Theorem iwrdsplit 34809

Description: Lemma for sseqp1 34817. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iwrdsplit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
iwrdsplit.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝑆)
iwrdsplit.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
iwrdsplit	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))

Proof of Theorem iwrdsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iwrdsplit.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
2		iwrdsplit.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝑆)
3		iwrdsplit.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		1nn0 12538	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0addcld 12587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7	1, 2, 6	subiwrd 34807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆)
8		1re 11226	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		nn0addge2 12569	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
10	8, 3, 9	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
11	1, 2, 6	subiwrdlen 34808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
12	10, 11	breqtrrd 5144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
13		wrdlenge1n0 14607	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
14	7, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
15	12, 14	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅)
16		pfxlswccat 14774	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
17	7, 15, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
18	3	nn0cnd 12585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
19		1cnd 11220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19, 11	mvrraddd 11644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1) = 𝑁)
21	20	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁))
22		nn0fz0 13672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
23	3, 22	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24		elfz0add 13673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
25	24	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
26	3, 5, 23, 25	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
27	11	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))) = (0...(𝑁 + 1)))
28	26, 27	eleqtrrd 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
29		pfxres 14741	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)))
30	7, 28, 29	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)))
31		fzossfzop1 13791	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
32		resabs1 6010	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
33	3, 31, 32	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
34	21, 30, 33	3eqtrd 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
35		lsw 14621	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)))
36	7, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)))
37	20	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
38		fzonn0p1 13790	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
39		fvres 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
40	3, 38, 39	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
41	36, 37, 40	3eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝐹‘𝑁))
42	41	s1eqd 14660	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩)
43	34, 42	oveq12d 7441	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))
44	17, 43	eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘𝑁)”⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289   class class class wbr 5114   ↾ cres 5668  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℕ₀cn0 12522  ...cfz 13553  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570  lastSclsw 14619   ++ cconcat 14627  ⟨“cs1 14654   prefix cpfx 14732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-lsw 14620  df-concat 14628  df-s1 14655  df-substr 14701  df-pfx 14733

This theorem is used by:  sseqp1  34817