Theorem psmeasure 47425

Description: Point supported measure, Remark 112B (d) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psmeasure.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
psmeasure.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasure.m	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
psmeasure	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem psmeasure

Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
2		psmeasure.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
3	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1	elpwid 4566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
5		fssres 6740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
7	1, 6	sge0cl 47335	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ (0[,]+∞))
8		psmeasure.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))
9	7, 8	fmptd 7106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
10	8, 7	dmmptd 6676	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = 𝒫 𝑋)
11	10	feq2d 6685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)))
12	9, 11	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞))
13		psmeasure.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		pwsal 47269	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
15	13, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
16	10, 15	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
17	12, 16	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg))
18		reseq2 5965	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐻 ↾ 𝑥) = (𝐻 ↾ ∅))
19	18	fveq2d 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
20		0elpw 5317	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝑋
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑋)
22		fvexd 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) ∈ V)
23	8, 19, 21, 22	fvmptd3 7009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
24		res0 5974	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ↾ ∅) = ∅
25	24	fveq2i 6880	. . . . . 6 ⊢ (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = (Σ^‘∅)
26		sge00 47330	. . . . . 6 ⊢ (Σ^‘∅) = 0
27	25, 26	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0)
29	23, 28	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
30		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝜑)
31		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
32	10	pweqd 4574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
33	32	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
34	31, 33	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
35		elpwi 4564	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
36	34, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
37	13	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38	2	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
39	9	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
40		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
41		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → 𝑤 = 𝑧)
42	41	cbvdisjv 5081	. . . . . . . . 9 ⊢ (Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ↔ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
43	42	bilani 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
44	37, 38, 8, 39, 40, 43	psmeasurelem 47424	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))
45	44	adantrl 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))
46	45	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
47	30, 36, 46	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
48	47	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
49	17, 29, 48	jca31 524	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))))
50		ismea 47405	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))))
51	49, 50	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ωcom 7866   ≼ cdom 8955  0cc0 11181  +∞cpnf 11321  [,]cicc 13460  SAlgcsalg 47262  Σ^{^}csumge0 47316  Meascmea 47403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-xadd 13223  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834  df-salg 47263  df-sumge0 47317  df-mea 47404

This theorem is used by: (None)