MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0gsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0gsumle 24196
Description: A finite sum in the nonnegative extended reals is monotonic in the support. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0gsumle.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0gsumle.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0gsumle.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0gsumle.b (𝜑𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
xrge0gsumle.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
xrge0gsumle (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝐵)))

Proof of Theorem xrge0gsumle
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13347 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 xrge0gsumle.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
3 xrsbas 20813 . . . . . . . . . 10 * = (Base‘ℝ*𝑠)
42, 3ressbas2 17120 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
51, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
6 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
76xrge0subm 20838 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
8 xrex 12912 . . . . . . . . . . . . 13 * ∈ V
98difexi 5285 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
10 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11 ge0nemnf 13092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
1210, 11jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
13 elxrge0 13374 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
14 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
1512, 13, 143imtr4i 291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
1615ssriv 3948 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
17 ressabs 17130 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
189, 16, 17mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
192, 18eqtr4i 2767 . . . . . . . . . 10 𝐺 = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
206xrs10 20836 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
2119, 20subm0 18626 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g𝐺))
227, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
23 xrge0cmn 20839 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
242, 23eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ CMnd
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
26 elfpw 9298 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ∈ Fin))
2726simprbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
2827adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
29 xrge0gsumle.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
3026simplbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠𝐴)
31 fssres 6708 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
3229, 30, 31syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
33 c0ex 11149 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
3532, 28, 34fdmfifsupp 9315 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠) finSupp 0)
365, 22, 25, 28, 32, 35gsumcl 19692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
371, 36sselid 3942 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ ℝ*)
3837fmpttd 7063 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
3938frnd 6676 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
40 0ss 4356 . . . . . . 7 ∅ ⊆ 𝐴
41 0fin 9115 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
42 elfpw 9298 . . . . . . 7 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
4340, 41, 42mpbir2an 709 . . . . . 6 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
44 0cn 11147 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
45 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
46 reseq2 5932 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
47 res0 5941 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
4846, 47eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = ∅)
4948oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
5022gsum0 18539 . . . . . . . 8 (𝐺 Σg ∅) = 0
5149, 50eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = 0)
5245, 51elrnmpt1s 5912 . . . . . 6 ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
5343, 44, 52mp2an 690 . . . . 5 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
5453a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
5539, 54sseldd 3945 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
5624a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
57 xrge0gsumle.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5857elin2d 4159 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
59 diffi 9123 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐶) ∈ Fin)
6058, 59syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ Fin)
61 elfpw 9298 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin))
6261simplbi 498 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐵𝐴)
6357, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
6463ssdifssd 4102 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴)
6529, 64fssresd 6709 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)):(𝐵𝐶)⟶(0[,]+∞))
6633a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ V)
6765, 60, 66fdmfifsupp 9315 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)) finSupp 0)
685, 22, 56, 60, 65, 67gsumcl 19692 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
691, 68sselid 3942 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ ℝ*)
70 xrge0gsumle.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐵)
7158, 70ssfid 9211 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
7270, 63sstrd 3954 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
7329, 72fssresd 6709 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶):𝐶⟶(0[,]+∞))
7473, 71, 66fdmfifsupp 9315 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) finSupp 0)
755, 22, 56, 71, 73, 74gsumcl 19692 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
761, 75sselid 3942 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ ℝ*)
77 elxrge0 13374 . . . . 5 ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
7877simprbi 497 . . . 4 ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))))
7968, 78syl 17 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))))
80 xleadd2a 13173 . . 3 (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))) → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
8155, 69, 76, 79, 80syl31anc 1373 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
8276xaddid1d 13162 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) = (𝐺 Σg (𝐹𝐶)))
83 ovex 7390 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
84 xrsadd 20814 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
852, 84ressplusg 17171 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g𝐺))
8683, 85ax-mp 5 . . . 4 +𝑒 = (+g𝐺)
8729, 63fssresd 6709 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
8887, 58, 66fdmfifsupp 9315 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) finSupp 0)
89 disjdif 4431 . . . . 5 (𝐶 ∩ (𝐵𝐶)) = ∅
9089a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐵𝐶)) = ∅)
91 undif2 4436 . . . . 5 (𝐶 ∪ (𝐵𝐶)) = (𝐶𝐵)
92 ssequn1 4140 . . . . . 6 (𝐶𝐵 ↔ (𝐶𝐵) = 𝐵)
9370, 92sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐵) = 𝐵)
9491, 93eqtr2id 2789 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝐶 ∪ (𝐵𝐶)))
955, 22, 86, 56, 57, 87, 88, 90, 94gsumsplit 19705 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐵)) = ((𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)))))
9670resabs1d 5968 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐹𝐶))
9796oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝐹𝐶)))
98 difss 4091 . . . . . 6 (𝐵𝐶) ⊆ 𝐵
99 resabs1 5967 . . . . . 6 ((𝐵𝐶) ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))
10098, 99mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))
101100oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))))
10297, 101oveq12d 7375 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
10395, 102eqtr2d 2777 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))) = (𝐺 Σg (𝐹𝐵)))
10481, 82, 1033brtr3d 5136 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188  cle 11190   +𝑒 cxad 13031  [,]cicc 13267  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  *𝑠cxrs 17382  SubMndcsubmnd 18600  CMndccmn 19562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-xadd 13034  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-xrs 17384  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-cntz 19097  df-cmn 19564
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  24197  xrge0tsmsd  31899
  Copyright terms: Public domain W3C validator