Theorem psmeasure 44832

Description: Point supported measure, Remark 112B (d) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psmeasure.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
psmeasure.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasure.m	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
psmeasure	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem psmeasure

Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
2		psmeasure.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
3	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1	elpwid 4574	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
5		fssres 6713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
7	1, 6	sge0cl 44742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ (0[,]+∞))
8		psmeasure.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))
9	7, 8	fmptd 7067	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
10	8, 7	dmmptd 6651	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = 𝒫 𝑋)
11	10	feq2d 6659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)))
12	9, 11	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞))
13		psmeasure.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		pwsal 44676	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
16	10, 15	eqeltrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
17	12, 16	jca 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg))
18		reseq2 5937	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐻 ↾ 𝑥) = (𝐻 ↾ ∅))
19	18	fveq2d 6851	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
20		0elpw 5316	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝑋
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑋)
22		fvexd 6862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) ∈ V)
23	8, 19, 21, 22	fvmptd3 6976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
24		res0 5946	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ↾ ∅) = ∅
25	24	fveq2i 6850	. . . . . 6 ⊢ (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = (Σ^‘∅)
26		sge00 44737	. . . . . 6 ⊢ (Σ^‘∅) = 0
27	25, 26	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0)
29	23, 28	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
30		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝜑)
31		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
32	10	pweqd 4582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
34	31, 33	eleqtrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
35		elpwi 4572	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
37	13	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38	2	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
39	9	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
40		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
41		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → 𝑤 = 𝑧)
42	41	cbvdisjv 5086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ↔ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
43	42	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
44	43	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
45	37, 38, 8, 39, 40, 44	psmeasurelem 44831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))
46	45	adantrl 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))
47	46	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
48	30, 36, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
49	48	ralrimiva 3139	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
50	17, 29, 49	jca31 515	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))))
51		ismea 44812	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))))
52	50, 51	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  Vcvv 3446   ⊆ wss 3913  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4565  ∪ cuni 4870  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638   ↾ cres 5640  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ωcom 7807   ≼ cdom 8888  0cc0 11060  +∞cpnf 11195  [,]cicc 13277  SAlgcsalg 44669  Σ^{^}csumge0 44723  Meascmea 44810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-ac2 10408  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-oi 9455  df-card 9884  df-acn 9887  df-ac 10061  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-xadd 13043  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-sum 15583  df-salg 44670  df-sumge0 44724  df-mea 44811

This theorem is referenced by: (None)