Theorem eupth2lemb 30173

Description: Lemma for eupth2 30175 (induction basis): There are no vertices of odd degree in an Eulerian path of length 0, having no edge and identical endpoints (the single vertex of the Eulerian path). Formerly part of proof for eupth2 30175. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth2.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupth2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
eupth2.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupth2.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
eupth2lemb	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		z0even 16344	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ 0
2		eupth2.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fvexi 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 ∈ V
4		eupth2.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5	4	fvexi 6875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 ∈ V
6	5	resex 6003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V
7	3, 6	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V)
8		opvtxfv 28938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
9	7, 8	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
10	9	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩))
11	10	eleq2d 2815	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↔ 𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)))
12	11	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩))
13		opiedgfv 28941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))))
14	7, 13	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))))
15		fzo0 13651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^0) = ∅
16	15	imaeq2i 6032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 “ (0..^0)) = (𝐹 “ ∅)
17		ima0 6051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 “ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ (0..^0)) = ∅
19	18	reseq2i 5950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) = (𝐼 ↾ ∅)
20		res0 5957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ↾ ∅) = ∅
21	19, 20	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) = ∅
22	14, 21	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅)
24		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)
25		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)
26	24, 25	vtxdg0e 29409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) ∧ (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅) → ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥) = 0)
27	12, 23, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥) = 0)
28	1, 27	breqtrrid 5148	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
29	28	notnotd 144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
30	29	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
31		rabeq0 4354	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
32	30, 31	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {crab 3408  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110   ↾ cres 5643   “ cima 5644  Fun wfun 6508  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  2c2 12248  ..^cfzo 13622   ∥ cdvds 16229  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  UPGraphcupgr 29014  VtxDegcvtxdg 29400  EulerPathsceupth 30133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-xadd 13080  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-dvds 16230  df-vtx 28932  df-iedg 28933  df-vtxdg 29401

This theorem is referenced by:  eupth2  30175