Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iwrdsplit Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iwrdsplit 33374
Description: Lemma for sseqp1 33382. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iwrdsplit.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
iwrdsplit.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆπ‘†)
iwrdsplit.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
iwrdsplit (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
Proof of Theorem iwrdsplit
StepHypRef Expression
1 iwrdsplit.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
2 iwrdsplit.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆπ‘†)
3 iwrdsplit.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 1nn0 12484 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
54a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
63, 5nn0addcld 12532 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
71, 2, 6subiwrd 33372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆)
8 1re 11210 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
9 nn0addge2 12515 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
108, 3, 9sylancr 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
111, 2, 6subiwrdlen 33373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
1210, 11breqtrrd 5175 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))))
13 wrdlenge1n0 14496 . . . . 5 ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ… ↔ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
147, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ… ↔ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
1512, 14mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ…)
16 pfxlswccat 14659 . . 3 (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ…) β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))
177, 15, 16syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))
183nn0cnd 12530 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
19 1cnd 11205 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
2018, 19, 11mvrraddd 11622 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1) = 𝑁)
2120oveq2d 7421 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁))
22 nn0fz0 13595 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
233, 22sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24 elfz0add 13596 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2524imp 407 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
263, 5, 23, 25syl21anc 836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
2711oveq2d 7421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))) = (0...(𝑁 + 1)))
2826, 27eleqtrrd 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
29 pfxres 14625 . . . . 5 (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)))
307, 28, 29syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)))
31 fzossfzop1 13706 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)))
32 resabs1 6009 . . . . 5 ((0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
333, 31, 323syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
3421, 30, 333eqtrd 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
35 lsw 14510 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)))
367, 35syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)))
3720fveq2d 6892 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘))
38 fzonn0p1 13705 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
39 fvres 6907 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
403, 38, 393syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
4136, 37, 403eqtrd 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = (πΉβ€˜π‘))
4241s1eqd 14547 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©)
4334, 42oveq12d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
4417, 43eqtr3d 2774 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•0cn0 12468  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460  lastSclsw 14508   ++ cconcat 14516  βŸ¨β€œcs1 14541   prefix cpfx 14616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617
This theorem is referenced by:  sseqp1  33382
  Copyright terms: Public domain W3C validator