Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomennd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomennd 45326
Description: Sufficient condition to prove that 𝑂 is an outer measure. Definition 113A of [Fremlin1] p. 19 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isomennd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
isomennd.o (πœ‘ β†’ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
isomennd.o0 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
isomennd.le ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯))
isomennd.sa ((πœ‘ ∧ π‘Ž:β„•βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘Žβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘Žβ€˜π‘›)))))
Assertion
Ref Expression
isomennd (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
Distinct variable groups:   𝑂,π‘Ž,𝑛,π‘₯   𝑦,𝑂,π‘₯   𝑋,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑛,π‘Ž)   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem isomennd
Dummy variables 𝑓 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomennd.o . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
2 id 22 . . . . . 6 (𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3 fdm 6726 . . . . . . 7 (𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) β†’ dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
43feq2d 6703 . . . . . 6 (𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ↔ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞)))
52, 4mpbird 256 . . . . 5 (𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
61, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
7 unipw 5450 . . . . . . 7 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝑋
87pweqi 4618 . . . . . 6 𝒫 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋)
101, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
1110unieqd 4922 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ 𝒫 𝑋)
1211pweqd 4619 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ 𝒫 𝑋)
139, 12, 103eqtr4rd 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
14 isomennd.o0 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
156, 13, 14jca31 515 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0))
16 simpl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯)) β†’ πœ‘)
17 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
1812, 9eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
1918adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
2017, 19eleqtrd 2835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋)
21 elpwi 4609 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
2322adantrr 715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
24 elpwi 4609 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯ β†’ 𝑦 βŠ† π‘₯)
2524adantl 482 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯) β†’ 𝑦 βŠ† π‘₯)
2625adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯)) β†’ 𝑦 βŠ† π‘₯)
27 isomennd.le . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯))
2816, 23, 26, 27syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯)) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯))
2928ralrimivva 3200 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘‚βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 π‘₯(π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯))
30 0le0 12315 . . . . . . . . 9 0 ≀ 0
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ 0 ≀ 0)
32 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ βˆ…)
33 uni0 4939 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ βˆ… = βˆ…
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ βˆ… = βˆ…)
3532, 34eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆ…)
3635fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) = (π‘‚β€˜βˆ…))
3736adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) = (π‘‚β€˜βˆ…))
3814adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
3937, 38eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) = 0)
40 reseq2 5976 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑂 β†Ύ π‘₯) = (𝑂 β†Ύ βˆ…))
41 res0 5985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑂 β†Ύ βˆ…) = βˆ…)
4340, 42eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑂 β†Ύ π‘₯) = βˆ…)
4443fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)) = (Ξ£^β€˜βˆ…))
45 sge00 45171 . . . . . . . . . . . 12 (Ξ£^β€˜βˆ…) = 0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜βˆ…) = 0)
4744, 46eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)) = 0)
4847adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)) = 0)
4939, 48breq12d 5161 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)) ↔ 0 ≀ 0))
5031, 49mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
5150ad4ant14 750 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
52 simpl 483 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ Β¬ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰))
53 neqne 2948 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ = βˆ… β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
5453adantl 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ Β¬ π‘₯ = βˆ…) β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
55 ssnnf1octb 43972 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯))
5655adantll 712 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯))
571ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
5814ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
59 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂)
6010pweqd 4619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6259, 61eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
63 elpwi 4609 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑋)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑋)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑋)
66 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ πœ‘)
67 isomennd.sa . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ž:β„•βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘Žβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘Žβ€˜π‘›)))))
6866, 67sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘Ž:β„•βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘Žβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘Žβ€˜π‘›)))))
6968adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) ∧ π‘Ž:β„•βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘Žβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘Žβ€˜π‘›)))))
70 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ dom 𝑓 βŠ† β„•)
71 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)
72 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š ∈ dom 𝑓 ↔ 𝑛 ∈ dom 𝑓))
73 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘“β€˜π‘š) = (π‘“β€˜π‘›))
7472, 73ifbieq1d 4552 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ if(π‘š ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘š), βˆ…) = if(𝑛 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘›), βˆ…))
7574cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘š), βˆ…)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘›), βˆ…))
7657, 58, 65, 69, 70, 71, 75isomenndlem 45325 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
7776ex 413 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ ((dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
7877ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ ((dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
7978exlimdv 1936 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
8056, 79mpd 15 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
8152, 54, 80syl2anc 584 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ Β¬ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
8251, 81pm2.61dan 811 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
8382ex 413 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
8483ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
8515, 29, 84jca31 515 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘‚βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 π‘₯(π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))))
86 isomennd.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8786pwexd 5377 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
881, 87fexd 7231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ V)
89 isome 45289 . . 3 (𝑂 ∈ V β†’ (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘‚βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 π‘₯(π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))))
9088, 89syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘‚βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 π‘₯(π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))))
9185, 90mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  0cc0 11112  +∞cpnf 11247   ≀ cle 11251  β„•cn 12214  [,]cicc 13329  Ξ£^csumge0 45157  OutMeascome 45284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-xadd 13095  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-sumge0 45158  df-ome 45285
This theorem is referenced by:  ovnome  45368
  Copyright terms: Public domain W3C validator