Theorem psmeasurelem 46916

Description: 𝑀 applied to a disjoint union of subsets of its domain is the sum of 𝑀 applied to such subset. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psmeasurelem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
psmeasurelem.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.m	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))
psmeasurelem.mf	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
psmeasurelem.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑌 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
psmeasurelem	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑌) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem psmeasurelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psmeasurelem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		psmeasurelem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3	2	pwexd 5316	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
4		ssexg 5260	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝒫 𝑋 ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
5	1, 3, 4	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑌)
7		uniiun 5002	. . 3 ⊢ ∪ 𝑌 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑌 𝑦
8		psmeasurelem.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
9		elpwg 4545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
10	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
11	1, 10	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
12		pwpwuni 45506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
13	5, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
14	11, 13	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
15	14	elpwid 4551	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑌 ⊆ 𝑋)
16	8, 15	fssresd 6701	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ ∪ 𝑌):∪ 𝑌⟶(0[,]+∞))
17		psmeasurelem.dj	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑌 𝑦)
18	5, 6, 7, 16, 17	sge0iun 46865	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))))
19		psmeasurelem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))
20		reseq2 5933	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑌 → (𝐻 ↾ 𝑥) = (𝐻 ↾ ∪ 𝑌))
21	20	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑌 → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)))
22		fvexd 6849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)) ∈ V)
23	19, 21, 14, 22	fvmptd3 6965	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑌) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)))
24		psmeasurelem.mf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
25	24, 1	fssresd 6701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑌):𝑌⟶(0[,]+∞))
26	25	feqmptd 6902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦)))
27		fvres 6853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝑀‘𝑦))
28	6, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝑀‘𝑦))
29		reseq2 5933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻 ↾ 𝑥) = (𝐻 ↾ 𝑦))
30	29	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)))
31	1	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
32		fvexd 6849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)) ∈ V)
33	19, 30, 31, 32	fvmptd3 6965	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑀‘𝑦) = (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)))
34		elssuni 4882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑌)
35		resabs1 5965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑌 → ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻 ↾ 𝑦))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻 ↾ 𝑦))
37	36	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝐻 ↾ 𝑦) = ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐻 ↾ 𝑦) = ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))
39	38	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)) = (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))
40	28, 33, 39	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))
41	40	mpteq2dva 5179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))))
42	26, 41	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))))
43	42	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑌)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))))
44	18, 23, 43	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑌) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  Disj wdisj 5053   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  [,]cicc 13292  Σ^{^}csumge0 46808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-xadd 13055  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-sumge0 46809

This theorem is referenced by:  psmeasure  46917