MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0gsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0gsumle 22857
Description: A finite sum in the nonnegative extended reals is monotonic in the support. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0gsumle.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0gsumle.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0gsumle.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0gsumle.b (𝜑𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
xrge0gsumle.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
xrge0gsumle (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝐵)))

Proof of Theorem xrge0gsumle
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12462 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 xrge0gsumle.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
3 xrsbas 19978 . . . . . . . . . 10 * = (Base‘ℝ*𝑠)
42, 3ressbas2 16139 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
51, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
6 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
76xrge0subm 20003 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
8 xrex 12033 . . . . . . . . . . . . 13 * ∈ V
9 difexg 4943 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
11 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12 ge0nemnf 12210 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
1311, 12jca 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
14 elxrge0 12489 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
15 eldifsn 4454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
1613, 14, 153imtr4i 281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
1716ssriv 3757 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
18 ressabs 16148 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
1910, 17, 18mp2an 666 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
202, 19eqtr4i 2796 . . . . . . . . . 10 𝐺 = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
216xrs10 20001 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
2220, 21subm0 17565 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g𝐺))
237, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
24 xrge0cmn 20004 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
252, 24eqeltri 2846 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ CMnd
2625a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
27 elfpw 8425 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ∈ Fin))
2827simprbi 480 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
2928adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
30 xrge0gsumle.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
3127simplbi 481 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠𝐴)
32 fssres 6211 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
3330, 31, 32syl2an 577 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
34 c0ex 10237 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
3633, 29, 35fdmfifsupp 8442 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠) finSupp 0)
375, 23, 26, 29, 33, 36gsumcl 18524 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
381, 37sseldi 3751 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ ℝ*)
39 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
4038, 39fmptd 6528 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
41 frn 6194 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
4240, 41syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
43 0ss 4117 . . . . . . 7 ∅ ⊆ 𝐴
44 0fin 8345 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
45 elfpw 8425 . . . . . . 7 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
4643, 44, 45mpbir2an 684 . . . . . 6 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
47 0cn 10235 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
48 reseq2 5530 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
49 res0 5539 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
5048, 49syl6eq 2821 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = ∅)
5150oveq2d 6810 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
5223gsum0 17487 . . . . . . . 8 (𝐺 Σg ∅) = 0
5351, 52syl6eq 2821 . . . . . . 7 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = 0)
5439, 53elrnmpt1s 5512 . . . . . 6 ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
5546, 47, 54mp2an 666 . . . . 5 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
5655a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
5742, 56sseldd 3754 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
5825a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
59 xrge0gsumle.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
60 elfpw 8425 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin))
6160simprbi 480 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
6259, 61syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
63 diffi 8349 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐶) ∈ Fin)
6462, 63syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ Fin)
6560simplbi 481 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐵𝐴)
6659, 65syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
6766ssdifssd 3900 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴)
6830, 67fssresd 6212 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)):(𝐵𝐶)⟶(0[,]+∞))
6934a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ V)
7068, 64, 69fdmfifsupp 8442 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)) finSupp 0)
715, 23, 58, 64, 68, 70gsumcl 18524 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
721, 71sseldi 3751 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ ℝ*)
73 xrge0gsumle.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐵)
74 ssfi 8337 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
7562, 73, 74syl2anc 567 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
7673, 66sstrd 3763 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
7730, 76fssresd 6212 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶):𝐶⟶(0[,]+∞))
7877, 75, 69fdmfifsupp 8442 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) finSupp 0)
795, 23, 58, 75, 77, 78gsumcl 18524 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
801, 79sseldi 3751 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ ℝ*)
81 elxrge0 12489 . . . . 5 ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
8281simprbi 480 . . . 4 ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))))
8371, 82syl 17 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))))
84 xleadd2a 12290 . . 3 (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))) → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
8557, 72, 80, 83, 84syl31anc 1479 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
86 xaddid1 12278 . . 3 ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ ℝ* → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) = (𝐺 Σg (𝐹𝐶)))
8780, 86syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) = (𝐺 Σg (𝐹𝐶)))
88 ovex 6824 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
89 xrsadd 19979 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
902, 89ressplusg 16202 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g𝐺))
9188, 90ax-mp 5 . . . 4 +𝑒 = (+g𝐺)
9230, 66fssresd 6212 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
9392, 62, 69fdmfifsupp 8442 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) finSupp 0)
94 disjdif 4183 . . . . 5 (𝐶 ∩ (𝐵𝐶)) = ∅
9594a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐵𝐶)) = ∅)
96 undif2 4187 . . . . 5 (𝐶 ∪ (𝐵𝐶)) = (𝐶𝐵)
97 ssequn1 3935 . . . . . 6 (𝐶𝐵 ↔ (𝐶𝐵) = 𝐵)
9873, 97sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐵) = 𝐵)
9996, 98syl5req 2818 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝐶 ∪ (𝐵𝐶)))
1005, 23, 91, 58, 59, 92, 93, 95, 99gsumsplit 18536 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐵)) = ((𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)))))
10173resabs1d 5570 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐹𝐶))
102101oveq2d 6810 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝐹𝐶)))
103 difss 3889 . . . . . 6 (𝐵𝐶) ⊆ 𝐵
104 resabs1 5569 . . . . . 6 ((𝐵𝐶) ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))
105103, 104mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))
106105oveq2d 6810 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))))
107102, 106oveq12d 6812 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
108100, 107eqtr2d 2806 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))) = (𝐺 Σg (𝐹𝐵)))
10985, 87, 1083brtr3d 4818 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  cdif 3721  cun 3722  cin 3723  wss 3724  c0 4064  𝒫 cpw 4298  {csn 4317   class class class wbr 4787  cmpt 4864  ran crn 5251  cres 5252  wf 6028  cfv 6032  (class class class)co 6794  Fincfn 8110  cc 10137  0cc0 10139  +∞cpnf 10274  -∞cmnf 10275  *cxr 10276  cle 10278   +𝑒 cxad 12150  [,]cicc 12384  Basecbs 16065  s cress 16066  +gcplusg 16150  0gc0g 16309   Σg cgsu 16310  *𝑠cxrs 16369  SubMndcsubmnd 17543  CMndccmn 18401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-supp 7448  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-fsupp 8433  df-oi 8572  df-card 8966  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-xadd 12153  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-seq 13010  df-hash 13323  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-tset 16169  df-ple 16170  df-ds 16173  df-0g 16311  df-gsum 16312  df-xrs 16371  df-mre 16455  df-mrc 16456  df-acs 16458  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-cntz 17958  df-cmn 18403
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  22858  xrge0tsmsd  30126
  Copyright terms: Public domain W3C validator