MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0gsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0gsumle 24118
Description: A finite sum in the nonnegative extended reals is monotonic in the support. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0gsumle.g 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
xrge0gsumle.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0gsumle.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
xrge0gsumle.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
xrge0gsumle.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
xrge0gsumle (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)))

Proof of Theorem xrge0gsumle
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13276 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 xrge0gsumle.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
3 xrsbas 20736 . . . . . . . . . 10 ℝ* = (Baseβ€˜β„*𝑠)
42, 3ressbas2 17055 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ))
51, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ)
6 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))
76xrge0subm 20761 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
8 xrex 12841 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ* ∈ V
98difexi 5284 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V
10 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
11 ge0nemnf 13021 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ β‰  -∞)
1210, 11jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
13 elxrge0 13303 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯))
14 eldifsn 4746 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
1512, 13, 143imtr4i 292 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}))
1615ssriv 3947 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})
17 ressabs 17065 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})) β†’ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
189, 16, 17mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
192, 18eqtr4i 2769 . . . . . . . . . 10 𝐺 = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞))
206xrs10 20759 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
2119, 20subm0 18561 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))) β†’ 0 = (0gβ€˜πΊ))
227, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜πΊ)
23 xrge0cmn 20762 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
242, 23eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ CMnd
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
26 elfpw 9232 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
2726simprbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
2827adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
29 xrge0gsumle.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
3026simplbi 499 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐴)
31 fssres 6704 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞) ∧ 𝑠 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
3229, 30, 31syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
33 c0ex 11083 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 0 ∈ V)
3532, 28, 34fdmfifsupp 9249 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) finSupp 0)
365, 22, 25, 28, 32, 35gsumcl 19621 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
371, 36sselid 3941 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ ℝ*)
3837fmpttd 7058 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)βŸΆβ„*)
3938frnd 6672 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
40 0ss 4355 . . . . . . 7 βˆ… βŠ† 𝐴
41 0fin 9049 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Fin
42 elfpw 9232 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ βˆ… ∈ Fin))
4340, 41, 42mpbir2an 710 . . . . . 6 βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
44 0cn 11081 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
45 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
46 reseq2 5929 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = (𝐹 β†Ύ βˆ…))
47 res0 5938 . . . . . . . . . 10 (𝐹 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
4846, 47eqtrdi 2794 . . . . . . . . 9 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = βˆ…)
4948oveq2d 7366 . . . . . . . 8 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = (𝐺 Ξ£g βˆ…))
5022gsum0 18474 . . . . . . . 8 (𝐺 Ξ£g βˆ…) = 0
5149, 50eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = 0)
5245, 51elrnmpt1s 5909 . . . . . 6 ((βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
5343, 44, 52mp2an 691 . . . . 5 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
5453a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
5539, 54sseldd 3944 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
5624a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
57 xrge0gsumle.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5857elin2d 4158 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
59 diffi 9057 . . . . . 6 (𝐡 ∈ Fin β†’ (𝐡 βˆ– 𝐢) ∈ Fin)
6058, 59syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐢) ∈ Fin)
61 elfpw 9232 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ Fin))
6261simplbi 499 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
6357, 62syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
6463ssdifssd 4101 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐢) βŠ† 𝐴)
6529, 64fssresd 6705 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)):(𝐡 βˆ– 𝐢)⟢(0[,]+∞))
6633a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
6765, 60, 66fdmfifsupp 9249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)) finSupp 0)
685, 22, 56, 60, 65, 67gsumcl 19621 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ (0[,]+∞))
691, 68sselid 3941 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ ℝ*)
70 xrge0gsumle.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
7158, 70ssfid 9145 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Fin)
7270, 63sstrd 3953 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
7329, 72fssresd 6705 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢⟢(0[,]+∞))
7473, 71, 66fdmfifsupp 9249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) finSupp 0)
755, 22, 56, 71, 73, 74gsumcl 19621 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ (0[,]+∞))
761, 75sselid 3941 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ ℝ*)
77 elxrge0 13303 . . . . 5 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
7877simprbi 498 . . . 4 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))))
7968, 78syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))))
80 xleadd2a 13102 . . 3 (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 0) ≀ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
8155, 69, 76, 79, 80syl31anc 1374 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 0) ≀ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
8276xaddid1d 13091 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 0) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)))
83 ovex 7383 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
84 xrsadd 20737 . . . . . 6 +𝑒 = (+gβ€˜β„*𝑠)
852, 84ressplusg 17106 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V β†’ +𝑒 = (+gβ€˜πΊ))
8683, 85ax-mp 5 . . . 4 +𝑒 = (+gβ€˜πΊ)
8729, 63fssresd 6705 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡⟢(0[,]+∞))
8887, 58, 66fdmfifsupp 9249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) finSupp 0)
89 disjdif 4430 . . . . 5 (𝐢 ∩ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = βˆ…
9089a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = βˆ…)
91 undif2 4435 . . . . 5 (𝐢 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = (𝐢 βˆͺ 𝐡)
92 ssequn1 4139 . . . . . 6 (𝐢 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐢 βˆͺ 𝐡) = 𝐡)
9370, 92sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆͺ 𝐡) = 𝐡)
9491, 93eqtr2id 2791 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (𝐢 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐢)))
955, 22, 86, 56, 57, 87, 88, 90, 94gsumsplit 19634 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
9670resabs1d 5965 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢) = (𝐹 β†Ύ 𝐢))
9796oveq2d 7366 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)))
98 difss 4090 . . . . . 6 (𝐡 βˆ– 𝐢) βŠ† 𝐡
99 resabs1 5964 . . . . . 6 ((𝐡 βˆ– 𝐢) βŠ† 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))
10098, 99mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))
101100oveq2d 7366 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))))
10297, 101oveq12d 7368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
10395, 102eqtr2d 2779 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
10481, 82, 1033brtr3d 5135 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3906   βˆͺ cun 3907   ∩ cin 3908   βŠ† wss 3909  βˆ…c0 4281  π’« cpw 4559  {csn 4585   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187  ran crn 5632   β†Ύ cres 5633  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  Fincfn 8817  β„‚cc 10983  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  -∞cmnf 11121  β„*cxr 11122   ≀ cle 11124   +𝑒 cxad 12960  [,]cicc 13196  Basecbs 17018   β†Ύs cress 17047  +gcplusg 17068  0gc0g 17256   Ξ£g cgsu 17257  β„*𝑠cxrs 17317  SubMndcsubmnd 18535  CMndccmn 19491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-xadd 12963  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-seq 13836  df-hash 14159  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-0g 17258  df-gsum 17259  df-xrs 17319  df-mre 17401  df-mrc 17402  df-acs 17404  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-submnd 18537  df-cntz 19029  df-cmn 19493
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  24119  xrge0tsmsd  31681
  Copyright terms: Public domain W3C validator