Theorem iwrdsplit 34552

Description: Lemma for sseqp1 34560. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iwrdsplit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
iwrdsplit.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝑆)
iwrdsplit.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
iwrdsplit	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))

Proof of Theorem iwrdsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iwrdsplit.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
2		iwrdsplit.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝑆)
3		iwrdsplit.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		1nn0 12442	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0addcld 12491	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7	1, 2, 6	subiwrd 34550	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆)
8		1re 11133	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		nn0addge2 12473	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
10	8, 3, 9	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
11	1, 2, 6	subiwrdlen 34551	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
12	10, 11	breqtrrd 5114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
13		wrdlenge1n0 14501	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
15	12, 14	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅)
16		pfxlswccat 14664	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
17	7, 15, 16	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
18	3	nn0cnd 12489	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
19		1cnd 11128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19, 11	mvrraddd 11551	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1) = 𝑁)
21	20	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁))
22		nn0fz0 13568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
23	3, 22	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24		elfz0add 13569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
25	24	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
26	3, 5, 23, 25	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
27	11	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))) = (0...(𝑁 + 1)))
28	26, 27	eleqtrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
29		pfxres 14631	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)))
30	7, 28, 29	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)))
31		fzossfzop1 13687	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
32		resabs1 5963	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
33	3, 31, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
34	21, 30, 33	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
35		lsw 14515	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)))
36	7, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)))
37	20	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
38		fzonn0p1 13686	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
39		fvres 6851	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
40	3, 38, 39	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
41	36, 37, 40	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝐹‘𝑁))
42	41	s1eqd 14553	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩)
43	34, 42	oveq12d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))
44	17, 43	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086   ↾ cres 5624  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℕ₀cn0 12426  ...cfz 13450  ..^cfzo 13597  ♯chash 14281  Word cword 14464  lastSclsw 14513   ++ cconcat 14521  ⟨“cs1 14547   prefix cpfx 14622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-lsw 14514  df-concat 14522  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623

This theorem is referenced by:  sseqp1  34560