Theorem psmeasure 46508

Description: Point supported measure, Remark 112B (d) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psmeasure.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
psmeasure.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasure.m	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
psmeasure	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem psmeasure

Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
2		psmeasure.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
3	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1	elpwid 4559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
5		fssres 6689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
7	1, 6	sge0cl 46418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ (0[,]+∞))
8		psmeasure.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))
9	7, 8	fmptd 7047	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
10	8, 7	dmmptd 6626	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = 𝒫 𝑋)
11	10	feq2d 6635	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)))
12	9, 11	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞))
13		psmeasure.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		pwsal 46352	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
16	10, 15	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
17	12, 16	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg))
18		reseq2 5923	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐻 ↾ 𝑥) = (𝐻 ↾ ∅))
19	18	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
20		0elpw 5294	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝑋
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑋)
22		fvexd 6837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) ∈ V)
23	8, 19, 21, 22	fvmptd3 6952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
24		res0 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ↾ ∅) = ∅
25	24	fveq2i 6825	. . . . . 6 ⊢ (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = (Σ^‘∅)
26		sge00 46413	. . . . . 6 ⊢ (Σ^‘∅) = 0
27	25, 26	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0)
29	23, 28	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
30		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝜑)
31		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
32	10	pweqd 4567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
34	31, 33	eleqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
35		elpwi 4557	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
37	13	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38	2	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
39	9	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
40		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
41		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → 𝑤 = 𝑧)
42	41	cbvdisjv 5069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ↔ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
43	42	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
44	43	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
45	37, 38, 8, 39, 40, 44	psmeasurelem 46507	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))
46	45	adantrl 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))
47	46	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
48	30, 36, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
49	48	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
50	17, 29, 49	jca31 514	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))))
51		ismea 46488	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))))
52	50, 51	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4550  ∪ cuni 4859  Disj wdisj 5058   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616   ↾ cres 5618  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ωcom 7796   ≼ cdom 8867  0cc0 11003  +∞cpnf 11140  [,]cicc 13245  SAlgcsalg 46345  Σ^{^}csumge0 46399  Meascmea 46486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-ac2 10351  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-disj 5059  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9829  df-acn 9832  df-ac 10004  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-xadd 13009  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-sum 15591  df-salg 46346  df-sumge0 46400  df-mea 46487

This theorem is referenced by: (None)