MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0gsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0gsumle 23358
Description: A finite sum in the nonnegative extended reals is monotonic in the support. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0gsumle.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0gsumle.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0gsumle.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0gsumle.b (𝜑𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
xrge0gsumle.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
xrge0gsumle (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝐵)))

Proof of Theorem xrge0gsumle
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12812 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 xrge0gsumle.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
3 xrsbas 20479 . . . . . . . . . 10 * = (Base‘ℝ*𝑠)
42, 3ressbas2 16547 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
51, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
6 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
76xrge0subm 20504 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
8 xrex 12379 . . . . . . . . . . . . 13 * ∈ V
98difexi 5228 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
10 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11 ge0nemnf 12559 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
1210, 11jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
13 elxrge0 12838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
14 eldifsn 4717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
1512, 13, 143imtr4i 293 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
1615ssriv 3974 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
17 ressabs 16555 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
189, 16, 17mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
192, 18eqtr4i 2851 . . . . . . . . . 10 𝐺 = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
206xrs10 20502 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
2119, 20subm0 17967 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g𝐺))
227, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
23 xrge0cmn 20505 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
242, 23eqeltri 2913 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ CMnd
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
26 elfpw 8818 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ∈ Fin))
2726simprbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
2827adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
29 xrge0gsumle.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
3026simplbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠𝐴)
31 fssres 6540 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
3229, 30, 31syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
33 c0ex 10627 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
3532, 28, 34fdmfifsupp 8835 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠) finSupp 0)
365, 22, 25, 28, 32, 35gsumcl 18957 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
371, 36sseldi 3968 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ ℝ*)
3837fmpttd 6874 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
3938frnd 6517 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
40 0ss 4353 . . . . . . 7 ∅ ⊆ 𝐴
41 0fin 8738 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
42 elfpw 8818 . . . . . . 7 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
4340, 41, 42mpbir2an 707 . . . . . 6 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
44 0cn 10625 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
45 eqid 2825 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
46 reseq2 5846 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
47 res0 5855 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
4846, 47syl6eq 2876 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = ∅)
4948oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
5022gsum0 17885 . . . . . . . 8 (𝐺 Σg ∅) = 0
5149, 50syl6eq 2876 . . . . . . 7 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = 0)
5245, 51elrnmpt1s 5827 . . . . . 6 ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
5343, 44, 52mp2an 688 . . . . 5 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
5453a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
5539, 54sseldd 3971 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
5624a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
57 xrge0gsumle.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5857elin2d 4179 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
59 diffi 8742 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐶) ∈ Fin)
6058, 59syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ Fin)
61 elfpw 8818 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin))
6261simplbi 498 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐵𝐴)
6357, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
6463ssdifssd 4122 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴)
6529, 64fssresd 6541 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)):(𝐵𝐶)⟶(0[,]+∞))
6633a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ V)
6765, 60, 66fdmfifsupp 8835 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)) finSupp 0)
685, 22, 56, 60, 65, 67gsumcl 18957 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
691, 68sseldi 3968 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ ℝ*)
70 xrge0gsumle.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐵)
7158, 70ssfid 8733 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
7270, 63sstrd 3980 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
7329, 72fssresd 6541 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶):𝐶⟶(0[,]+∞))
7473, 71, 66fdmfifsupp 8835 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) finSupp 0)
755, 22, 56, 71, 73, 74gsumcl 18957 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
761, 75sseldi 3968 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ ℝ*)
77 elxrge0 12838 . . . . 5 ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
7877simprbi 497 . . . 4 ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))))
7968, 78syl 17 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))))
80 xleadd2a 12640 . . 3 (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))) → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
8155, 69, 76, 79, 80syl31anc 1367 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
8276xaddid1d 12629 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) = (𝐺 Σg (𝐹𝐶)))
83 ovex 7184 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
84 xrsadd 20480 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
852, 84ressplusg 16604 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g𝐺))
8683, 85ax-mp 5 . . . 4 +𝑒 = (+g𝐺)
8729, 63fssresd 6541 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
8887, 58, 66fdmfifsupp 8835 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) finSupp 0)
89 disjdif 4423 . . . . 5 (𝐶 ∩ (𝐵𝐶)) = ∅
9089a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐵𝐶)) = ∅)
91 undif2 4427 . . . . 5 (𝐶 ∪ (𝐵𝐶)) = (𝐶𝐵)
92 ssequn1 4159 . . . . . 6 (𝐶𝐵 ↔ (𝐶𝐵) = 𝐵)
9370, 92sylib 219 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐵) = 𝐵)
9491, 93syl5req 2873 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝐶 ∪ (𝐵𝐶)))
955, 22, 86, 56, 57, 87, 88, 90, 94gsumsplit 18970 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐵)) = ((𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)))))
9670resabs1d 5882 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐹𝐶))
9796oveq2d 7167 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝐹𝐶)))
98 difss 4111 . . . . . 6 (𝐵𝐶) ⊆ 𝐵
99 resabs1 5881 . . . . . 6 ((𝐵𝐶) ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))
10098, 99mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))
101100oveq2d 7167 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))))
10297, 101oveq12d 7169 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
10395, 102eqtr2d 2861 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))) = (𝐺 Σg (𝐹𝐵)))
10481, 82, 1033brtr3d 5093 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  Vcvv 3499  cdif 3936  cun 3937  cin 3938  wss 3939  c0 4294  𝒫 cpw 4541  {csn 4563   class class class wbr 5062  cmpt 5142  ran crn 5554  cres 5555  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  Fincfn 8501  cc 10527  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  *cxr 10666  cle 10668   +𝑒 cxad 12498  [,]cicc 12734  Basecbs 16475  s cress 16476  +gcplusg 16557  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  *𝑠cxrs 16765  SubMndcsubmnd 17945  CMndccmn 18828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-xadd 12501  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-xrs 16767  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-cntz 18379  df-cmn 18830
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  23359  xrge0tsmsd  30608
  Copyright terms: Public domain W3C validator