Theorem psmeasure 47307

Description: Point supported measure, Remark 112B (d) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psmeasure.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
psmeasure.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasure.m	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
psmeasure	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem psmeasure

Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
2		psmeasure.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
3	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1	elpwid 4569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
5		fssres 6745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
7	1, 6	sge0cl 47217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ (0[,]+∞))
8		psmeasure.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))
9	7, 8	fmptd 7111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
10	8, 7	dmmptd 6681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = 𝒫 𝑋)
11	10	feq2d 6690	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)))
12	9, 11	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞))
13		psmeasure.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		pwsal 47151	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
15	13, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
16	10, 15	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
17	12, 16	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg))
18		reseq2 5971	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐻 ↾ 𝑥) = (𝐻 ↾ ∅))
19	18	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
20		0elpw 5324	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝑋
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑋)
22		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) ∈ V)
23	8, 19, 21, 22	fvmptd3 7014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
24		res0 5980	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ↾ ∅) = ∅
25	24	fveq2i 6885	. . . . . 6 ⊢ (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = (Σ^‘∅)
26		sge00 47212	. . . . . 6 ⊢ (Σ^‘∅) = 0
27	25, 26	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0)
29	23, 28	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
30		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝜑)
31		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
32	10	pweqd 4577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
33	32	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
34	31, 33	eleqtrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
35		elpwi 4567	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
36	34, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
37	13	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38	2	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
39	9	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
40		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
41		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → 𝑤 = 𝑧)
42	41	cbvdisjv 5085	. . . . . . . . 9 ⊢ (Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ↔ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
43	42	bilani 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
44	37, 38, 8, 39, 40, 43	psmeasurelem 47306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))
45	44	adantrl 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))
46	45	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
47	30, 36, 46	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
48	47	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
49	17, 29, 48	jca31 524	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))))
50		ismea 47287	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))))
51	49, 50	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ωcom 7866   ≼ cdom 8954  0cc0 11128  +∞cpnf 11268  [,]cicc 13405  SAlgcsalg 47144  Σ^{^}csumge0 47198  Meascmea 47285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-xadd 13168  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-salg 47145  df-sumge0 47199  df-mea 47286

This theorem is used by: (None)