MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgn0fv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgn0fv0 19252
Description: The permutation sign function for an empty set at an empty set is 1. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
psgn0fv0 ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1

Proof of Theorem psgn0fv0
StepHypRef Expression
1 0ex 5263 . 2 ∅ ∈ V
2 wrd0 14381 . 2 ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)
3 eqid 2738 . . . . . 6 (0g‘(SymGrp‘∅)) = (0g‘(SymGrp‘∅))
43gsum0 18499 . . . . 5 ((SymGrp‘∅) Σg ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅))
5 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘∅) = (SymGrp‘∅)
65symgid 19142 . . . . . . . 8 (∅ ∈ V → ( I ↾ ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅)))
71, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I ↾ ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅))
8 res0 5940 . . . . . . 7 ( I ↾ ∅) = ∅
97, 8eqtr3i 2768 . . . . . 6 (0g‘(SymGrp‘∅)) = ∅
109a1i 11 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → (0g‘(SymGrp‘∅)) = ∅)
114, 10eqtr2id 2791 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ∅ = ((SymGrp‘∅) Σg ∅))
1211fveq2d 6844 . . 3 ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘∅) = ((pmSgn‘∅)‘((SymGrp‘∅) Σg ∅)))
13 eqid 2738 . . . 4 ran (pmTrsp‘∅) = ran (pmTrsp‘∅)
14 eqid 2738 . . . 4 (pmSgn‘∅) = (pmSgn‘∅)
155, 13, 14psgnvalii 19250 . . 3 ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘((SymGrp‘∅) Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
16 hash0 14221 . . . . . 6 (♯‘∅) = 0
1716oveq2i 7363 . . . . 5 (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
18 neg1cn 12226 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
19 exp0 13926 . . . . . 6 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 (-1↑0) = 1
2117, 20eqtri 2766 . . . 4 (-1↑(♯‘∅)) = 1
2221a1i 11 . . 3 ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → (-1↑(♯‘∅)) = 1)
2312, 15, 223eqtrd 2782 . 2 ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1)
241, 2, 23mp2an 691 1 ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  c0 4281   I cid 5529  ran crn 5633  cres 5634  cfv 6494  (class class class)co 7352  cc 11008  0cc0 11010  1c1 11011  -cneg 11345  cexp 13922  chash 14184  Word cword 14356  0gc0g 17281   Σg cgsu 17282  SymGrpcsymg 19107  pmTrspcpmtr 19182  pmSgncpsgn 19230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-tpos 8150  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8607  df-map 8726  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-xnn0 12445  df-z 12459  df-uz 12723  df-rp 12871  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-seq 13862  df-exp 13923  df-hash 14185  df-word 14357  df-lsw 14405  df-concat 14413  df-s1 14438  df-substr 14487  df-pfx 14517  df-splice 14596  df-reverse 14605  df-s2 14695  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-tset 17112  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-submnd 18562  df-efmnd 18639  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-subg 18884  df-ghm 18965  df-gim 19008  df-oppg 19083  df-symg 19108  df-pmtr 19183  df-psgn 19232
This theorem is referenced by:  mdet0pr  21893
  Copyright terms: Public domain W3C validator