Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psmeasurelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmeasurelem 42184
Description: 𝑀 applied to a disjoint union of subsets of its domain is the sum of 𝑀 applied to such subset. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psmeasurelem.x (𝜑𝑋𝑉)
psmeasurelem.h (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.m 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
psmeasurelem.mf (𝜑𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.y (𝜑𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
psmeasurelem.dj (𝜑Disj 𝑦𝑌 𝑦)
Assertion
Ref Expression
psmeasurelem (𝜑 → (𝑀 𝑌) = (Σ^‘(𝑀𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem psmeasurelem
StepHypRef Expression
1 psmeasurelem.y . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
2 psmeasurelem.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
32pwexd 5134 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
4 ssexg 5084 . . . 4 ((𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝒫 𝑋 ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
51, 3, 4syl2anc 576 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ V)
6 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
7 uniiun 4849 . . 3 𝑌 = 𝑦𝑌 𝑦
8 psmeasurelem.h . . . 4 (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
9 elpwg 4431 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
105, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
111, 10mpbird 249 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
12 pwpwuni 40739 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
135, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
1411, 13mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
1514elpwid 4435 . . . 4 (𝜑 𝑌𝑋)
168, 15fssresd 6376 . . 3 (𝜑 → (𝐻 𝑌): 𝑌⟶(0[,]+∞))
17 psmeasurelem.dj . . 3 (𝜑Disj 𝑦𝑌 𝑦)
185, 6, 7, 16, 17sge0iun 42133 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 𝑌)) = (Σ^‘(𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))))
19 psmeasurelem.m . . 3 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
20 reseq2 5691 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐻𝑥) = (𝐻 𝑌))
2120fveq2d 6505 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 𝑌)))
22 fvexd 6516 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 𝑌)) ∈ V)
2319, 21, 14, 22fvmptd3 6619 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑌) = (Σ^‘(𝐻 𝑌)))
24 psmeasurelem.mf . . . . . 6 (𝜑𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
2524, 1fssresd 6376 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑌):𝑌⟶(0[,]+∞))
2625feqmptd 6564 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑌) = (𝑦𝑌 ↦ ((𝑀𝑌)‘𝑦)))
27 fvres 6520 . . . . . . 7 (𝑦𝑌 → ((𝑀𝑌)‘𝑦) = (𝑀𝑦))
286, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → ((𝑀𝑌)‘𝑦) = (𝑀𝑦))
29 reseq2 5691 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
3029fveq2d 6505 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻𝑦)))
311sselda 3860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
32 fvexd 6516 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → (Σ^‘(𝐻𝑦)) ∈ V)
3319, 30, 31, 32fvmptd3 6619 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑀𝑦) = (Σ^‘(𝐻𝑦)))
34 elssuni 4742 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑌𝑦 𝑌)
35 resabs1 5730 . . . . . . . . . 10 (𝑦 𝑌 → ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻𝑦))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑌 → ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻𝑦))
3736eqcomd 2784 . . . . . . . 8 (𝑦𝑌 → (𝐻𝑦) = ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))
3837adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐻𝑦) = ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))
3938fveq2d 6505 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (Σ^‘(𝐻𝑦)) = (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))
4028, 33, 393eqtrd 2818 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → ((𝑀𝑌)‘𝑦) = (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))
4140mpteq2dva 5023 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ ((𝑀𝑌)‘𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))))
4226, 41eqtrd 2814 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) = (𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))))
4342fveq2d 6505 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀𝑌)) = (Σ^‘(𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))))
4418, 23, 433eqtr4d 2824 1 (𝜑 → (𝑀 𝑌) = (Σ^‘(𝑀𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3415  wss 3831  𝒫 cpw 4423   cuni 4713  Disj wdisj 4898  cmpt 5009  cres 5410  wf 6186  cfv 6190  (class class class)co 6978  0cc0 10337  +∞cpnf 10473  [,]cicc 12560  Σ^csumge0 42076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-ac2 9685  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-disj 4899  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-acn 9167  df-ac 9338  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-xadd 12328  df-ico 12563  df-icc 12564  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-clim 14709  df-sum 14907  df-sumge0 42077
This theorem is referenced by:  psmeasure  42185
  Copyright terms: Public domain W3C validator