Theorem psgn0fv0 19448

Description: The permutation sign function for an empty set at an empty set is 1. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
psgn0fv0	⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1

Proof of Theorem psgn0fv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5265	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		wrd0 14511	. 2 ⊢ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(SymGrp‘∅)) = (0g‘(SymGrp‘∅))
4	3	gsum0 18618	. . . . 5 ⊢ ((SymGrp‘∅) Σg ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅))
5		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘∅) = (SymGrp‘∅)
6	5	symgid 19338	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ V → ( I ↾ ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ∅) = (0g‘(SymGrp‘∅))
8		res0 5957	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ∅) = ∅
9	7, 8	eqtr3i 2755	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(SymGrp‘∅)) = ∅
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → (0g‘(SymGrp‘∅)) = ∅)
11	4, 10	eqtr2id 2778	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ∅ = ((SymGrp‘∅) Σg ∅))
12	11	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘∅) = ((pmSgn‘∅)‘((SymGrp‘∅) Σg ∅)))
13		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ran (pmTrsp‘∅) = ran (pmTrsp‘∅)
14		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘∅) = (pmSgn‘∅)
15	5, 13, 14	psgnvalii 19446	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘((SymGrp‘∅) Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
16		hash0 14339	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
17	16	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
18		neg1cn 12178	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
19		exp0 14037	. . . . . 6 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-1↑0) = 1
21	17, 20	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = 1
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → (-1↑(♯‘∅)) = 1)
23	12, 15, 22	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ Word ran (pmTrsp‘∅)) → ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1)
24	1, 2, 23	mp2an 692	1 ⊢ ((pmSgn‘∅)‘∅) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299   I cid 5535  ran crn 5642   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076  -cneg 11413  ↑cexp 14033  ♯chash 14302  Word cword 14485  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410  SymGrpcsymg 19306  pmTrspcpmtr 19378  pmSgncpsgn 19426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-concat 14543  df-s1 14568  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-splice 14722  df-reverse 14731  df-s2 14821  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-efmnd 18803  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-gim 19198  df-oppg 19285  df-symg 19307  df-pmtr 19379  df-psgn 19428

This theorem is referenced by:  mdet0pr  22486