MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lemb 28020
Description: Lemma for eupth2 28022 (induction basis): There are no vertices of odd degree in an Eulerian path of length 0, having no edge and identical endpoints (the single vertex of the Eulerian path). Formerly part of proof for eupth2 28022. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth2.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth2.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupth2.g (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
eupth2.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupth2.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
Assertion
Ref Expression
eupth2lemb (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lemb
StepHypRef Expression
1 z0even 15707 . . . . 5 2 ∥ 0
2 eupth2.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32fvexi 6666 . . . . . . . . . . 11 𝑉 ∈ V
4 eupth2.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
54fvexi 6666 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ∈ V
65resex 5877 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V
73, 6pm3.2i 474 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V)
8 opvtxfv 26795 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
97, 8mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
109eqcomd 2828 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩))
1110eleq2d 2899 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)))
1211biimpa 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩))
13 opiedgfv 26798 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))))
147, 13mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))))
15 fzo0 13056 . . . . . . . . . . . 12 (0..^0) = ∅
1615imaeq2i 5905 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 “ (0..^0)) = (𝐹 “ ∅)
17 ima0 5923 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 “ ∅) = ∅
1816, 17eqtri 2845 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ (0..^0)) = ∅
1918reseq2i 5828 . . . . . . . . 9 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) = (𝐼 ↾ ∅)
20 res0 5835 . . . . . . . . 9 (𝐼 ↾ ∅) = ∅
2119, 20eqtri 2845 . . . . . . . 8 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) = ∅
2214, 21syl6eq 2873 . . . . . . 7 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅)
2322adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅)
24 eqid 2822 . . . . . . 7 (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)
25 eqid 2822 . . . . . . 7 (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)
2624, 25vtxdg0e 27262 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) ∧ (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅) → ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥) = 0)
2712, 23, 26syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥) = 0)
281, 27breqtrrid 5080 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
2928notnotd 146 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
3029ralrimiva 3174 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
31 rabeq0 4310 . 2 ({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
3230, 31sylibr 237 1 (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wral 3130  {crab 3134  Vcvv 3469  c0 4265  cop 4545   class class class wbr 5042  cres 5534  cima 5535  Fun wfun 6328  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  2c2 11680  ..^cfzo 13028  cdvds 15598  Vtxcvtx 26787  iEdgciedg 26788  UPGraphcupgr 26871  VtxDegcvtxdg 27253  EulerPathsceupth 27980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-xadd 12496  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-dvds 15599  df-vtx 26789  df-iedg 26790  df-vtxdg 27254
This theorem is referenced by:  eupth2  28022
  Copyright terms: Public domain W3C validator