Theorem xrge0gsumle 23585

Description: A finite sum in the nonnegative extended reals is monotonic in the support. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0gsumle.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0gsumle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0gsumle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0gsumle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
xrge0gsumle.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrge0gsumle	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))

Proof of Theorem xrge0gsumle

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12904	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrge0gsumle.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		xrsbas 20233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 16658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
6		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
7	6	xrge0subm 20258	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
8		xrex 12469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ* ∈ V
9	8	difexi 5196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
10		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11		ge0nemnf 12649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
12	10, 11	jca 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
13		elxrge0 12931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
14		eldifsn 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
15	12, 13, 14	3imtr4i 295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
16	15	ssriv 3881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
17		ressabs 16666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
18	9, 16, 17	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
19	2, 18	eqtr4i 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
20	6	xrs10 20256	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
21	19, 20	subm0 18096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g‘𝐺))
22	7, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
23		xrge0cmn 20259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
24	2, 23	eqeltri 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
26		elfpw 8899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
27	26	simprbi 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
28	27	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
29		xrge0gsumle.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
30	26	simplbi 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
31		fssres 6544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
32	29, 30, 31	syl2an 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
33		c0ex 10713	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
35	32, 28, 34	fdmfifsupp 8916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠) finSupp 0)
36	5, 22, 25, 28, 32, 35	gsumcl 19154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
37	1, 36	sseldi 3875	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ ℝ*)
38	37	fmpttd 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
39	38	frnd 6512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
40		0ss 4285	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
41		0fin 8770	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
42		elfpw 8899	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
43	40, 41, 42	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
44		0cn 10711	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
45		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
46		reseq2 5820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
47		res0 5829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
48	46, 47	eqtrdi 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = ∅)
49	48	oveq2d 7186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
50	22	gsum0 18010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0
51	49, 50	eqtrdi 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = 0)
52	45, 51	elrnmpt1s 5800	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
53	43, 44, 52	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
54	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
55	39, 54	sseldd 3878	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
56	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
57		xrge0gsumle.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
58	57	elin2d 4089	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
59		diffi 8827	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
60	58, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
61		elfpw 8899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin))
62	61	simplbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
63	57, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
64	63	ssdifssd 4033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐴)
65	29, 64	fssresd 6545	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)):(𝐵 ∖ 𝐶)⟶(0[,]+∞))
66	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
67	65, 60, 66	fdmfifsupp 8916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) finSupp 0)
68	5, 22, 56, 60, 65, 67	gsumcl 19154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
69	1, 68	sseldi 3875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ*)
70		xrge0gsumle.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
71	58, 70	ssfid 8819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
72	70, 63	sstrd 3887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
73	29, 72	fssresd 6545	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶(0[,]+∞))
74	73, 71, 66	fdmfifsupp 8916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) finSupp 0)
75	5, 22, 56, 71, 73, 74	gsumcl 19154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
76	1, 75	sseldi 3875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ ℝ*)
77		elxrge0 12931	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
78	77	simprbi 500	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
79	68, 78	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
80		xleadd2a 12730	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
81	55, 69, 76, 79, 80	syl31anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
82	76	xaddid1d 12719	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)))
83		ovex 7203	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
84		xrsadd 20234	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
85	2, 84	ressplusg 16715	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝐺))
86	83, 85	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝐺)
87	29, 63	fssresd 6545	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
88	87, 58, 66	fdmfifsupp 8916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) finSupp 0)
89		disjdif 4361	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ∅
90	89	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ∅)
91		undif2 4366	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐶 ∪ 𝐵)
92		ssequn1 4070	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ∪ 𝐵) = 𝐵)
93	70, 92	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐵) = 𝐵)
94	91, 93	eqtr2id 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)))
95	5, 22, 86, 56, 57, 87, 88, 90, 94	gsumsplit 19167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
96	70	resabs1d 5856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐹 ↾ 𝐶))
97	96	oveq2d 7186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)))
98		difss 4022	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵
99		resabs1 5855	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))
100	98, 99	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))
101	100	oveq2d 7186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
102	97, 101	oveq12d 7188	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
103	95, 102	eqtr2d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))
104	81, 82, 103	3brtr3d 5061	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  Vcvv 3398   ∖ cdif 3840   ∪ cun 3841   ∩ cin 3842   ⊆ wss 3843  ∅c0 4211  𝒫 cpw 4488  {csn 4516   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ran crn 5526   ↾ cres 5527  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  Fincfn 8555  ℂcc 10613  0cc0 10615  +∞cpnf 10750  -∞cmnf 10751  ℝ^*cxr 10752   ≤ cle 10754   +_𝑒 cxad 12588  [,]cicc 12824  Basecbs 16586   ↾_s cress 16587  +_gcplusg 16668  0_gc0g 16816   Σ_g cgsu 16817  ℝ^*_𝑠cxrs 16876  SubMndcsubmnd 18071  CMndccmn 19024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-xadd 12591  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-xrs 16878  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-cntz 18565  df-cmn 19026

This theorem is referenced by:  xrge0tsms  23586  xrge0tsmsd  30894