MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0gsumle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xrge0gsumle 24569
Description: A finite sum in the nonnegative extended reals is monotonic in the support. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0gsumle.g 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
xrge0gsumle.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0gsumle.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
xrge0gsumle.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
xrge0gsumle.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
xrge0gsumle (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
Proof of Theorem xrge0gsumle
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13411 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 xrge0gsumle.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
3 xrsbas 21161 . . . . . . . . . 10 ℝ* = (Baseβ€˜β„*𝑠)
42, 3ressbas2 17186 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ))
51, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ)
6 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))
76xrge0subm 21186 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
8 xrex 12975 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ* ∈ V
98difexi 5327 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V
10 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
11 ge0nemnf 13156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ β‰  -∞)
1210, 11jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
13 elxrge0 13438 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯))
14 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
1512, 13, 143imtr4i 291 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}))
1615ssriv 3985 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})
17 ressabs 17198 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})) β†’ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
189, 16, 17mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
192, 18eqtr4i 2761 . . . . . . . . . 10 𝐺 = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞))
206xrs10 21184 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
2119, 20subm0 18732 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))) β†’ 0 = (0gβ€˜πΊ))
227, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜πΊ)
23 xrge0cmn 21187 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
242, 23eqeltri 2827 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ CMnd
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
26 elfpw 9356 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
2726simprbi 495 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
2827adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
29 xrge0gsumle.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
3026simplbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐴)
31 fssres 6756 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞) ∧ 𝑠 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
3229, 30, 31syl2an 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
33 c0ex 11212 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 0 ∈ V)
3532, 28, 34fdmfifsupp 9375 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) finSupp 0)
365, 22, 25, 28, 32, 35gsumcl 19824 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
371, 36sselid 3979 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ ℝ*)
3837fmpttd 7115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)βŸΆβ„*)
3938frnd 6724 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
40 0ss 4395 . . . . . . 7 βˆ… βŠ† 𝐴
41 0fin 9173 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Fin
42 elfpw 9356 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ βˆ… ∈ Fin))
4340, 41, 42mpbir2an 707 . . . . . 6 βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
44 0cn 11210 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
45 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
46 reseq2 5975 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = (𝐹 β†Ύ βˆ…))
47 res0 5984 . . . . . . . . . 10 (𝐹 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
4846, 47eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = βˆ…)
4948oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = (𝐺 Ξ£g βˆ…))
5022gsum0 18609 . . . . . . . 8 (𝐺 Ξ£g βˆ…) = 0
5149, 50eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = 0)
5245, 51elrnmpt1s 5955 . . . . . 6 ((βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
5343, 44, 52mp2an 688 . . . . 5 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
5453a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
5539, 54sseldd 3982 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
5624a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
57 xrge0gsumle.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5857elin2d 4198 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
59 diffi 9181 . . . . . 6 (𝐡 ∈ Fin β†’ (𝐡 βˆ– 𝐢) ∈ Fin)
6058, 59syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐢) ∈ Fin)
61 elfpw 9356 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ Fin))
6261simplbi 496 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
6357, 62syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
6463ssdifssd 4141 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐢) βŠ† 𝐴)
6529, 64fssresd 6757 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)):(𝐡 βˆ– 𝐢)⟢(0[,]+∞))
6633a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
6765, 60, 66fdmfifsupp 9375 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)) finSupp 0)
685, 22, 56, 60, 65, 67gsumcl 19824 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ (0[,]+∞))
691, 68sselid 3979 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ ℝ*)
70 xrge0gsumle.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
7158, 70ssfid 9269 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Fin)
7270, 63sstrd 3991 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
7329, 72fssresd 6757 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢⟢(0[,]+∞))
7473, 71, 66fdmfifsupp 9375 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) finSupp 0)
755, 22, 56, 71, 73, 74gsumcl 19824 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ (0[,]+∞))
761, 75sselid 3979 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ ℝ*)
77 elxrge0 13438 . . . . 5 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
7877simprbi 495 . . . 4 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))))
7968, 78syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))))
80 xleadd2a 13237 . . 3 (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 0) ≀ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
8155, 69, 76, 79, 80syl31anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 0) ≀ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
8276xaddridd 13226 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 0) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)))
83 ovex 7444 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
84 xrsadd 21162 . . . . . 6 +𝑒 = (+gβ€˜β„*𝑠)
852, 84ressplusg 17239 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V β†’ +𝑒 = (+gβ€˜πΊ))
8683, 85ax-mp 5 . . . 4 +𝑒 = (+gβ€˜πΊ)
8729, 63fssresd 6757 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡⟢(0[,]+∞))
8887, 58, 66fdmfifsupp 9375 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) finSupp 0)
89 disjdif 4470 . . . . 5 (𝐢 ∩ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = βˆ…
9089a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = βˆ…)
91 undif2 4475 . . . . 5 (𝐢 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = (𝐢 βˆͺ 𝐡)
92 ssequn1 4179 . . . . . 6 (𝐢 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐢 βˆͺ 𝐡) = 𝐡)
9370, 92sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆͺ 𝐡) = 𝐡)
9491, 93eqtr2id 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (𝐢 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐢)))
955, 22, 86, 56, 57, 87, 88, 90, 94gsumsplit 19837 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
9670resabs1d 6011 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢) = (𝐹 β†Ύ 𝐢))
9796oveq2d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)))
98 difss 4130 . . . . . 6 (𝐡 βˆ– 𝐢) βŠ† 𝐡
99 resabs1 6010 . . . . . 6 ((𝐡 βˆ– 𝐢) βŠ† 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))
10098, 99mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))
101100oveq2d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))))
10297, 101oveq12d 7429 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
10395, 102eqtr2d 2771 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
10481, 82, 1033brtr3d 5178 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   +𝑒 cxad 13094  [,]cicc 13331  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  +gcplusg 17201  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  β„*𝑠cxrs 17450  SubMndcsubmnd 18704  CMndccmn 19689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-xadd 13097  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-xrs 17452  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-cntz 19222  df-cmn 19691
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  24570  xrge0tsmsd  32479
  Copyright terms: Public domain W3C validator