Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iwrdsplit Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iwrdsplit 33684
Description: Lemma for sseqp1 33692. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iwrdsplit.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
iwrdsplit.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆπ‘†)
iwrdsplit.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
iwrdsplit (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
Proof of Theorem iwrdsplit
StepHypRef Expression
1 iwrdsplit.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
2 iwrdsplit.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆπ‘†)
3 iwrdsplit.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 1nn0 12492 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
54a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
63, 5nn0addcld 12540 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
71, 2, 6subiwrd 33682 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆)
8 1re 11218 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
9 nn0addge2 12523 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
108, 3, 9sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
111, 2, 6subiwrdlen 33683 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
1210, 11breqtrrd 5175 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))))
13 wrdlenge1n0 14504 . . . . 5 ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ… ↔ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
147, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ… ↔ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
1512, 14mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ…)
16 pfxlswccat 14667 . . 3 (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ…) β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))
177, 15, 16syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))
183nn0cnd 12538 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
19 1cnd 11213 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
2018, 19, 11mvrraddd 11630 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1) = 𝑁)
2120oveq2d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁))
22 nn0fz0 13603 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
233, 22sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24 elfz0add 13604 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2524imp 405 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
263, 5, 23, 25syl21anc 834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
2711oveq2d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))) = (0...(𝑁 + 1)))
2826, 27eleqtrrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
29 pfxres 14633 . . . . 5 (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)))
307, 28, 29syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)))
31 fzossfzop1 13714 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)))
32 resabs1 6010 . . . . 5 ((0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
333, 31, 323syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
3421, 30, 333eqtrd 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
35 lsw 14518 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)))
367, 35syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)))
3720fveq2d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘))
38 fzonn0p1 13713 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
39 fvres 6909 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
403, 38, 393syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
4136, 37, 403eqtrd 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = (πΉβ€˜π‘))
4241s1eqd 14555 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©)
4334, 42oveq12d 7429 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
4417, 43eqtr3d 2772 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•0cn0 12476  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Word cword 14468  lastSclsw 14516   ++ cconcat 14524  βŸ¨β€œcs1 14549   prefix cpfx 14624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625
This theorem is referenced by:  sseqp1  33692
  Copyright terms: Public domain W3C validator