MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0gsumle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xrge0gsumle 24341
Description: A finite sum in the nonnegative extended reals is monotonic in the support. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0gsumle.g 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
xrge0gsumle.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0gsumle.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
xrge0gsumle.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
xrge0gsumle.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
xrge0gsumle (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
Proof of Theorem xrge0gsumle
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13404 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 xrge0gsumle.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
3 xrsbas 20954 . . . . . . . . . 10 ℝ* = (Baseβ€˜β„*𝑠)
42, 3ressbas2 17179 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ))
51, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ)
6 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))
76xrge0subm 20979 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
8 xrex 12968 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ* ∈ V
98difexi 5328 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V
10 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
11 ge0nemnf 13149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ β‰  -∞)
1210, 11jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
13 elxrge0 13431 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯))
14 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
1512, 13, 143imtr4i 292 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}))
1615ssriv 3986 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})
17 ressabs 17191 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})) β†’ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
189, 16, 17mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
192, 18eqtr4i 2764 . . . . . . . . . 10 𝐺 = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞))
206xrs10 20977 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
2119, 20subm0 18693 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))) β†’ 0 = (0gβ€˜πΊ))
227, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜πΊ)
23 xrge0cmn 20980 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
242, 23eqeltri 2830 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ CMnd
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
26 elfpw 9351 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
2726simprbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
2827adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
29 xrge0gsumle.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
3026simplbi 499 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐴)
31 fssres 6755 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞) ∧ 𝑠 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
3229, 30, 31syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
33 c0ex 11205 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 0 ∈ V)
3532, 28, 34fdmfifsupp 9370 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) finSupp 0)
365, 22, 25, 28, 32, 35gsumcl 19778 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
371, 36sselid 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ ℝ*)
3837fmpttd 7112 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)βŸΆβ„*)
3938frnd 6723 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
40 0ss 4396 . . . . . . 7 βˆ… βŠ† 𝐴
41 0fin 9168 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Fin
42 elfpw 9351 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ βˆ… ∈ Fin))
4340, 41, 42mpbir2an 710 . . . . . 6 βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
44 0cn 11203 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
45 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
46 reseq2 5975 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = (𝐹 β†Ύ βˆ…))
47 res0 5984 . . . . . . . . . 10 (𝐹 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
4846, 47eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = βˆ…)
4948oveq2d 7422 . . . . . . . 8 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = (𝐺 Ξ£g βˆ…))
5022gsum0 18600 . . . . . . . 8 (𝐺 Ξ£g βˆ…) = 0
5149, 50eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = 0)
5245, 51elrnmpt1s 5955 . . . . . 6 ((βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
5343, 44, 52mp2an 691 . . . . 5 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
5453a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
5539, 54sseldd 3983 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
5624a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
57 xrge0gsumle.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5857elin2d 4199 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
59 diffi 9176 . . . . . 6 (𝐡 ∈ Fin β†’ (𝐡 βˆ– 𝐢) ∈ Fin)
6058, 59syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐢) ∈ Fin)
61 elfpw 9351 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ Fin))
6261simplbi 499 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
6357, 62syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
6463ssdifssd 4142 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐢) βŠ† 𝐴)
6529, 64fssresd 6756 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)):(𝐡 βˆ– 𝐢)⟢(0[,]+∞))
6633a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
6765, 60, 66fdmfifsupp 9370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)) finSupp 0)
685, 22, 56, 60, 65, 67gsumcl 19778 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ (0[,]+∞))
691, 68sselid 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ ℝ*)
70 xrge0gsumle.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
7158, 70ssfid 9264 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Fin)
7270, 63sstrd 3992 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
7329, 72fssresd 6756 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢⟢(0[,]+∞))
7473, 71, 66fdmfifsupp 9370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) finSupp 0)
755, 22, 56, 71, 73, 74gsumcl 19778 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ (0[,]+∞))
761, 75sselid 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ ℝ*)
77 elxrge0 13431 . . . . 5 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
7877simprbi 498 . . . 4 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))))
7968, 78syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))))
80 xleadd2a 13230 . . 3 (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 0) ≀ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
8155, 69, 76, 79, 80syl31anc 1374 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 0) ≀ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
8276xaddridd 13219 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 0) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)))
83 ovex 7439 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
84 xrsadd 20955 . . . . . 6 +𝑒 = (+gβ€˜β„*𝑠)
852, 84ressplusg 17232 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V β†’ +𝑒 = (+gβ€˜πΊ))
8683, 85ax-mp 5 . . . 4 +𝑒 = (+gβ€˜πΊ)
8729, 63fssresd 6756 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡⟢(0[,]+∞))
8887, 58, 66fdmfifsupp 9370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) finSupp 0)
89 disjdif 4471 . . . . 5 (𝐢 ∩ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = βˆ…
9089a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = βˆ…)
91 undif2 4476 . . . . 5 (𝐢 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = (𝐢 βˆͺ 𝐡)
92 ssequn1 4180 . . . . . 6 (𝐢 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐢 βˆͺ 𝐡) = 𝐡)
9370, 92sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆͺ 𝐡) = 𝐡)
9491, 93eqtr2id 2786 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (𝐢 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐢)))
955, 22, 86, 56, 57, 87, 88, 90, 94gsumsplit 19791 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
9670resabs1d 6011 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢) = (𝐹 β†Ύ 𝐢))
9796oveq2d 7422 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)))
98 difss 4131 . . . . . 6 (𝐡 βˆ– 𝐢) βŠ† 𝐡
99 resabs1 6010 . . . . . 6 ((𝐡 βˆ– 𝐢) βŠ† 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))
10098, 99mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))
101100oveq2d 7422 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))))
10297, 101oveq12d 7424 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
10395, 102eqtr2d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
10481, 82, 1033brtr3d 5179 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  β„‚cc 11105  0cc0 11107  +∞cpnf 11242  -∞cmnf 11243  β„*cxr 11244   ≀ cle 11246   +𝑒 cxad 13087  [,]cicc 13324  Basecbs 17141   β†Ύs cress 17170  +gcplusg 17194  0gc0g 17382   Ξ£g cgsu 17383  β„*𝑠cxrs 17443  SubMndcsubmnd 18667  CMndccmn 19643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-xadd 13090  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-xrs 17445  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-cntz 19176  df-cmn 19645
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  24342  xrge0tsmsd  32197
  Copyright terms: Public domain W3C validator