Theorem cnreeu 42480

Description: The reals in the expression given by cnre 11237 uniquely define a complex number. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnreeu.r	⊢ (𝜑 → 𝑟 ∈ ℝ)
cnreeu.s	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℝ)
cnreeu.t	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℝ)
cnreeu.u	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
cnreeu	⊢ (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢)))

Proof of Theorem cnreeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7417	. . . 4 ⊢ ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) → ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))
2	1	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) → ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))))
3		cnreeu.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑟 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑟 ∈ ℂ)
5		ax-icn 11193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
7		cnreeu.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulcld 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑠) ∈ ℂ)
10		rernegcl 42381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑠) ∈ ℝ)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝑠) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝑠) ∈ ℂ)
13	6, 12	mulcld 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (i · (0 −ℝ 𝑠)) ∈ ℂ)
14	4, 9, 13	addassd 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = (𝑟 + ((i · 𝑠) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))))
15		renegid 42383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0)
16	7, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑠 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0)
17	16	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (i · (𝑠 + (0 −ℝ 𝑠))) = (i · 0))
18	6, 8, 12	adddid 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (i · (𝑠 + (0 −ℝ 𝑠))) = ((i · 𝑠) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))
19		sn-it0e0 42425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · 0) = 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (i · 0) = 0)
21	17, 18, 20	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑠) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = 0)
22	21	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑟 + ((i · 𝑠) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = (𝑟 + 0))
23		readdrid 42419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → (𝑟 + 0) = 𝑟)
24	3, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑟 + 0) = 𝑟)
25	14, 22, 24	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = 𝑟)
26	25	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟))
27		cnreeu.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℝ)
28		rernegcl 42381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑡) ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝑡) ∈ ℝ)
30	29	recnd 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝑡) ∈ ℂ)
31	27	recnd 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℂ)
32		cnreeu.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ ℝ)
33	32	recnd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ ℂ)
34	6, 33	mulcld 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑢) ∈ ℂ)
35	30, 31, 34	addassd 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) = ((0 −ℝ 𝑡) + (𝑡 + (i · 𝑢))))
36	35	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = (((0 −ℝ 𝑡) + (𝑡 + (i · 𝑢))) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))
37		sn-addlid 42414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝑢) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑢)) = (i · 𝑢))
38	34, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 + (i · 𝑢)) = (i · 𝑢))
39	38	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((0 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = ((i · 𝑢) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))
40		renegid2 42423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) = 0)
41	27, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) = 0)
42	41	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) = (0 + (i · 𝑢)))
43	42	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = ((0 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))
44	6, 33, 12	adddid 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))) = ((i · 𝑢) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))
45	39, 43, 44	3eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))))
46	31, 34	addcld 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 + (i · 𝑢)) ∈ ℂ)
47	30, 46, 13	addassd 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝑡) + (𝑡 + (i · 𝑢))) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))))
48	36, 45, 47	3eqtr3rd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))))
49	26, 48	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) ↔ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))))
50	49	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))) → ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))))
51		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))))
52	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → 𝑢 ∈ ℝ)
53	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (0 −ℝ 𝑠) ∈ ℝ)
54	52, 53	readdcld 11269	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) ∈ ℝ)
55	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (0 −ℝ 𝑡) ∈ ℝ)
56	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
57	55, 56	readdcld 11269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) ∈ ℝ)
58	51, 57	eqeltrrd 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))) ∈ ℝ)
59		sn-itrere 42478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) ∈ ℝ → ((i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))) ∈ ℝ ↔ (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0))
60	59	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))) ∈ ℝ) → (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0)
61	54, 58, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0)
62	61	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))) = (i · 0))
63	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (i · 0) = 0)
64	51, 62, 63	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0)
65		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0 → (𝑡 + ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟)) = (𝑡 + 0))
66	65	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → (𝑡 + ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟)) = (𝑡 + 0))
67		renegid 42383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡 + (0 −ℝ 𝑡)) = 0)
68	27, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 + (0 −ℝ 𝑡)) = 0)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → (𝑡 + (0 −ℝ 𝑡)) = 0)
70	69	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → ((𝑡 + (0 −ℝ 𝑡)) + 𝑟) = (0 + 𝑟))
71	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
72	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → (0 −ℝ 𝑡) ∈ ℂ)
73	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → 𝑟 ∈ ℂ)
74	71, 72, 73	addassd 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → ((𝑡 + (0 −ℝ 𝑡)) + 𝑟) = (𝑡 + ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟)))
75		readdlid 42413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → (0 + 𝑟) = 𝑟)
76	3, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑟) = 𝑟)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → (0 + 𝑟) = 𝑟)
78	70, 74, 77	3eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → (𝑡 + ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟)) = 𝑟)
79	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
80		readdrid 42419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡 + 0) = 𝑡)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → (𝑡 + 0) = 𝑡)
82	66, 78, 81	3eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → 𝑟 = 𝑡)
83	64, 82	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → 𝑟 = 𝑡)
84	33, 12, 8	addassd 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) + 𝑠) = (𝑢 + ((0 −ℝ 𝑠) + 𝑠)))
85		renegid2 42423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑠) + 𝑠) = 0)
86	7, 85	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝑠) + 𝑠) = 0)
87	86	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑢 + ((0 −ℝ 𝑠) + 𝑠)) = (𝑢 + 0))
88		readdrid 42419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢 + 0) = 𝑢)
89	32, 88	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑢 + 0) = 𝑢)
90	84, 87, 89	3eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) + 𝑠) = 𝑢)
91		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0 → ((𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) + 𝑠) = (0 + 𝑠))
92	90, 91	sylan9req 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0) → 𝑢 = (0 + 𝑠))
93		readdlid 42413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (0 + 𝑠) = 𝑠)
94	7, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑠) = 𝑠)
95	94	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0) → (0 + 𝑠) = 𝑠)
96	92, 95	eqtr2d 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0) → 𝑠 = 𝑢)
97	61, 96	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → 𝑠 = 𝑢)
98	83, 97	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢))
99	50, 98	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))) → (𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢))
100	99	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) → (𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢)))
101	2, 100	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) → (𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢)))
102		id 22	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → 𝑟 = 𝑡)
103		oveq2 7418	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (i · 𝑠) = (i · 𝑢))
104	102, 103	oveqan12d 7429	. 2 ⊢ ((𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢) → (𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))
105	101, 104	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  ici 11136   + caddc 11137   · cmul 11139   −_ℝ cresub 42375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-2 12308  df-3 12309  df-resub 42376

This theorem is referenced by: (None)