Theorem psgn0fv0 19034

Description: The permutation sign function for an empty set at an empty set is 1. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
psgn0fv0	⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1

Proof of Theorem psgn0fv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5226	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		wrd0 14170	. 2 ⊢ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(SymGrp‘∅)) = (0g‘(SymGrp‘∅))
4	3	gsum0 18283	. . . . 5 ⊢ ((SymGrp‘∅) Σg ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅))
5		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘∅) = (SymGrp‘∅)
6	5	symgid 18924	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ V → ( I ↾ ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅))
8		res0 5884	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ∅) = ∅
9	7, 8	eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(SymGrp‘∅)) = ∅
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → (0g‘(SymGrp‘∅)) = ∅)
11	4, 10	eqtr2id 2792	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ∅ = ((SymGrp‘∅) Σg ∅))
12	11	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘∅) = ((pmSgn‘∅)‘((SymGrp‘∅) Σg ∅)))
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ran (pmTrsp‘∅) = ran (pmTrsp‘∅)
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘∅) = (pmSgn‘∅)
15	5, 13, 14	psgnvalii 19032	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘((SymGrp‘∅) Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
16		hash0 14010	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
17	16	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
18		neg1cn 12017	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
19		exp0 13714	. . . . . 6 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-1↑0) = 1
21	17, 20	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = 1
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → (-1↑(♯‘∅)) = 1)
23	12, 15, 22	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1)
24	1, 2, 23	mp2an 688	1 ⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253   I cid 5479  ran crn 5581   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803  -cneg 11136  ↑cexp 13710  ♯chash 13972  Word cword 14145  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  SymGrpcsymg 18889  pmTrspcpmtr 18964  pmSgncpsgn 19012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1504  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-splice 14391  df-reverse 14400  df-s2 14489  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-efmnd 18423  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-gim 18790  df-oppg 18865  df-symg 18890  df-pmtr 18965  df-psgn 19014

This theorem is referenced by:  mdet0pr  21649