Theorem xrge0gsumle 24778

Description: A finite sum in the nonnegative extended reals is monotonic in the support. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0gsumle.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0gsumle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0gsumle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0gsumle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
xrge0gsumle.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrge0gsumle	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))

Proof of Theorem xrge0gsumle

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13346	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrge0gsumle.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		xrsbas 17527	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 17165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
6		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
7	6	xrge0subm 21398	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
8		xrex 12900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ* ∈ V
9	8	difexi 5275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
10		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11		ge0nemnf 13088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
12	10, 11	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
13		elxrge0 13373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
14		eldifsn 4742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
15	12, 13, 14	3imtr4i 292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
16	15	ssriv 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
17		ressabs 17175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
18	9, 16, 17	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
19	2, 18	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
20	6	xrs10 21396	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
21	19, 20	subm0 18740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g‘𝐺))
22	7, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
23		xrge0cmn 21399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
24	2, 23	eqeltri 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
26		elfpw 9254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
27	26	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
28	27	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
29		xrge0gsumle.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
30	26	simplbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
31		fssres 6700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
32	29, 30, 31	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
33		c0ex 11126	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
35	32, 28, 34	fdmfifsupp 9278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠) finSupp 0)
36	5, 22, 25, 28, 32, 35	gsumcl 19844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
37	1, 36	sselid 3931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ ℝ*)
38	37	fmpttd 7060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
39	38	frnd 6670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
40		0ss 4352	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
41		0fi 8979	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
42		elfpw 9254	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
43	40, 41, 42	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
44		0cn 11124	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
45		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
46		reseq2 5933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
47		res0 5942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
48	46, 47	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = ∅)
49	48	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
50	22	gsum0 18609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0
51	49, 50	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = 0)
52	45, 51	elrnmpt1s 5908	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
53	43, 44, 52	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
54	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
55	39, 54	sseldd 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
56	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
57		xrge0gsumle.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
58	57	elin2d 4157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
59		diffi 9099	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
60	58, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
61		elfpw 9254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin))
62	61	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
63	57, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
64	63	ssdifssd 4099	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐴)
65	29, 64	fssresd 6701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)):(𝐵 ∖ 𝐶)⟶(0[,]+∞))
66	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
67	65, 60, 66	fdmfifsupp 9278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) finSupp 0)
68	5, 22, 56, 60, 65, 67	gsumcl 19844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
69	1, 68	sselid 3931	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ*)
70		xrge0gsumle.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
71	58, 70	ssfid 9169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
72	70, 63	sstrd 3944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
73	29, 72	fssresd 6701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶(0[,]+∞))
74	73, 71, 66	fdmfifsupp 9278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) finSupp 0)
75	5, 22, 56, 71, 73, 74	gsumcl 19844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
76	1, 75	sselid 3931	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ ℝ*)
77		elxrge0 13373	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
78	77	simprbi 496	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
79	68, 78	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
80		xleadd2a 13169	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
81	55, 69, 76, 79, 80	syl31anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
82	76	xaddridd 13158	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)))
83		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
84		xrsadd 21340	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
85	2, 84	ressplusg 17211	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝐺))
86	83, 85	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝐺)
87	29, 63	fssresd 6701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
88	87, 58, 66	fdmfifsupp 9278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) finSupp 0)
89		disjdif 4424	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ∅
90	89	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ∅)
91		undif2 4429	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐶 ∪ 𝐵)
92		ssequn1 4138	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ∪ 𝐵) = 𝐵)
93	70, 92	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐵) = 𝐵)
94	91, 93	eqtr2id 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)))
95	5, 22, 86, 56, 57, 87, 88, 90, 94	gsumsplit 19857	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
96	70	resabs1d 5967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐹 ↾ 𝐶))
97	96	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)))
98		difss 4088	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵
99		resabs1 5965	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))
100	98, 99	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))
101	100	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
102	97, 101	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
103	95, 102	eqtr2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))
104	81, 82, 103	3brtr3d 5129	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  ℂcc 11024  0cc0 11026  +∞cpnf 11163  -∞cmnf 11164  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167   +_𝑒 cxad 13024  [,]cicc 13264  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  ℝ^*_𝑠cxrs 17421  SubMndcsubmnd 18707  CMndccmn 19709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-xadd 13027  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-xrs 17423  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-cntz 19246  df-cmn 19711

This theorem is referenced by:  xrge0tsms  24779  xrge0tsmsd  33155