Theorem iwrdsplit 34389

Description: Lemma for sseqp1 34397. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iwrdsplit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
iwrdsplit.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝑆)
iwrdsplit.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
iwrdsplit	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))

Proof of Theorem iwrdsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iwrdsplit.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
2		iwrdsplit.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝑆)
3		iwrdsplit.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		1nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0addcld 12591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7	1, 2, 6	subiwrd 34387	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆)
8		1re 11261	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		nn0addge2 12573	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
10	8, 3, 9	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
11	1, 2, 6	subiwrdlen 34388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
12	10, 11	breqtrrd 5171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
13		wrdlenge1n0 14588	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
15	12, 14	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅)
16		pfxlswccat 14751	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
17	7, 15, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
18	3	nn0cnd 12589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
19		1cnd 11256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19, 11	mvrraddd 11675	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1) = 𝑁)
21	20	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁))
22		nn0fz0 13665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
23	3, 22	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24		elfz0add 13666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
25	24	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
26	3, 5, 23, 25	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
27	11	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))) = (0...(𝑁 + 1)))
28	26, 27	eleqtrrd 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
29		pfxres 14717	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)))
30	7, 28, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)))
31		fzossfzop1 13782	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
32		resabs1 6024	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
33	3, 31, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
34	21, 30, 33	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
35		lsw 14602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)))
36	7, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)))
37	20	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
38		fzonn0p1 13781	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
39		fvres 6925	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
40	3, 38, 39	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
41	36, 37, 40	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝐹‘𝑁))
42	41	s1eqd 14639	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩)
43	34, 42	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))
44	17, 43	eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   ↾ cres 5687  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552  lastSclsw 14600   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633   prefix cpfx 14708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709

This theorem is referenced by:  sseqp1  34397