Theorem psmeasure 46453

Description: Point supported measure, Remark 112B (d) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psmeasure.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
psmeasure.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasure.m	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
psmeasure	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem psmeasure

Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
2		psmeasure.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
3	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1	elpwid 4562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
5		fssres 6694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
7	1, 6	sge0cl 46363	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ (0[,]+∞))
8		psmeasure.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))
9	7, 8	fmptd 7052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
10	8, 7	dmmptd 6631	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = 𝒫 𝑋)
11	10	feq2d 6640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)))
12	9, 11	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞))
13		psmeasure.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		pwsal 46297	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
16	10, 15	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
17	12, 16	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg))
18		reseq2 5929	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐻 ↾ 𝑥) = (𝐻 ↾ ∅))
19	18	fveq2d 6830	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
20		0elpw 5298	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝑋
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑋)
22		fvexd 6841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) ∈ V)
23	8, 19, 21, 22	fvmptd3 6957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
24		res0 5938	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ↾ ∅) = ∅
25	24	fveq2i 6829	. . . . . 6 ⊢ (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = (Σ^‘∅)
26		sge00 46358	. . . . . 6 ⊢ (Σ^‘∅) = 0
27	25, 26	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0)
29	23, 28	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
30		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝜑)
31		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
32	10	pweqd 4570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
34	31, 33	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
35		elpwi 4560	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
37	13	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38	2	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
39	9	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
40		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
41		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → 𝑤 = 𝑧)
42	41	cbvdisjv 5073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ↔ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
43	42	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
44	43	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
45	37, 38, 8, 39, 40, 44	psmeasurelem 46452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))
46	45	adantrl 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))
47	46	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
48	30, 36, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
49	48	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦))))
50	17, 29, 49	jca31 514	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))))
51		ismea 46433	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤 ∈ 𝑦 𝑤) → (𝑀‘∪ 𝑦) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑦)))))
52	50, 51	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4553  ∪ cuni 4861  Disj wdisj 5062   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623   ↾ cres 5625  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ωcom 7806   ≼ cdom 8877  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  [,]cicc 13269  SAlgcsalg 46290  Σ^{^}csumge0 46344  Meascmea 46431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-xadd 13033  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-salg 46291  df-sumge0 46345  df-mea 46432

This theorem is referenced by: (None)