Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psmeasure Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmeasure 45487
Description: Point supported measure, Remark 112B (d) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psmeasure.x (𝜑𝑋𝑉)
psmeasure.h (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasure.m 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
Assertion
Ref Expression
psmeasure (𝜑𝑀 ∈ Meas)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem psmeasure
Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
2 psmeasure.h . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
41elpwid 4612 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥𝑋)
5 fssres 6758 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐻𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
63, 4, 5syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐻𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
71, 6sge0cl 45397 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (Σ^‘(𝐻𝑥)) ∈ (0[,]+∞))
8 psmeasure.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
97, 8fmptd 7116 . . . . 5 (𝜑𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
108, 7dmmptd 6696 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑀 = 𝒫 𝑋)
1110feq2d 6704 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)))
129, 11mpbird 256 . . . 4 (𝜑𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞))
13 psmeasure.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
14 pwsal 45331 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
1610, 15eqeltrd 2832 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
1712, 16jca 511 . . 3 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg))
18 reseq2 5977 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝐻𝑥) = (𝐻 ↾ ∅))
1918fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
20 0elpw 5355 . . . . . 6 ∅ ∈ 𝒫 𝑋
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑋)
22 fvexd 6907 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) ∈ V)
238, 19, 21, 22fvmptd3 7022 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘∅) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
24 res0 5986 . . . . . . 7 (𝐻 ↾ ∅) = ∅
2524fveq2i 6895 . . . . . 6 ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = (Σ^‘∅)
26 sge00 45392 . . . . . 6 ^‘∅) = 0
2725, 26eqtri 2759 . . . . 5 ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0)
2923, 28eqtrd 2771 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
30 simpl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝜑)
31 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
3210pweqd 4620 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
3332adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
3431, 33eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
35 elpwi 4610 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
3634, 35syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
3713ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑋𝑉)
382ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
399ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
40 simplr 766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
41 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑧𝑤 = 𝑧)
4241cbvdisjv 5125 . . . . . . . . . 10 (Disj 𝑤𝑦 𝑤Disj 𝑧𝑦 𝑧)
4342biimpi 215 . . . . . . . . 9 (Disj 𝑤𝑦 𝑤Disj 𝑧𝑦 𝑧)
4443adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → Disj 𝑧𝑦 𝑧)
4537, 38, 8, 39, 40, 44psmeasurelem 45486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦)))
4645adantrl 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤)) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦)))
4746ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦))))
4830, 36, 47syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦))))
4948ralrimiva 3145 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦))))
5017, 29, 49jca31 514 . 2 (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦)))))
51 ismea 45467 . 2 (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦)))))
5250, 51sylibr 233 1 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  Vcvv 3473  wss 3949  c0 4323  𝒫 cpw 4603   cuni 4909  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5677  cres 5679  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7412  ωcom 7858  cdom 8940  0cc0 11113  +∞cpnf 11250  [,]cicc 13332  SAlgcsalg 45324  Σ^csumge0 45378  Meascmea 45465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-ac2 10461  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-acn 9940  df-ac 10114  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-xadd 13098  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-salg 45325  df-sumge0 45379  df-mea 45466
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator