Theorem psgn0fv0 19421

Description: The permutation sign function for an empty set at an empty set is 1. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
psgn0fv0	⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1

Proof of Theorem psgn0fv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5245	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		wrd0 14443	. 2 ⊢ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(SymGrp‘∅)) = (0g‘(SymGrp‘∅))
4	3	gsum0 18589	. . . . 5 ⊢ ((SymGrp‘∅) Σg ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅))
5		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘∅) = (SymGrp‘∅)
6	5	symgid 19311	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ V → ( I ↾ ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅))
8		res0 5932	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ∅) = ∅
9	7, 8	eqtr3i 2756	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(SymGrp‘∅)) = ∅
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → (0g‘(SymGrp‘∅)) = ∅)
11	4, 10	eqtr2id 2779	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ∅ = ((SymGrp‘∅) Σg ∅))
12	11	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘∅) = ((pmSgn‘∅)‘((SymGrp‘∅) Σg ∅)))
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ran (pmTrsp‘∅) = ran (pmTrsp‘∅)
14		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘∅) = (pmSgn‘∅)
15	5, 13, 14	psgnvalii 19419	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘((SymGrp‘∅) Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
16		hash0 14271	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
17	16	oveq2i 7357	. . . . 5 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
18		neg1cn 12107	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
19		exp0 13969	. . . . . 6 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-1↑0) = 1
21	17, 20	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = 1
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → (-1↑(♯‘∅)) = 1)
23	12, 15, 22	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1)
24	1, 2, 23	mp2an 692	1 ⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4283   I cid 5510  ran crn 5617   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004  -cneg 11342  ↑cexp 13965  ♯chash 14234  Word cword 14417  0_gc0g 17340   Σ_g cgsu 17341  SymGrpcsymg 19279  pmTrspcpmtr 19351  pmSgncpsgn 19399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-word 14418  df-lsw 14467  df-concat 14475  df-s1 14501  df-substr 14546  df-pfx 14576  df-splice 14654  df-reverse 14663  df-s2 14752  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-tset 17177  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-efmnd 18774  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-gim 19169  df-oppg 19256  df-symg 19280  df-pmtr 19352  df-psgn 19401

This theorem is referenced by:  mdet0pr  22505