Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomennd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomennd 44040
Description: Sufficient condition to prove that 𝑂 is an outer measure. Definition 113A of [Fremlin1] p. 19 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isomennd.x (𝜑𝑋𝑉)
isomennd.o (𝜑𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
isomennd.o0 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
isomennd.le ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑥) → (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥))
isomennd.sa ((𝜑𝑎:ℕ⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑎𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
isomennd (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
Distinct variable groups:   𝑂,𝑎,𝑛,𝑥   𝑦,𝑂,𝑥   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑛,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem isomennd
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomennd.o . . . . 5 (𝜑𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
2 id 22 . . . . . 6 (𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
3 fdm 6607 . . . . . . 7 (𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
43feq2d 6584 . . . . . 6 (𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)))
52, 4mpbird 256 . . . . 5 (𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
7 unipw 5370 . . . . . . 7 𝒫 𝑋 = 𝑋
87pweqi 4557 . . . . . 6 𝒫 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋)
101, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
1110unieqd 4859 . . . . . 6 (𝜑 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
1211pweqd 4558 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
139, 12, 103eqtr4rd 2791 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂)
14 isomennd.o0 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
156, 13, 14jca31 515 . . 3 (𝜑 → ((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0))
16 simpl 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥)) → 𝜑)
17 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂)
1812, 9eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
1918adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
2017, 19eleqtrd 2843 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
21 elpwi 4548 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑥𝑋)
2322adantrr 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥)) → 𝑥𝑋)
24 elpwi 4548 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑥𝑦𝑥)
2524adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥) → 𝑦𝑥)
2625adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥)) → 𝑦𝑥)
27 isomennd.le . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑥) → (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥))
2816, 23, 26, 27syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥)) → (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥))
2928ralrimivva 3117 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥))
30 0le0 12074 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ∅) → 0 ≤ 0)
32 unieq 4856 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
33 uni0 4875 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ = ∅
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ∅ = ∅)
3532, 34eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
3635fveq2d 6775 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑂 𝑥) = (𝑂‘∅))
3736adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑂 𝑥) = (𝑂‘∅))
3814adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑂‘∅) = 0)
3937, 38eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑂 𝑥) = 0)
40 reseq2 5885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑂𝑥) = (𝑂 ↾ ∅))
41 res0 5894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 ↾ ∅) = ∅
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑂 ↾ ∅) = ∅)
4340, 42eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (𝑂𝑥) = ∅)
4443fveq2d 6775 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝑂𝑥)) = (Σ^‘∅))
45 sge00 43885 . . . . . . . . . . . 12 ^‘∅) = 0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (Σ^‘∅) = 0)
4744, 46eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝑂𝑥)) = 0)
4847adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘(𝑂𝑥)) = 0)
4939, 48breq12d 5092 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ∅) → ((𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)) ↔ 0 ≤ 0))
5031, 49mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))
5150ad4ant14 749 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))
52 simpl 483 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω))
53 neqne 2953 . . . . . . . 8 𝑥 = ∅ → 𝑥 ≠ ∅)
5453adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
55 ssnnf1octb 42703 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥))
5655adantll 711 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥))
571ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
5814ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) → (𝑂‘∅) = 0)
59 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂)
6010pweqd 4558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6259, 61eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
63 elpwi 4548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑥 ⊆ 𝒫 𝑋)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑋)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑋)
66 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝜑)
67 isomennd.sa . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎:ℕ⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑎𝑛)))))
6866, 67sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑎𝑛)))))
6968adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑎𝑛)))))
70 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) → dom 𝑓 ⊆ ℕ)
71 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) → 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)
72 eleq1w 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ dom 𝑓𝑛 ∈ dom 𝑓))
73 fveq2 6771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝑓𝑚) = (𝑓𝑛))
7472, 73ifbieq1d 4489 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → if(𝑚 ∈ dom 𝑓, (𝑓𝑚), ∅) = if(𝑛 ∈ dom 𝑓, (𝑓𝑛), ∅))
7574cbvmptv 5192 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ dom 𝑓, (𝑓𝑚), ∅)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ dom 𝑓, (𝑓𝑛), ∅))
7657, 58, 65, 69, 70, 71, 75isomenndlem 44039 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥)) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))
7776ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))
7877ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))
7978exlimdv 1940 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝑥) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))
8056, 79mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))
8152, 54, 80syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))
8251, 81pm2.61dan 810 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))
8382ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑥 ≼ ω → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))
8483ralrimiva 3110 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑥 ≼ ω → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))
8515, 29, 84jca31 515 . 2 (𝜑 → ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑥 ≼ ω → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥)))))
86 isomennd.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
8786pwexd 5306 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
881, 87fexd 7100 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ V)
89 isome 44003 . . 3 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑥 ≼ ω → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))))
9088, 89syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom 𝑂⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 dom 𝑂) ∧ (𝑂‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑦 ∈ 𝒫 𝑥(𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑂(𝑥 ≼ ω → (𝑂 𝑥) ≤ (Σ^‘(𝑂𝑥))))))
9185, 90mpbird 256 1 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2110  wne 2945  wral 3066  Vcvv 3431  wss 3892  c0 4262  ifcif 4465  𝒫 cpw 4539   cuni 4845   ciun 4930   class class class wbr 5079  cmpt 5162  dom cdm 5590  cres 5592  wf 6428  1-1-ontowf1o 6431  cfv 6432  (class class class)co 7271  ωcom 7706  cdom 8714  0cc0 10872  +∞cpnf 11007  cle 11011  cn 11973  [,]cicc 13081  Σ^csumge0 43871  OutMeascome 43998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-xadd 12848  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-sum 15396  df-sumge0 43872  df-ome 43999
This theorem is referenced by:  ovnome  44082
  Copyright terms: Public domain W3C validator