Theorem psmeasurelem 46426

Description: 𝑀 applied to a disjoint union of subsets of its domain is the sum of 𝑀 applied to such subset. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psmeasurelem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
psmeasurelem.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.m	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))
psmeasurelem.mf	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
psmeasurelem.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑌 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
psmeasurelem	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑌) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem psmeasurelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psmeasurelem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		psmeasurelem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3	2	pwexd 5385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
4		ssexg 5329	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝒫 𝑋 ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑌)
7		uniiun 5063	. . 3 ⊢ ∪ 𝑌 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑌 𝑦
8		psmeasurelem.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
9		elpwg 4608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
10	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
11	1, 10	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
12		pwpwuni 44997	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
13	5, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
14	11, 13	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
15	14	elpwid 4614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑌 ⊆ 𝑋)
16	8, 15	fssresd 6776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ ∪ 𝑌):∪ 𝑌⟶(0[,]+∞))
17		psmeasurelem.dj	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑌 𝑦)
18	5, 6, 7, 16, 17	sge0iun 46375	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))))
19		psmeasurelem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))
20		reseq2 5995	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑌 → (𝐻 ↾ 𝑥) = (𝐻 ↾ ∪ 𝑌))
21	20	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑌 → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)))
22		fvexd 6922	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)) ∈ V)
23	19, 21, 14, 22	fvmptd3 7039	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑌) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)))
24		psmeasurelem.mf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
25	24, 1	fssresd 6776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑌):𝑌⟶(0[,]+∞))
26	25	feqmptd 6977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦)))
27		fvres 6926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝑀‘𝑦))
28	6, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝑀‘𝑦))
29		reseq2 5995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻 ↾ 𝑥) = (𝐻 ↾ 𝑦))
30	29	fveq2d 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)))
31	1	sselda 3995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
32		fvexd 6922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)) ∈ V)
33	19, 30, 31, 32	fvmptd3 7039	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑀‘𝑦) = (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)))
34		elssuni 4942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑌)
35		resabs1 6027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑌 → ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻 ↾ 𝑦))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻 ↾ 𝑦))
37	36	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝐻 ↾ 𝑦) = ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐻 ↾ 𝑦) = ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))
39	38	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)) = (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))
40	28, 33, 39	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))
41	40	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))))
42	26, 41	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))))
43	42	fveq2d 6911	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑌)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))))
44	18, 23, 43	3eqtr4d 2785	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑌) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  ∪ cuni 4912  Disj wdisj 5115   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5691  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  [,]cicc 13387  Σ^{^}csumge0 46318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319

This theorem is referenced by:  psmeasure  46427