MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0gsumle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xrge0gsumle 24671
Description: A finite sum in the nonnegative extended reals is monotonic in the support. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0gsumle.g 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
xrge0gsumle.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0gsumle.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
xrge0gsumle.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
xrge0gsumle.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
xrge0gsumle (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
Proof of Theorem xrge0gsumle
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13404 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 xrge0gsumle.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
3 xrsbas 21245 . . . . . . . . . 10 ℝ* = (Baseβ€˜β„*𝑠)
42, 3ressbas2 17181 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ))
51, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ)
6 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))
76xrge0subm 21270 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
8 xrex 12968 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ* ∈ V
98difexi 5318 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V
10 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
11 ge0nemnf 13149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ β‰  -∞)
1210, 11jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
13 elxrge0 13431 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯))
14 eldifsn 4782 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
1512, 13, 143imtr4i 292 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}))
1615ssriv 3978 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})
17 ressabs 17193 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})) β†’ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
189, 16, 17mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
192, 18eqtr4i 2755 . . . . . . . . . 10 𝐺 = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞))
206xrs10 21268 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
2119, 20subm0 18730 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))) β†’ 0 = (0gβ€˜πΊ))
227, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜πΊ)
23 xrge0cmn 21271 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
242, 23eqeltri 2821 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ CMnd
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
26 elfpw 9350 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
2726simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
2827adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
29 xrge0gsumle.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
3026simplbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐴)
31 fssres 6747 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞) ∧ 𝑠 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
3229, 30, 31syl2an 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
33 c0ex 11205 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 0 ∈ V)
3532, 28, 34fdmfifsupp 9369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) finSupp 0)
365, 22, 25, 28, 32, 35gsumcl 19825 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
371, 36sselid 3972 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ ℝ*)
3837fmpttd 7106 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)βŸΆβ„*)
3938frnd 6715 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
40 0ss 4388 . . . . . . 7 βˆ… βŠ† 𝐴
41 0fin 9167 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Fin
42 elfpw 9350 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ βˆ… ∈ Fin))
4340, 41, 42mpbir2an 708 . . . . . 6 βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
44 0cn 11203 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
45 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
46 reseq2 5966 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = (𝐹 β†Ύ βˆ…))
47 res0 5975 . . . . . . . . . 10 (𝐹 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
4846, 47eqtrdi 2780 . . . . . . . . 9 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = βˆ…)
4948oveq2d 7417 . . . . . . . 8 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = (𝐺 Ξ£g βˆ…))
5022gsum0 18607 . . . . . . . 8 (𝐺 Ξ£g βˆ…) = 0
5149, 50eqtrdi 2780 . . . . . . 7 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = 0)
5245, 51elrnmpt1s 5946 . . . . . 6 ((βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
5343, 44, 52mp2an 689 . . . . 5 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
5453a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
5539, 54sseldd 3975 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
5624a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
57 xrge0gsumle.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5857elin2d 4191 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
59 diffi 9175 . . . . . 6 (𝐡 ∈ Fin β†’ (𝐡 βˆ– 𝐢) ∈ Fin)
6058, 59syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐢) ∈ Fin)
61 elfpw 9350 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ Fin))
6261simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
6357, 62syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
6463ssdifssd 4134 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐢) βŠ† 𝐴)
6529, 64fssresd 6748 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)):(𝐡 βˆ– 𝐢)⟢(0[,]+∞))
6633a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
6765, 60, 66fdmfifsupp 9369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)) finSupp 0)
685, 22, 56, 60, 65, 67gsumcl 19825 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ (0[,]+∞))
691, 68sselid 3972 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ ℝ*)
70 xrge0gsumle.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
7158, 70ssfid 9263 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Fin)
7270, 63sstrd 3984 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
7329, 72fssresd 6748 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢⟢(0[,]+∞))
7473, 71, 66fdmfifsupp 9369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) finSupp 0)
755, 22, 56, 71, 73, 74gsumcl 19825 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ (0[,]+∞))
761, 75sselid 3972 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ ℝ*)
77 elxrge0 13431 . . . . 5 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
7877simprbi 496 . . . 4 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))))
7968, 78syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))))
80 xleadd2a 13230 . . 3 (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 0) ≀ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
8155, 69, 76, 79, 80syl31anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 0) ≀ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
8276xaddridd 13219 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 0) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)))
83 ovex 7434 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
84 xrsadd 21246 . . . . . 6 +𝑒 = (+gβ€˜β„*𝑠)
852, 84ressplusg 17234 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V β†’ +𝑒 = (+gβ€˜πΊ))
8683, 85ax-mp 5 . . . 4 +𝑒 = (+gβ€˜πΊ)
8729, 63fssresd 6748 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡⟢(0[,]+∞))
8887, 58, 66fdmfifsupp 9369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) finSupp 0)
89 disjdif 4463 . . . . 5 (𝐢 ∩ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = βˆ…
9089a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = βˆ…)
91 undif2 4468 . . . . 5 (𝐢 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = (𝐢 βˆͺ 𝐡)
92 ssequn1 4172 . . . . . 6 (𝐢 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐢 βˆͺ 𝐡) = 𝐡)
9370, 92sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆͺ 𝐡) = 𝐡)
9491, 93eqtr2id 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (𝐢 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐢)))
955, 22, 86, 56, 57, 87, 88, 90, 94gsumsplit 19838 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
9670resabs1d 6002 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢) = (𝐹 β†Ύ 𝐢))
9796oveq2d 7417 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)))
98 difss 4123 . . . . . 6 (𝐡 βˆ– 𝐢) βŠ† 𝐡
99 resabs1 6001 . . . . . 6 ((𝐡 βˆ– 𝐢) βŠ† 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))
10098, 99mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)) = (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))
101100oveq2d 7417 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢))))
10297, 101oveq12d 7419 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))))
10395, 102eqtr2d 2765 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) +𝑒 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐡 βˆ– 𝐢)))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
10481, 82, 1033brtr3d 5169 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3937   βˆͺ cun 3938   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  π’« cpw 4594  {csn 4620   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  0cc0 11106  +∞cpnf 11242  -∞cmnf 11243  β„*cxr 11244   ≀ cle 11246   +𝑒 cxad 13087  [,]cicc 13324  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  β„*𝑠cxrs 17445  SubMndcsubmnd 18702  CMndccmn 19690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-xadd 13090  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-xrs 17447  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-cntz 19223  df-cmn 19692
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  24672  xrge0tsmsd  32677
  Copyright terms: Public domain W3C validator