Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iwrdsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iwrdsplit 33027
Description: Lemma for sseqp1 33035. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iwrdsplit.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
iwrdsplit.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆπ‘†)
iwrdsplit.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
iwrdsplit (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))

Proof of Theorem iwrdsplit
StepHypRef Expression
1 iwrdsplit.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
2 iwrdsplit.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆπ‘†)
3 iwrdsplit.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 1nn0 12436 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
54a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
63, 5nn0addcld 12484 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
71, 2, 6subiwrd 33025 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆)
8 1re 11162 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
9 nn0addge2 12467 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
108, 3, 9sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
111, 2, 6subiwrdlen 33026 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
1210, 11breqtrrd 5138 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))))
13 wrdlenge1n0 14445 . . . . 5 ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ… ↔ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
147, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ… ↔ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
1512, 14mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ…)
16 pfxlswccat 14608 . . 3 (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ…) β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))
177, 15, 16syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))
183nn0cnd 12482 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
19 1cnd 11157 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
2018, 19, 11mvrraddd 11574 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1) = 𝑁)
2120oveq2d 7378 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁))
22 nn0fz0 13546 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
233, 22sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24 elfz0add 13547 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2524imp 408 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
263, 5, 23, 25syl21anc 837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
2711oveq2d 7378 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))) = (0...(𝑁 + 1)))
2826, 27eleqtrrd 2841 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
29 pfxres 14574 . . . . 5 (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)))
307, 28, 29syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)))
31 fzossfzop1 13657 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)))
32 resabs1 5972 . . . . 5 ((0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
333, 31, 323syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
3421, 30, 333eqtrd 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
35 lsw 14459 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)))
367, 35syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)))
3720fveq2d 6851 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘))
38 fzonn0p1 13656 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
39 fvres 6866 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
403, 38, 393syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
4136, 37, 403eqtrd 2781 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = (πΉβ€˜π‘))
4241s1eqd 14496 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©)
4334, 42oveq12d 7380 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
4417, 43eqtr3d 2779 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•0cn0 12420  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  β™―chash 14237  Word cword 14409  lastSclsw 14457   ++ cconcat 14465  βŸ¨β€œcs1 14490   prefix cpfx 14565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566
This theorem is referenced by:  sseqp1  33035
  Copyright terms: Public domain W3C validator