Theorem eupth2lemb 30209

Description: Lemma for eupth2 30211 (induction basis): There are no vertices of odd degree in an Eulerian path of length 0, having no edge and identical endpoints (the single vertex of the Eulerian path). Formerly part of proof for eupth2 30211. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth2.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupth2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
eupth2.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupth2.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
eupth2lemb	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		z0even 16273	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ 0
2		eupth2.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fvexi 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 ∈ V
4		eupth2.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5	4	fvexi 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 ∈ V
6	5	resex 5973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V
7	3, 6	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V)
8		opvtxfv 28977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
9	7, 8	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
10	9	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩))
11	10	eleq2d 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↔ 𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)))
12	11	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩))
13		opiedgfv 28980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))))
14	7, 13	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))))
15		fzo0 13578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^0) = ∅
16	15	imaeq2i 6002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 “ (0..^0)) = (𝐹 “ ∅)
17		ima0 6021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 “ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ (0..^0)) = ∅
19	18	reseq2i 5920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) = (𝐼 ↾ ∅)
20		res0 5927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ↾ ∅) = ∅
21	19, 20	eqtri 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) = ∅
22	14, 21	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅)
24		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)
25		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)
26	24, 25	vtxdg0e 29448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) ∧ (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅) → ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥) = 0)
27	12, 23, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥) = 0)
28	1, 27	breqtrrid 5124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
29	28	notnotd 144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
30	29	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
31		rabeq0 4333	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
32	30, 31	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436  ∅c0 4278  ⟨cop 4577   class class class wbr 5086   ↾ cres 5613   “ cima 5614  Fun wfun 6470  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  0cc0 11001  2c2 12175  ..^cfzo 13549   ∥ cdvds 16158  Vtxcvtx 28969  iEdgciedg 28970  UPGraphcupgr 29053  VtxDegcvtxdg 29439  EulerPathsceupth 30169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-xadd 13007  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-hash 14233  df-dvds 16159  df-vtx 28971  df-iedg 28972  df-vtxdg 29440

This theorem is referenced by:  eupth2  30211