Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iwrdsplit Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iwrdsplit 34077
Description: Lemma for sseqp1 34085. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iwrdsplit.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
iwrdsplit.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆπ‘†)
iwrdsplit.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
iwrdsplit (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
Proof of Theorem iwrdsplit
StepHypRef Expression
1 iwrdsplit.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
2 iwrdsplit.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆπ‘†)
3 iwrdsplit.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 1nn0 12518 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
54a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
63, 5nn0addcld 12566 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
71, 2, 6subiwrd 34075 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆)
8 1re 11244 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
9 nn0addge2 12549 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
108, 3, 9sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
111, 2, 6subiwrdlen 34076 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
1210, 11breqtrrd 5176 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))))
13 wrdlenge1n0 14532 . . . . 5 ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ… ↔ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
147, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ… ↔ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
1512, 14mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ…)
16 pfxlswccat 14695 . . 3 (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ…) β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))
177, 15, 16syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))
183nn0cnd 12564 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
19 1cnd 11239 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
2018, 19, 11mvrraddd 11656 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1) = 𝑁)
2120oveq2d 7433 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁))
22 nn0fz0 13631 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
233, 22sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24 elfz0add 13632 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2524imp 405 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
263, 5, 23, 25syl21anc 836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
2711oveq2d 7433 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))) = (0...(𝑁 + 1)))
2826, 27eleqtrrd 2828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
29 pfxres 14661 . . . . 5 (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)))
307, 28, 29syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)))
31 fzossfzop1 13742 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)))
32 resabs1 6011 . . . . 5 ((0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
333, 31, 323syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
3421, 30, 333eqtrd 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
35 lsw 14546 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)))
367, 35syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)))
3720fveq2d 6898 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘))
38 fzonn0p1 13741 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
39 fvres 6913 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
403, 38, 393syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
4136, 37, 403eqtrd 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = (πΉβ€˜π‘))
4241s1eqd 14583 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©)
4334, 42oveq12d 7435 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
4417, 43eqtr3d 2767 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  β„•0cn0 12502  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  β™―chash 14321  Word cword 14496  lastSclsw 14544   ++ cconcat 14552  βŸ¨β€œcs1 14577   prefix cpfx 14652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-lsw 14545  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653
This theorem is referenced by:  sseqp1  34085
  Copyright terms: Public domain W3C validator