem ipiiie0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-it1ei 42466	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
2	1	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ i = (i · 1)
3		reixi 42452	. . . 4 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
4	3	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (i · (i · i)) = (i · (0 −ℝ 1))
5	2, 4	oveq12i 7443	. 2 ⊢ (i + (i · (i · i))) = ((i · 1) + (i · (0 −ℝ 1)))
6		ax-icn 11214	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
7		ax-1cn 11213	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		1re 11261	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		rernegcl 42401	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
11	10	recni 11275	. . 3 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℂ
12	6, 7, 11	adddii 11273	. 2 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = ((i · 1) + (i · (0 −ℝ 1)))
13		renegid 42403	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 + (0 −ℝ 1)) = 0)
14	8, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 + (0 −ℝ 1)) = 0
15	14	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = (i · 0)
16		sn-it0e0 42445	. . 3 ⊢ (i · 0) = 0
17	15, 16	eqtri 2765	. 2 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = 0
18	5, 12, 17	3eqtr2i 2771	1 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   −_ℝ cresub 42395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-2 12329  df-3 12330  df-resub 42396

This theorem is referenced by:  sn-0tie0  42469  sn-inelr  42497