Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iwrdsplit Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iwrdsplit 33943
Description: Lemma for sseqp1 33951. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iwrdsplit.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
iwrdsplit.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆπ‘†)
iwrdsplit.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
iwrdsplit (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
Proof of Theorem iwrdsplit
StepHypRef Expression
1 iwrdsplit.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
2 iwrdsplit.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆπ‘†)
3 iwrdsplit.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 1nn0 12510 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
54a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
63, 5nn0addcld 12558 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
71, 2, 6subiwrd 33941 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆)
8 1re 11236 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
9 nn0addge2 12541 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
108, 3, 9sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
111, 2, 6subiwrdlen 33942 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
1210, 11breqtrrd 5170 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))))
13 wrdlenge1n0 14524 . . . . 5 ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ… ↔ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
147, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ… ↔ 1 ≀ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
1512, 14mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ…)
16 pfxlswccat 14687 . . 3 (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β‰  βˆ…) β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))
177, 15, 16syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))
183nn0cnd 12556 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
19 1cnd 11231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
2018, 19, 11mvrraddd 11648 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1) = 𝑁)
2120oveq2d 7430 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁))
22 nn0fz0 13623 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
233, 22sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24 elfz0add 13624 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2524imp 406 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
263, 5, 23, 25syl21anc 837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
2711oveq2d 7430 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))) = (0...(𝑁 + 1)))
2826, 27eleqtrrd 2831 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))))
29 pfxres 14653 . . . . 5 (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)))
307, 28, 29syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix 𝑁) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)))
31 fzossfzop1 13734 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)))
32 resabs1 6009 . . . . 5 ((0..^𝑁) βŠ† (0..^(𝑁 + 1)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
333, 31, 323syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) β†Ύ (0..^𝑁)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
3421, 30, 333eqtrd 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = (𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)))
35 lsw 14538 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)))
367, 35syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)))
3720fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) = ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘))
38 fzonn0p1 13733 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
39 fvres 6910 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
403, 38, 393syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
4136, 37, 403eqtrd 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) = (πΉβ€˜π‘))
4241s1eqd 14575 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©)
4334, 42oveq12d 7432 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) prefix ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1)))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))))β€βŸ©) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
4417, 43eqtr3d 2769 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ (0..^𝑁)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘)β€βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  β„•0cn0 12494  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  β™―chash 14313  Word cword 14488  lastSclsw 14536   ++ cconcat 14544  βŸ¨β€œcs1 14569   prefix cpfx 14644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-lsw 14537  df-concat 14545  df-s1 14570  df-substr 14615  df-pfx 14645
This theorem is referenced by:  sseqp1  33951
  Copyright terms: Public domain W3C validator