Theorem cnreeu 40359

Description: The reals in the expression given by cnre 10903 uniquely define a complex number. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnreeu.r	⊢ (𝜑 → 𝑟 ∈ ℝ)
cnreeu.s	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℝ)
cnreeu.t	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℝ)
cnreeu.u	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
cnreeu	⊢ (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢)))

Proof of Theorem cnreeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7262	. . . 4 ⊢ ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) → ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))
2	1	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) → ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))))
3		cnreeu.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑟 ∈ ℝ)
4	3	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑟 ∈ ℂ)
5		ax-icn 10861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
7		cnreeu.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℝ)
8	7	recnd 10934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulcld 10926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑠) ∈ ℂ)
10		rernegcl 40275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑠) ∈ ℝ)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝑠) ∈ ℝ)
12	11	recnd 10934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝑠) ∈ ℂ)
13	6, 12	mulcld 10926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (i · (0 −ℝ 𝑠)) ∈ ℂ)
14	4, 9, 13	addassd 10928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = (𝑟 + ((i · 𝑠) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))))
15		renegid 40277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0)
16	7, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑠 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0)
17	16	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (i · (𝑠 + (0 −ℝ 𝑠))) = (i · 0))
18	6, 8, 12	adddid 10930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (i · (𝑠 + (0 −ℝ 𝑠))) = ((i · 𝑠) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))
19		sn-it0e0 40318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · 0) = 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (i · 0) = 0)
21	17, 18, 20	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑠) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = 0)
22	21	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑟 + ((i · 𝑠) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = (𝑟 + 0))
23		readdid1 40313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → (𝑟 + 0) = 𝑟)
24	3, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑟 + 0) = 𝑟)
25	14, 22, 24	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = 𝑟)
26	25	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟))
27		cnreeu.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℝ)
28		rernegcl 40275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑡) ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝑡) ∈ ℝ)
30	29	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝑡) ∈ ℂ)
31	27	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℂ)
32		cnreeu.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ ℝ)
33	32	recnd 10934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ ℂ)
34	6, 33	mulcld 10926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑢) ∈ ℂ)
35	30, 31, 34	addassd 10928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) = ((0 −ℝ 𝑡) + (𝑡 + (i · 𝑢))))
36	35	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = (((0 −ℝ 𝑡) + (𝑡 + (i · 𝑢))) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))
37		sn-addid2 40308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝑢) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑢)) = (i · 𝑢))
38	34, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 + (i · 𝑢)) = (i · 𝑢))
39	38	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((0 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = ((i · 𝑢) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))
40		renegid2 40317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) = 0)
41	27, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) = 0)
42	41	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) = (0 + (i · 𝑢)))
43	42	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = ((0 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))
44	6, 33, 12	adddid 10930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))) = ((i · 𝑢) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))
45	39, 43, 44	3eqtr4d 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((0 −ℝ 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))))
46	31, 34	addcld 10925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 + (i · 𝑢)) ∈ ℂ)
47	30, 46, 13	addassd 10928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝑡) + (𝑡 + (i · 𝑢))) + (i · (0 −ℝ 𝑠))) = ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))))
48	36, 45, 47	3eqtr3rd 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))))
49	26, 48	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) ↔ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))))
50	49	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))) → ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))))
51		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))))
52	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → 𝑢 ∈ ℝ)
53	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (0 −ℝ 𝑠) ∈ ℝ)
54	52, 53	readdcld 10935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) ∈ ℝ)
55	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (0 −ℝ 𝑡) ∈ ℝ)
56	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
57	55, 56	readdcld 10935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) ∈ ℝ)
58	51, 57	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))) ∈ ℝ)
59		itrere 40357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) ∈ ℝ → ((i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))) ∈ ℝ ↔ (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0))
60	59	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))) ∈ ℝ) → (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0)
61	54, 58, 60	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0)
62	61	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠))) = (i · 0))
63	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (i · 0) = 0)
64	51, 62, 63	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0)
65		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0 → (𝑡 + ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟)) = (𝑡 + 0))
66	65	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → (𝑡 + ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟)) = (𝑡 + 0))
67		renegid 40277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡 + (0 −ℝ 𝑡)) = 0)
68	27, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 + (0 −ℝ 𝑡)) = 0)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → (𝑡 + (0 −ℝ 𝑡)) = 0)
70	69	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → ((𝑡 + (0 −ℝ 𝑡)) + 𝑟) = (0 + 𝑟))
71	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
72	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → (0 −ℝ 𝑡) ∈ ℂ)
73	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → 𝑟 ∈ ℂ)
74	71, 72, 73	addassd 10928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → ((𝑡 + (0 −ℝ 𝑡)) + 𝑟) = (𝑡 + ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟)))
75		readdid2 40307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → (0 + 𝑟) = 𝑟)
76	3, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑟) = 𝑟)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → (0 + 𝑟) = 𝑟)
78	70, 74, 77	3eqtr3d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → (𝑡 + ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟)) = 𝑟)
79	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
80		readdid1 40313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡 + 0) = 𝑡)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → (𝑡 + 0) = 𝑡)
82	66, 78, 81	3eqtr3d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = 0) → 𝑟 = 𝑡)
83	64, 82	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → 𝑟 = 𝑡)
84	33, 12, 8	addassd 10928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) + 𝑠) = (𝑢 + ((0 −ℝ 𝑠) + 𝑠)))
85		renegid2 40317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑠) + 𝑠) = 0)
86	7, 85	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝑠) + 𝑠) = 0)
87	86	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑢 + ((0 −ℝ 𝑠) + 𝑠)) = (𝑢 + 0))
88		readdid1 40313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢 + 0) = 𝑢)
89	32, 88	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑢 + 0) = 𝑢)
90	84, 87, 89	3eqtrd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) + 𝑠) = 𝑢)
91		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0 → ((𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) + 𝑠) = (0 + 𝑠))
92	90, 91	sylan9req 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0) → 𝑢 = (0 + 𝑠))
93		readdid2 40307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (0 + 𝑠) = 𝑠)
94	7, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑠) = 𝑠)
95	94	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0) → (0 + 𝑠) = 𝑠)
96	92, 95	eqtr2d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)) = 0) → 𝑠 = 𝑢)
97	61, 96	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → 𝑠 = 𝑢)
98	83, 97	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 −ℝ 𝑠)))) → (𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢))
99	50, 98	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠))))) → (𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢))
100	99	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) = ((0 −ℝ 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 −ℝ 𝑠)))) → (𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢)))
101	2, 100	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) → (𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢)))
102		id 22	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → 𝑟 = 𝑡)
103		oveq2 7263	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (i · 𝑠) = (i · 𝑢))
104	102, 103	oveqan12d 7274	. 2 ⊢ ((𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢) → (𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))
105	101, 104	impbid1 224	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝑟 = 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑢)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807   −_ℝ cresub 40269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-2 11966  df-3 11967  df-resub 40270

This theorem is referenced by: (None)