MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lemb 29184
Description: Lemma for eupth2 29186 (induction basis): There are no vertices of odd degree in an Eulerian path of length 0, having no edge and identical endpoints (the single vertex of the Eulerian path). Formerly part of proof for eupth2 29186. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth2.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eupth2.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eupth2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
eupth2.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
eupth2.p (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
Assertion
Ref Expression
eupth2lemb (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯)} = βˆ…)
Distinct variable group:   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem eupth2lemb
StepHypRef Expression
1 z0even 16250 . . . . 5 2 βˆ₯ 0
2 eupth2.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
32fvexi 6857 . . . . . . . . . . 11 𝑉 ∈ V
4 eupth2.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
54fvexi 6857 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ∈ V
65resex 5986 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))) ∈ V
73, 6pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))) ∈ V)
8 opvtxfv 27958 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))) ∈ V) β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
97, 8mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
109eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩))
1110eleq2d 2824 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↔ π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)))
1211biimpa 478 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩))
13 opiedgfv 27961 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))) ∈ V) β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))))
147, 13mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))))
15 fzo0 13597 . . . . . . . . . . . 12 (0..^0) = βˆ…
1615imaeq2i 6012 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β€œ (0..^0)) = (𝐹 β€œ βˆ…)
17 ima0 6030 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β€œ βˆ…) = βˆ…
1816, 17eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (𝐹 β€œ (0..^0)) = βˆ…
1918reseq2i 5935 . . . . . . . . 9 (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))) = (𝐼 β†Ύ βˆ…)
20 res0 5942 . . . . . . . . 9 (𝐼 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
2119, 20eqtri 2765 . . . . . . . 8 (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))) = βˆ…
2214, 21eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = βˆ…)
2322adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = βˆ…)
24 eqid 2737 . . . . . . 7 (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)
25 eqid 2737 . . . . . . 7 (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)
2624, 25vtxdg0e 28425 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) ∧ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = βˆ…) β†’ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯) = 0)
2712, 23, 26syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯) = 0)
281, 27breqtrrid 5144 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯))
2928notnotd 144 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯))
3029ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 Β¬ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯))
31 rabeq0 4345 . 2 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 Β¬ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯))
3230, 31sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯)} = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3408  Vcvv 3446  βˆ…c0 4283  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  2c2 12209  ..^cfzo 13568   βˆ₯ cdvds 16137  Vtxcvtx 27950  iEdgciedg 27951  UPGraphcupgr 28034  VtxDegcvtxdg 28416  EulerPathsceupth 29144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-xadd 13035  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-hash 14232  df-dvds 16138  df-vtx 27952  df-iedg 27953  df-vtxdg 28417
This theorem is referenced by:  eupth2  29186
  Copyright terms: Public domain W3C validator