Theorem iwrdsplit 33699

Description: Lemma for sseqp1 33707. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iwrdsplit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
iwrdsplit.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝑆)
iwrdsplit.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
iwrdsplit	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))

Proof of Theorem iwrdsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iwrdsplit.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
2		iwrdsplit.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝑆)
3		iwrdsplit.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		1nn0 12495	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0addcld 12543	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7	1, 2, 6	subiwrd 33697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆)
8		1re 11221	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		nn0addge2 12526	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
10	8, 3, 9	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
11	1, 2, 6	subiwrdlen 33698	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
12	10, 11	breqtrrd 5176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
13		wrdlenge1n0 14507	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
15	12, 14	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅)
16		pfxlswccat 14670	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
17	7, 15, 16	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
18	3	nn0cnd 12541	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
19		1cnd 11216	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19, 11	mvrraddd 11633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1) = 𝑁)
21	20	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁))
22		nn0fz0 13606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
23	3, 22	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24		elfz0add 13607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
25	24	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
26	3, 5, 23, 25	syl21anc 835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
27	11	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))) = (0...(𝑁 + 1)))
28	26, 27	eleqtrrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
29		pfxres 14636	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)))
30	7, 28, 29	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)))
31		fzossfzop1 13717	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
32		resabs1 6011	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
33	3, 31, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
34	21, 30, 33	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
35		lsw 14521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)))
36	7, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)))
37	20	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
38		fzonn0p1 13716	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
39		fvres 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
40	3, 38, 39	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
41	36, 37, 40	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝐹‘𝑁))
42	41	s1eqd 14558	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩)
43	34, 42	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))
44	17, 43	eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   ≤ cle 11256   − cmin 11451  ℕ₀cn0 12479  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  ♯chash 14297  Word cword 14471  lastSclsw 14519   ++ cconcat 14527  ⟨“cs1 14552   prefix cpfx 14627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-lsw 14520  df-concat 14528  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628

This theorem is referenced by:  sseqp1  33707