Theorem iwrdsplit 35065

Description: Lemma for sseqp1 35073. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iwrdsplit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
iwrdsplit.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝑆)
iwrdsplit.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
iwrdsplit	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))

Proof of Theorem iwrdsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iwrdsplit.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
2		iwrdsplit.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝑆)
3		iwrdsplit.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		1nn0 12625	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0addcld 12674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7	1, 2, 6	subiwrd 35063	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆)
8		1re 11311	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		nn0addge2 12656	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
10	8, 3, 9	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
11	1, 2, 6	subiwrdlen 35064	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
12	10, 11	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
13		wrdlenge1n0 14698	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
14	7, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
15	12, 14	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅)
16		pfxlswccat 14866	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
17	7, 15, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
18	3	nn0cnd 12672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
19		1cnd 11305	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19, 11	mvrraddd 11730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1) = 𝑁)
21	20	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁))
22		nn0fz0 13762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
23	3, 22	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24		elfz0add 13763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
25	24	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
26	3, 5, 23, 25	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
27	11	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))) = (0...(𝑁 + 1)))
28	26, 27	eleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
29		pfxres 14833	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)))
30	7, 28, 29	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)))
31		fzossfzop1 13881	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
32		resabs1 5996	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
33	3, 31, 32	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
34	21, 30, 33	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
35		lsw 14712	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)))
36	7, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)))
37	20	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
38		fzonn0p1 13880	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
39		fvres 6904	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
40	3, 38, 39	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
41	36, 37, 40	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝐹‘𝑁))
42	41	s1eqd 14751	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩)
43	34, 42	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))
44	17, 43	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278   class class class wbr 5102   ↾ cres 5652  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   ≤ cle 11347   − cmin 11544  ℕ₀cn0 12609  ...cfz 13642  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  Word cword 14661  lastSclsw 14710   ++ cconcat 14718  ⟨“cs1 14745   prefix cpfx 14824

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-lsw 14711  df-concat 14719  df-s1 14746  df-substr 14793  df-pfx 14825

This theorem is used by:  sseqp1  35073