Theorem psgn0fv0 19421

Description: The permutation sign function for an empty set at an empty set is 1. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
psgn0fv0	⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1

Proof of Theorem psgn0fv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5307	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		wrd0 14494	. 2 ⊢ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(SymGrp‘∅)) = (0g‘(SymGrp‘∅))
4	3	gsum0 18610	. . . . 5 ⊢ ((SymGrp‘∅) Σg ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅))
5		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘∅) = (SymGrp‘∅)
6	5	symgid 19311	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ V → ( I ↾ ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅))
8		res0 5985	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ∅) = ∅
9	7, 8	eqtr3i 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(SymGrp‘∅)) = ∅
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → (0g‘(SymGrp‘∅)) = ∅)
11	4, 10	eqtr2id 2784	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ∅ = ((SymGrp‘∅) Σg ∅))
12	11	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘∅) = ((pmSgn‘∅)‘((SymGrp‘∅) Σg ∅)))
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ran (pmTrsp‘∅) = ran (pmTrsp‘∅)
14		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘∅) = (pmSgn‘∅)
15	5, 13, 14	psgnvalii 19419	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘((SymGrp‘∅) Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
16		hash0 14332	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
17	16	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
18		neg1cn 12331	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
19		exp0 14036	. . . . . 6 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-1↑0) = 1
21	17, 20	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = 1
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → (-1↑(♯‘∅)) = 1)
23	12, 15, 22	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1)
24	1, 2, 23	mp2an 689	1 ⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  ∅c0 4322   I cid 5573  ran crn 5677   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  0cc0 11114  1c1 11115  -cneg 11450  ↑cexp 14032  ♯chash 14295  Word cword 14469  0_gc0g 17390   Σ_g cgsu 17391  SymGrpcsymg 19276  pmTrspcpmtr 19351  pmSgncpsgn 19399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14470  df-lsw 14518  df-concat 14526  df-s1 14551  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-splice 14705  df-reverse 14714  df-s2 14804  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-tset 17221  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-efmnd 18787  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-oppg 19252  df-symg 19277  df-pmtr 19352  df-psgn 19401

This theorem is referenced by:  mdet0pr  22315