Theorem ipiiie0 43052

Description: The multiplicative inverse of i (per i4 14219) is also its additive inverse. (Contributed by SN, 30-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ipiiie0	⊢ (i + (i · (i · i))) = 0

Proof of Theorem ipiiie0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-it1ei 43051	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
2	1	eqcomi 2773	. . 3 ⊢ i = (i · 1)
3		reixi 43037	. . . 4 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
4	3	oveq2i 7409	. . 3 ⊢ (i · (i · i)) = (i · (0 −ℝ 1))
5	2, 4	oveq12i 7410	. 2 ⊢ (i + (i · (i · i))) = ((i · 1) + (i · (0 −ℝ 1)))
6		ax-icn 11134	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
7		ax-1cn 11133	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		1re 11183	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		rernegcl 42985	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
11	10	recni 11198	. . 3 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℂ
12	6, 7, 11	adddii 11196	. 2 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = ((i · 1) + (i · (0 −ℝ 1)))
13		renegid 42987	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 + (0 −ℝ 1)) = 0)
14	8, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 + (0 −ℝ 1)) = 0
15	14	oveq2i 7409	. . 3 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = (i · 0)
16		sn-it0e0 43030	. . 3 ⊢ (i · 0) = 0
17	15, 16	eqtri 2787	. 2 ⊢ (i · (1 + (0 −ℝ 1))) = 0
18	5, 12, 17	3eqtr2i 2793	1 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0

Syntax hints:   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080   −_ℝ cresub 42979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-2 12282  df-3 12283  df-resub 42980

This theorem is referenced by:  sn-0tie0  43078