Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnreeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnreeu 39580
Description: The reals in the expression given by cnre 10631 uniquely define a complex number. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cnreeu.r (𝜑𝑟 ∈ ℝ)
cnreeu.s (𝜑𝑠 ∈ ℝ)
cnreeu.t (𝜑𝑡 ∈ ℝ)
cnreeu.u (𝜑𝑢 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
cnreeu (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝑟 = 𝑡𝑠 = 𝑢)))

Proof of Theorem cnreeu
StepHypRef Expression
1 oveq1 7146 . . . 4 ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) → ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 − 𝑠))) = ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 − 𝑠))))
21oveq2d 7155 . . 3 ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) → ((0 − 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 − 𝑠)))) = ((0 − 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 − 𝑠)))))
3 cnreeu.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑟 ∈ ℝ)
43recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑟 ∈ ℂ)
5 ax-icn 10589 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ ℂ
65a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → i ∈ ℂ)
7 cnreeu.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑠 ∈ ℝ)
87recnd 10662 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑠 ∈ ℂ)
96, 8mulcld 10654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (i · 𝑠) ∈ ℂ)
10 rernegcl 39496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (0 − 𝑠) ∈ ℝ)
117, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 − 𝑠) ∈ ℝ)
1211recnd 10662 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 − 𝑠) ∈ ℂ)
136, 12mulcld 10654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (i · (0 − 𝑠)) ∈ ℂ)
144, 9, 13addassd 10656 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 − 𝑠))) = (𝑟 + ((i · 𝑠) + (i · (0 − 𝑠)))))
15 renegid 39498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 + (0 − 𝑠)) = 0)
167, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑠 + (0 − 𝑠)) = 0)
1716oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (i · (𝑠 + (0 − 𝑠))) = (i · 0))
186, 8, 12adddid 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (i · (𝑠 + (0 − 𝑠))) = ((i · 𝑠) + (i · (0 − 𝑠))))
19 sn-it0e0 39539 . . . . . . . . . . . 12 (i · 0) = 0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (i · 0) = 0)
2117, 18, 203eqtr3d 2844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((i · 𝑠) + (i · (0 − 𝑠))) = 0)
2221oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑟 + ((i · 𝑠) + (i · (0 − 𝑠)))) = (𝑟 + 0))
23 readdid1 39534 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ → (𝑟 + 0) = 𝑟)
243, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑟 + 0) = 𝑟)
2514, 22, 243eqtrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 − 𝑠))) = 𝑟)
2625oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 − 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 − 𝑠)))) = ((0 − 𝑡) + 𝑟))
27 cnreeu.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑡 ∈ ℝ)
28 rernegcl 39496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ → (0 − 𝑡) ∈ ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 − 𝑡) ∈ ℝ)
3029recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 − 𝑡) ∈ ℂ)
3127recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑡 ∈ ℂ)
32 cnreeu.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑢 ∈ ℝ)
3332recnd 10662 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑢 ∈ ℂ)
346, 33mulcld 10654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (i · 𝑢) ∈ ℂ)
3530, 31, 34addassd 10656 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((0 − 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) = ((0 − 𝑡) + (𝑡 + (i · 𝑢))))
3635oveq1d 7154 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((0 − 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) + (i · (0 − 𝑠))) = (((0 − 𝑡) + (𝑡 + (i · 𝑢))) + (i · (0 − 𝑠))))
37 sn-addid2 39529 . . . . . . . . . . 11 ((i · 𝑢) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑢)) = (i · 𝑢))
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + (i · 𝑢)) = (i · 𝑢))
3938oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((0 + (i · 𝑢)) + (i · (0 − 𝑠))) = ((i · 𝑢) + (i · (0 − 𝑠))))
40 renegid2 39538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ → ((0 − 𝑡) + 𝑡) = 0)
4127, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0 − 𝑡) + 𝑡) = 0)
4241oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((0 − 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) = (0 + (i · 𝑢)))
4342oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((0 − 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) + (i · (0 − 𝑠))) = ((0 + (i · 𝑢)) + (i · (0 − 𝑠))))
446, 33, 12adddid 10658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (i · (𝑢 + (0 − 𝑠))) = ((i · 𝑢) + (i · (0 − 𝑠))))
4539, 43, 443eqtr4d 2846 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((0 − 𝑡) + 𝑡) + (i · 𝑢)) + (i · (0 − 𝑠))) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠))))
4631, 34addcld 10653 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 + (i · 𝑢)) ∈ ℂ)
4730, 46, 13addassd 10656 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((0 − 𝑡) + (𝑡 + (i · 𝑢))) + (i · (0 − 𝑠))) = ((0 − 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 − 𝑠)))))
4836, 45, 473eqtr3rd 2845 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 − 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 − 𝑠)))) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠))))
4926, 48eqeq12d 2817 . . . . . 6 (𝜑 → (((0 − 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 − 𝑠)))) = ((0 − 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 − 𝑠)))) ↔ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))))
5049biimpa 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 − 𝑠)))) = ((0 − 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 − 𝑠))))) → ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠))))
51 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠))))
5232adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → 𝑢 ∈ ℝ)
5311adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → (0 − 𝑠) ∈ ℝ)
5452, 53readdcld 10663 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → (𝑢 + (0 − 𝑠)) ∈ ℝ)
5529adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → (0 − 𝑡) ∈ ℝ)
563adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5755, 56readdcld 10663 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → ((0 − 𝑡) + 𝑟) ∈ ℝ)
5851, 57eqeltrrd 2894 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → (i · (𝑢 + (0 − 𝑠))) ∈ ℝ)
59 itrere 39578 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 + (0 − 𝑠)) ∈ ℝ → ((i · (𝑢 + (0 − 𝑠))) ∈ ℝ ↔ (𝑢 + (0 − 𝑠)) = 0))
6059biimpa 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 + (0 − 𝑠)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑢 + (0 − 𝑠))) ∈ ℝ) → (𝑢 + (0 − 𝑠)) = 0)
6154, 58, 60syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → (𝑢 + (0 − 𝑠)) = 0)
6261oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → (i · (𝑢 + (0 − 𝑠))) = (i · 0))
6319a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → (i · 0) = 0)
6451, 62, 633eqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → ((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0)
65 oveq2 7147 . . . . . . . . 9 (((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0 → (𝑡 + ((0 − 𝑡) + 𝑟)) = (𝑡 + 0))
6665adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0) → (𝑡 + ((0 − 𝑡) + 𝑟)) = (𝑡 + 0))
67 renegid 39498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡 + (0 − 𝑡)) = 0)
6827, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 + (0 − 𝑡)) = 0)
6968adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0) → (𝑡 + (0 − 𝑡)) = 0)
7069oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0) → ((𝑡 + (0 − 𝑡)) + 𝑟) = (0 + 𝑟))
7131adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
7230adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0) → (0 − 𝑡) ∈ ℂ)
734adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0) → 𝑟 ∈ ℂ)
7471, 72, 73addassd 10656 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0) → ((𝑡 + (0 − 𝑡)) + 𝑟) = (𝑡 + ((0 − 𝑡) + 𝑟)))
75 readdid2 39528 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ → (0 + 𝑟) = 𝑟)
763, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + 𝑟) = 𝑟)
7776adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0) → (0 + 𝑟) = 𝑟)
7870, 74, 773eqtr3d 2844 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0) → (𝑡 + ((0 − 𝑡) + 𝑟)) = 𝑟)
7927adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
80 readdid1 39534 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡 + 0) = 𝑡)
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0) → (𝑡 + 0) = 𝑡)
8266, 78, 813eqtr3d 2844 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = 0) → 𝑟 = 𝑡)
8364, 82syldan 594 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → 𝑟 = 𝑡)
8433, 12, 8addassd 10656 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑢 + (0 − 𝑠)) + 𝑠) = (𝑢 + ((0 − 𝑠) + 𝑠)))
85 renegid2 39538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → ((0 − 𝑠) + 𝑠) = 0)
867, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0 − 𝑠) + 𝑠) = 0)
8786oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑢 + ((0 − 𝑠) + 𝑠)) = (𝑢 + 0))
88 readdid1 39534 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢 + 0) = 𝑢)
8932, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑢 + 0) = 𝑢)
9084, 87, 893eqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑢 + (0 − 𝑠)) + 𝑠) = 𝑢)
91 oveq1 7146 . . . . . . . . 9 ((𝑢 + (0 − 𝑠)) = 0 → ((𝑢 + (0 − 𝑠)) + 𝑠) = (0 + 𝑠))
9290, 91sylan9req 2857 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 + (0 − 𝑠)) = 0) → 𝑢 = (0 + 𝑠))
93 readdid2 39528 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ → (0 + 𝑠) = 𝑠)
947, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 𝑠) = 𝑠)
9594adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 + (0 − 𝑠)) = 0) → (0 + 𝑠) = 𝑠)
9692, 95eqtr2d 2837 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 + (0 − 𝑠)) = 0) → 𝑠 = 𝑢)
9761, 96syldan 594 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → 𝑠 = 𝑢)
9883, 97jca 515 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + 𝑟) = (i · (𝑢 + (0 − 𝑠)))) → (𝑟 = 𝑡𝑠 = 𝑢))
9950, 98syldan 594 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((0 − 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 − 𝑠)))) = ((0 − 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 − 𝑠))))) → (𝑟 = 𝑡𝑠 = 𝑢))
10099ex 416 . . 3 (𝜑 → (((0 − 𝑡) + ((𝑟 + (i · 𝑠)) + (i · (0 − 𝑠)))) = ((0 − 𝑡) + ((𝑡 + (i · 𝑢)) + (i · (0 − 𝑠)))) → (𝑟 = 𝑡𝑠 = 𝑢)))
1012, 100syl5 34 . 2 (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) → (𝑟 = 𝑡𝑠 = 𝑢)))
102 id 22 . . 3 (𝑟 = 𝑡𝑟 = 𝑡)
103 oveq2 7147 . . 3 (𝑠 = 𝑢 → (i · 𝑠) = (i · 𝑢))
104102, 103oveqan12d 7158 . 2 ((𝑟 = 𝑡𝑠 = 𝑢) → (𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))
105101, 104impbid1 228 1 (𝜑 → ((𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝑟 = 𝑡𝑠 = 𝑢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  ici 10532   + caddc 10533   · cmul 10535   cresub 39490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-2 11692  df-3 11693  df-resub 39491
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator