Theorem psmeasurelem 46430

Description: 𝑀 applied to a disjoint union of subsets of its domain is the sum of 𝑀 applied to such subset. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psmeasurelem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
psmeasurelem.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.m	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))
psmeasurelem.mf	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
psmeasurelem.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑌 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
psmeasurelem	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑌) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem psmeasurelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psmeasurelem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		psmeasurelem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3	2	pwexd 5361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
4		ssexg 5305	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝒫 𝑋 ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑌)
7		uniiun 5040	. . 3 ⊢ ∪ 𝑌 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑌 𝑦
8		psmeasurelem.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
9		elpwg 4585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
10	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
11	1, 10	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
12		pwpwuni 45007	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
13	5, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
14	11, 13	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
15	14	elpwid 4591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑌 ⊆ 𝑋)
16	8, 15	fssresd 6756	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ ∪ 𝑌):∪ 𝑌⟶(0[,]+∞))
17		psmeasurelem.dj	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑌 𝑦)
18	5, 6, 7, 16, 17	sge0iun 46379	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))))
19		psmeasurelem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))
20		reseq2 5974	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑌 → (𝐻 ↾ 𝑥) = (𝐻 ↾ ∪ 𝑌))
21	20	fveq2d 6891	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑌 → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)))
22		fvexd 6902	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)) ∈ V)
23	19, 21, 14, 22	fvmptd3 7020	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑌) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)))
24		psmeasurelem.mf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
25	24, 1	fssresd 6756	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑌):𝑌⟶(0[,]+∞))
26	25	feqmptd 6958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦)))
27		fvres 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝑀‘𝑦))
28	6, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝑀‘𝑦))
29		reseq2 5974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻 ↾ 𝑥) = (𝐻 ↾ 𝑦))
30	29	fveq2d 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)))
31	1	sselda 3965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
32		fvexd 6902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)) ∈ V)
33	19, 30, 31, 32	fvmptd3 7020	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑀‘𝑦) = (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)))
34		elssuni 4919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑌)
35		resabs1 6006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑌 → ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻 ↾ 𝑦))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻 ↾ 𝑦))
37	36	eqcomd 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝐻 ↾ 𝑦) = ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐻 ↾ 𝑦) = ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))
39	38	fveq2d 6891	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)) = (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))
40	28, 33, 39	3eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))
41	40	mpteq2dva 5224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))))
42	26, 41	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))))
43	42	fveq2d 6891	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑌)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))))
44	18, 23, 43	3eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑌) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3464   ⊆ wss 3933  𝒫 cpw 4582  ∪ cuni 4889  Disj wdisj 5092   ↦ cmpt 5207   ↾ cres 5669  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11138  +∞cpnf 11275  [,]cicc 13373  Σ^{^}csumge0 46322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-disj 5093  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-rp 13018  df-xadd 13138  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-sum 15706  df-sumge0 46323

This theorem is referenced by:  psmeasure  46431