Theorem xrge0gsumle 24722

Description: A finite sum in the nonnegative extended reals is monotonic in the support. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0gsumle.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0gsumle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0gsumle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0gsumle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
xrge0gsumle.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrge0gsumle	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))

Proof of Theorem xrge0gsumle

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13391	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrge0gsumle.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		xrsbas 21295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 17208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
6		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
7	6	xrge0subm 21324	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
8		xrex 12946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ* ∈ V
9	8	difexi 5285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
10		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11		ge0nemnf 13133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
12	10, 11	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
13		elxrge0 13418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
14		eldifsn 4750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
15	12, 13, 14	3imtr4i 292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
16	15	ssriv 3950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
17		ressabs 17218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
18	9, 16, 17	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
19	2, 18	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
20	6	xrs10 21322	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
21	19, 20	subm0 18742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g‘𝐺))
22	7, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
23		xrge0cmn 21325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
24	2, 23	eqeltri 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
26		elfpw 9305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
27	26	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
28	27	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
29		xrge0gsumle.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
30	26	simplbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
31		fssres 6726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
32	29, 30, 31	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
33		c0ex 11168	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
35	32, 28, 34	fdmfifsupp 9326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠) finSupp 0)
36	5, 22, 25, 28, 32, 35	gsumcl 19845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
37	1, 36	sselid 3944	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ ℝ*)
38	37	fmpttd 7087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
39	38	frnd 6696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
40		0ss 4363	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
41		0fi 9013	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
42		elfpw 9305	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
43	40, 41, 42	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
44		0cn 11166	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
45		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
46		reseq2 5945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
47		res0 5954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
48	46, 47	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = ∅)
49	48	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
50	22	gsum0 18611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0
51	49, 50	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = 0)
52	45, 51	elrnmpt1s 5923	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
53	43, 44, 52	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
54	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
55	39, 54	sseldd 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
56	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
57		xrge0gsumle.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
58	57	elin2d 4168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
59		diffi 9139	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
60	58, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
61		elfpw 9305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin))
62	61	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
63	57, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
64	63	ssdifssd 4110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐴)
65	29, 64	fssresd 6727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)):(𝐵 ∖ 𝐶)⟶(0[,]+∞))
66	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
67	65, 60, 66	fdmfifsupp 9326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) finSupp 0)
68	5, 22, 56, 60, 65, 67	gsumcl 19845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
69	1, 68	sselid 3944	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ*)
70		xrge0gsumle.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
71	58, 70	ssfid 9212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
72	70, 63	sstrd 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
73	29, 72	fssresd 6727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶(0[,]+∞))
74	73, 71, 66	fdmfifsupp 9326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) finSupp 0)
75	5, 22, 56, 71, 73, 74	gsumcl 19845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
76	1, 75	sselid 3944	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ ℝ*)
77		elxrge0 13418	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
78	77	simprbi 496	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
79	68, 78	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
80		xleadd2a 13214	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
81	55, 69, 76, 79, 80	syl31anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
82	76	xaddridd 13203	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)))
83		ovex 7420	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
84		xrsadd 21296	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
85	2, 84	ressplusg 17254	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝐺))
86	83, 85	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝐺)
87	29, 63	fssresd 6727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
88	87, 58, 66	fdmfifsupp 9326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) finSupp 0)
89		disjdif 4435	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ∅
90	89	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ∅)
91		undif2 4440	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐶 ∪ 𝐵)
92		ssequn1 4149	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ∪ 𝐵) = 𝐵)
93	70, 92	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐵) = 𝐵)
94	91, 93	eqtr2id 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)))
95	5, 22, 86, 56, 57, 87, 88, 90, 94	gsumsplit 19858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
96	70	resabs1d 5979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐹 ↾ 𝐶))
97	96	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)))
98		difss 4099	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵
99		resabs1 5977	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))
100	98, 99	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))
101	100	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
102	97, 101	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
103	95, 102	eqtr2d 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))
104	81, 82, 103	3brtr3d 5138	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639   ↾ cres 5640  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  ℂcc 11066  0cc0 11068  +∞cpnf 11205  -∞cmnf 11206  ℝ^*cxr 11207   ≤ cle 11209   +_𝑒 cxad 13070  [,]cicc 13309  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  ℝ^*_𝑠cxrs 17463  SubMndcsubmnd 18709  CMndccmn 19710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-xadd 13073  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-xrs 17465  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-cntz 19249  df-cmn 19712

This theorem is referenced by:  xrge0tsms  24723  xrge0tsmsd  33002