MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lemb 30091
Description: Lemma for eupth2 30093 (induction basis): There are no vertices of odd degree in an Eulerian path of length 0, having no edge and identical endpoints (the single vertex of the Eulerian path). Formerly part of proof for eupth2 30093. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth2.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eupth2.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eupth2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
eupth2.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
eupth2.p (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
Assertion
Ref Expression
eupth2lemb (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯)} = βˆ…)
Distinct variable group:   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem eupth2lemb
StepHypRef Expression
1 z0even 16343 . . . . 5 2 βˆ₯ 0
2 eupth2.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
32fvexi 6906 . . . . . . . . . . 11 𝑉 ∈ V
4 eupth2.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
54fvexi 6906 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ∈ V
65resex 6028 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))) ∈ V
73, 6pm3.2i 469 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))) ∈ V)
8 opvtxfv 28861 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))) ∈ V) β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
97, 8mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
109eqcomd 2731 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩))
1110eleq2d 2811 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↔ π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)))
1211biimpa 475 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩))
13 opiedgfv 28864 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))) ∈ V) β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))))
147, 13mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))))
15 fzo0 13688 . . . . . . . . . . . 12 (0..^0) = βˆ…
1615imaeq2i 6056 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β€œ (0..^0)) = (𝐹 β€œ βˆ…)
17 ima0 6075 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β€œ βˆ…) = βˆ…
1816, 17eqtri 2753 . . . . . . . . . 10 (𝐹 β€œ (0..^0)) = βˆ…
1918reseq2i 5976 . . . . . . . . 9 (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))) = (𝐼 β†Ύ βˆ…)
20 res0 5983 . . . . . . . . 9 (𝐼 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
2119, 20eqtri 2753 . . . . . . . 8 (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0))) = βˆ…
2214, 21eqtrdi 2781 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = βˆ…)
2322adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = βˆ…)
24 eqid 2725 . . . . . . 7 (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)
25 eqid 2725 . . . . . . 7 (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)
2624, 25vtxdg0e 29332 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) ∧ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩) = βˆ…) β†’ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯) = 0)
2712, 23, 26syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯) = 0)
281, 27breqtrrid 5181 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯))
2928notnotd 144 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯))
3029ralrimiva 3136 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 Β¬ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯))
31 rabeq0 4380 . 2 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 Β¬ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯))
3230, 31sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^0)))⟩)β€˜π‘₯)} = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463  βˆ…c0 4318  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  2c2 12297  ..^cfzo 13659   βˆ₯ cdvds 16230  Vtxcvtx 28853  iEdgciedg 28854  UPGraphcupgr 28937  VtxDegcvtxdg 29323  EulerPathsceupth 30051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-xadd 13125  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-dvds 16231  df-vtx 28855  df-iedg 28856  df-vtxdg 29324
This theorem is referenced by:  eupth2  30093
  Copyright terms: Public domain W3C validator