Theorem psgn0fv0 19486

Description: The permutation sign function for an empty set at an empty set is 1. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
psgn0fv0	⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1

Proof of Theorem psgn0fv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5242	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		wrd0 14501	. 2 ⊢ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(SymGrp‘∅)) = (0g‘(SymGrp‘∅))
4	3	gsum0 18652	. . . . 5 ⊢ ((SymGrp‘∅) Σg ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅))
5		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘∅) = (SymGrp‘∅)
6	5	symgid 19376	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ V → ( I ↾ ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅))
8		res0 5948	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ∅) = ∅
9	7, 8	eqtr3i 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(SymGrp‘∅)) = ∅
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → (0g‘(SymGrp‘∅)) = ∅)
11	4, 10	eqtr2id 2784	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ∅ = ((SymGrp‘∅) Σg ∅))
12	11	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘∅) = ((pmSgn‘∅)‘((SymGrp‘∅) Σg ∅)))
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ran (pmTrsp‘∅) = ran (pmTrsp‘∅)
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘∅) = (pmSgn‘∅)
15	5, 13, 14	psgnvalii 19484	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘((SymGrp‘∅) Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
16		hash0 14329	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
17	16	oveq2i 7378	. . . . 5 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
18		neg1cn 12144	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
19		exp0 14027	. . . . . 6 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-1↑0) = 1
21	17, 20	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = 1
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → (-1↑(♯‘∅)) = 1)
23	12, 15, 22	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1)
24	1, 2, 23	mp2an 693	1 ⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ∅c0 4273   I cid 5525  ran crn 5632   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039  -cneg 11378  ↑cexp 14023  ♯chash 14292  Word cword 14475  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  SymGrpcsymg 19344  pmTrspcpmtr 19416  pmSgncpsgn 19464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-concat 14533  df-s1 14559  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-splice 14712  df-reverse 14721  df-s2 14810  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-efmnd 18837  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-gim 19234  df-oppg 19321  df-symg 19345  df-pmtr 19417  df-psgn 19466

This theorem is referenced by:  mdet0pr  22557