Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomennd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomennd 44846
Description: Sufficient condition to prove that 𝑂 is an outer measure. Definition 113A of [Fremlin1] p. 19 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isomennd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
isomennd.o (πœ‘ β†’ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
isomennd.o0 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
isomennd.le ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯))
isomennd.sa ((πœ‘ ∧ π‘Ž:β„•βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘Žβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘Žβ€˜π‘›)))))
Assertion
Ref Expression
isomennd (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
Distinct variable groups:   𝑂,π‘Ž,𝑛,π‘₯   𝑦,𝑂,π‘₯   𝑋,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑛,π‘Ž)   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem isomennd
Dummy variables 𝑓 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomennd.o . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
2 id 22 . . . . . 6 (𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3 fdm 6682 . . . . . . 7 (𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) β†’ dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
43feq2d 6659 . . . . . 6 (𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ↔ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞)))
52, 4mpbird 257 . . . . 5 (𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
61, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
7 unipw 5412 . . . . . . 7 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝑋
87pweqi 4581 . . . . . 6 𝒫 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝑋)
101, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
1110unieqd 4884 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ 𝒫 𝑋)
1211pweqd 4582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ 𝒫 𝑋)
139, 12, 103eqtr4rd 2788 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
14 isomennd.o0 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
156, 13, 14jca31 516 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0))
16 simpl 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯)) β†’ πœ‘)
17 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
1812, 9eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
1918adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 = 𝒫 𝑋)
2017, 19eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋)
21 elpwi 4572 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
2322adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
24 elpwi 4572 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯ β†’ 𝑦 βŠ† π‘₯)
2524adantl 483 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯) β†’ 𝑦 βŠ† π‘₯)
2625adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯)) β†’ 𝑦 βŠ† π‘₯)
27 isomennd.le . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯))
2816, 23, 26, 27syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 π‘₯)) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯))
2928ralrimivva 3198 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘‚βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 π‘₯(π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯))
30 0le0 12261 . . . . . . . . 9 0 ≀ 0
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ 0 ≀ 0)
32 unieq 4881 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ βˆ…)
33 uni0 4901 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ βˆ… = βˆ…
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ βˆ… = βˆ…)
3532, 34eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆ…)
3635fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) = (π‘‚β€˜βˆ…))
3736adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) = (π‘‚β€˜βˆ…))
3814adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
3937, 38eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) = 0)
40 reseq2 5937 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑂 β†Ύ π‘₯) = (𝑂 β†Ύ βˆ…))
41 res0 5946 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑂 β†Ύ βˆ…) = βˆ…)
4340, 42eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑂 β†Ύ π‘₯) = βˆ…)
4443fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)) = (Ξ£^β€˜βˆ…))
45 sge00 44691 . . . . . . . . . . . 12 (Ξ£^β€˜βˆ…) = 0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜βˆ…) = 0)
4744, 46eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)) = 0)
4847adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)) = 0)
4939, 48breq12d 5123 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)) ↔ 0 ≀ 0))
5031, 49mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
5150ad4ant14 751 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
52 simpl 484 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ Β¬ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰))
53 neqne 2952 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ = βˆ… β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
5453adantl 483 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ Β¬ π‘₯ = βˆ…) β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
55 ssnnf1octb 43488 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯))
5655adantll 713 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯))
571ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
5814ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
59 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂)
6010pweqd 4582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ 𝒫 dom 𝑂 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6259, 61eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
63 elpwi 4572 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑋)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑋)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑋)
66 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ πœ‘)
67 isomennd.sa . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ž:β„•βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘Žβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘Žβ€˜π‘›)))))
6866, 67sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘Ž:β„•βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘Žβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘Žβ€˜π‘›)))))
6968adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) ∧ π‘Ž:β„•βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘Žβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘Žβ€˜π‘›)))))
70 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ dom 𝑓 βŠ† β„•)
71 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)
72 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š ∈ dom 𝑓 ↔ 𝑛 ∈ dom 𝑓))
73 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘“β€˜π‘š) = (π‘“β€˜π‘›))
7472, 73ifbieq1d 4515 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑛 β†’ if(π‘š ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘š), βˆ…) = if(𝑛 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘›), βˆ…))
7574cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘š), βˆ…)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘›), βˆ…))
7657, 58, 65, 69, 70, 71, 75isomenndlem 44845 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ (dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
7776ex 414 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ ((dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
7877ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ ((dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
7978exlimdv 1937 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
8056, 79mpd 15 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
8152, 54, 80syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) ∧ Β¬ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
8251, 81pm2.61dan 812 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))
8382ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂) β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
8483ralrimiva 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))
8515, 29, 84jca31 516 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘‚βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 π‘₯(π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯)))))
86 isomennd.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8786pwexd 5339 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
881, 87fexd 7182 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ V)
89 isome 44809 . . 3 (𝑂 ∈ V β†’ (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘‚βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 π‘₯(π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))))
9088, 89syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∈ OutMeas ↔ ((((𝑂:dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞) ∧ dom 𝑂 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑂) ∧ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘‚βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 π‘₯(π‘‚β€˜π‘¦) ≀ (π‘‚β€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑂(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ π‘₯))))))
9185, 90mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807   β‰Ό cdom 8888  0cc0 11058  +∞cpnf 11193   ≀ cle 11197  β„•cn 12160  [,]cicc 13274  Ξ£^csumge0 44677  OutMeascome 44804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-sumge0 44678  df-ome 44805
This theorem is referenced by:  ovnome  44888
  Copyright terms: Public domain W3C validator