Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomennd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomennd 45247
Description: Sufficient condition to prove that 𝑂 is an outer measure. Definition 113A of [Fremlin1] p. 19 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isomennd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
isomennd.o (πœ‘ β†’ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
isomennd.o0 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
isomennd.le ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯))
isomennd.sa ((πœ‘ ∧ π‘Ž:β„•βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘Žβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘Žβ€˜π‘›)))))
Assertion
Ref Expression
isomennd (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
Distinct variable groups:   𝑂,π‘Ž,𝑛,π‘₯   𝑦,𝑂,π‘₯   𝑋,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑛,π‘Ž)   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem isomennd
Dummy variables 𝑓 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomennd.o . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
2 id 22 . . . . . 6 (𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3 fdm 6727 . . . . . . 7 (𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) β†’ dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
43feq2d 6704 . . . . . 6 (𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ↔ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞)))
52, 4mpbird 257 . . . . 5 (𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
61, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
7 unipw 5451 . . . . . . 7 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝑋
87pweqi 4619 . . . . . 6 𝒫 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋)
101, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
1110unieqd 4923 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ 𝒫 𝑋)
1211pweqd 4620 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ 𝒫 𝑋)
139, 12, 103eqtr4rd 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
14 isomennd.o0 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
156, 13, 14jca31 516 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0))
16 simpl 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯)) β†’ πœ‘)
17 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
1812, 9eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
1918adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
2017, 19eleqtrd 2836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋)
21 elpwi 4610 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
2322adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
24 elpwi 4610 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯ β†’ 𝑦 βŠ† π‘₯)
2524adantl 483 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯) β†’ 𝑦 βŠ† π‘₯)
2625adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯)) β†’ 𝑦 βŠ† π‘₯)
27 isomennd.le . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯))
2816, 23, 26, 27syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯)) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯))
2928ralrimivva 3201 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘‚βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 π‘₯(π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯))
30 0le0 12313 . . . . . . . . 9 0 ≀ 0
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ 0 ≀ 0)
32 unieq 4920 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ βˆ…)
33 uni0 4940 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ βˆ… = βˆ…
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ βˆ… = βˆ…)
3532, 34eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆ…)
3635fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) = (π‘‚β€˜βˆ…))
3736adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) = (π‘‚β€˜βˆ…))
3814adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
3937, 38eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) = 0)
40 reseq2 5977 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑂 β†Ύ π‘₯) = (𝑂 β†Ύ βˆ…))
41 res0 5986 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑂 β†Ύ βˆ…) = βˆ…)
4340, 42eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑂 β†Ύ π‘₯) = βˆ…)
4443fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)) = (Ξ£^β€˜βˆ…))
45 sge00 45092 . . . . . . . . . . . 12 (Ξ£^β€˜βˆ…) = 0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜βˆ…) = 0)
4744, 46eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)) = 0)
4847adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)) = 0)
4939, 48breq12d 5162 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)) ↔ 0 ≀ 0))
5031, 49mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
5150ad4ant14 751 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
52 simpl 484 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ Β¬ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰))
53 neqne 2949 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ = βˆ… β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
5453adantl 483 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ Β¬ π‘₯ = βˆ…) β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
55 ssnnf1octb 43893 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯))
5655adantll 713 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯))
571ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
5814ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
59 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂)
6010pweqd 4620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6259, 61eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
63 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑋)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑋)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑋)
66 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ πœ‘)
67 isomennd.sa . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ž:β„•βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘Žβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘Žβ€˜π‘›)))))
6866, 67sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘Ž:β„•βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘Žβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘Žβ€˜π‘›)))))
6968adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) ∧ π‘Ž:β„•βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘Žβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘Žβ€˜π‘›)))))
70 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ dom 𝑓 βŠ† β„•)
71 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)
72 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š ∈ dom 𝑓 ↔ 𝑛 ∈ dom 𝑓))
73 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘“β€˜π‘š) = (π‘“β€˜π‘›))
7472, 73ifbieq1d 4553 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ if(π‘š ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘š), βˆ…) = if(𝑛 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘›), βˆ…))
7574cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘š), βˆ…)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘›), βˆ…))
7657, 58, 65, 69, 70, 71, 75isomenndlem 45246 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
7776ex 414 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ ((dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
7877ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ ((dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
7978exlimdv 1937 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
8056, 79mpd 15 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
8152, 54, 80syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ Β¬ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
8251, 81pm2.61dan 812 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
8382ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
8483ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
8515, 29, 84jca31 516 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘‚βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 π‘₯(π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))))
86 isomennd.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8786pwexd 5378 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
881, 87fexd 7229 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ V)
89 isome 45210 . . 3 (𝑂 ∈ V β†’ (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘‚βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 π‘₯(π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))))
9088, 89syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘‚βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 π‘₯(π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))))
9185, 90mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855   β‰Ό cdom 8937  0cc0 11110  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  [,]cicc 13327  Ξ£^csumge0 45078  OutMeascome 45205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-sumge0 45079  df-ome 45206
This theorem is referenced by:  ovnome  45289
  Copyright terms: Public domain W3C validator