Theorem xrge0gsumle 23007

Description: A finite sum in the nonnegative extended reals is monotonic in the support. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0gsumle.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0gsumle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0gsumle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0gsumle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
xrge0gsumle.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrge0gsumle	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))

Proof of Theorem xrge0gsumle

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12545	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrge0gsumle.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		xrsbas 20123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 16295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
6		eqid 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
7	6	xrge0subm 20148	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
8		xrex 12110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ* ∈ V
9		difexg 5034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
11		simpl 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12		ge0nemnf 12293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
13	11, 12	jca 509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
14		elxrge0 12572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
15		eldifsn 4537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
16	13, 14, 15	3imtr4i 284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
17	16	ssriv 3832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
18		ressabs 16304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
19	10, 17, 18	mp2an 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
20	2, 19	eqtr4i 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
21	6	xrs10 20146	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
22	20, 21	subm0 17710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g‘𝐺))
23	7, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
24		xrge0cmn 20149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
25	2, 24	eqeltri 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
27		elfpw 8538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
28	27	simprbi 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
29	28	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
30		xrge0gsumle.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
31	27	simplbi 493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
32		fssres 6308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
33	30, 31, 32	syl2an 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
34		c0ex 10351	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
36	33, 29, 35	fdmfifsupp 8555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠) finSupp 0)
37	5, 23, 26, 29, 33, 36	gsumcl 18670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
38	1, 37	sseldi 3826	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ ℝ*)
39	38	fmpttd 6635	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
40	39	frnd 6286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
41		0ss 4198	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
42		0fin 8458	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
43		elfpw 8538	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
44	41, 42, 43	mpbir2an 704	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
45		0cn 10349	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
46		eqid 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
47		reseq2 5625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
48		res0 5634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
49	47, 48	syl6eq 2878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = ∅)
50	49	oveq2d 6922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
51	23	gsum0 17632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0
52	50, 51	syl6eq 2878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = 0)
53	46, 52	elrnmpt1s 5607	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
54	44, 45, 53	mp2an 685	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
56	40, 55	sseldd 3829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
57	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
58		xrge0gsumle.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
59		elfpw 8538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin))
60	59	simprbi 492	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
61	58, 60	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
62		diffi 8462	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
63	61, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
64	59	simplbi 493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
65	58, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
66	65	ssdifssd 3976	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐴)
67	30, 66	fssresd 6309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)):(𝐵 ∖ 𝐶)⟶(0[,]+∞))
68	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
69	67, 63, 68	fdmfifsupp 8555	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) finSupp 0)
70	5, 23, 57, 63, 67, 69	gsumcl 18670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
71	1, 70	sseldi 3826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ*)
72		xrge0gsumle.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
73		ssfi 8450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
74	61, 72, 73	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
75	72, 65	sstrd 3838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
76	30, 75	fssresd 6309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶(0[,]+∞))
77	76, 74, 68	fdmfifsupp 8555	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) finSupp 0)
78	5, 23, 57, 74, 76, 77	gsumcl 18670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
79	1, 78	sseldi 3826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ ℝ*)
80		elxrge0 12572	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
81	80	simprbi 492	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
82	70, 81	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
83		xleadd2a 12373	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
84	56, 71, 79, 82, 83	syl31anc 1498	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
85		xaddid1 12361	. . 3 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ ℝ* → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)))
86	79, 85	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)))
87		ovex 6938	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
88		xrsadd 20124	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
89	2, 88	ressplusg 16353	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝐺))
90	87, 89	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝐺)
91	30, 65	fssresd 6309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
92	91, 61, 68	fdmfifsupp 8555	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) finSupp 0)
93		disjdif 4264	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ∅
94	93	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ∅)
95		undif2 4268	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐶 ∪ 𝐵)
96		ssequn1 4011	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ∪ 𝐵) = 𝐵)
97	72, 96	sylib 210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐵) = 𝐵)
98	95, 97	syl5req 2875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)))
99	5, 23, 90, 57, 58, 91, 92, 94, 98	gsumsplit 18682	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
100	72	resabs1d 5665	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐹 ↾ 𝐶))
101	100	oveq2d 6922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)))
102		difss 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵
103		resabs1 5664	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))
104	102, 103	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))
105	104	oveq2d 6922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
106	101, 105	oveq12d 6924	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
107	99, 106	eqtr2d 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))
108	84, 86, 107	3brtr3d 4905	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  Vcvv 3415   ∖ cdif 3796   ∪ cun 3797   ∩ cin 3798   ⊆ wss 3799  ∅c0 4145  𝒫 cpw 4379  {csn 4398   class class class wbr 4874   ↦ cmpt 4953  ran crn 5344   ↾ cres 5345  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  Fincfn 8223  ℂcc 10251  0cc0 10253  +∞cpnf 10389  -∞cmnf 10390  ℝ^*cxr 10391   ≤ cle 10393   +_𝑒 cxad 12231  [,]cicc 12467  Basecbs 16223   ↾_s cress 16224  +_gcplusg 16306  0_gc0g 16454   Σ_g cgsu 16455  ℝ^*_𝑠cxrs 16514  SubMndcsubmnd 17688  CMndccmn 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-xadd 12234  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-hash 13412  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-xrs 16516  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-cntz 18101  df-cmn 18549

This theorem is referenced by:  xrge0tsms  23008  xrge0tsmsd  30331