Theorem 7rexfrabdioph 39741

Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, seven variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexfrabdioph.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2	⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3	⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4	⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1)
rexfrabdioph.5	⊢ 𝐼 = (𝐽 + 1)
rexfrabdioph.6	⊢ 𝐻 = (𝐼 + 1)
rexfrabdioph.7	⊢ 𝐺 = (𝐻 + 1)

Assertion

Ref	Expression
7rexfrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐺,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐻,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐼,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐽,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐾,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐿,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝑀,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem 7rexfrabdioph

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc2rex 39728	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑)
2		sbc4rex 39730	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
3	2	2rexbii 3211	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
4	1, 3	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
5	4	sbcbii 3776	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
6		sbc2rex 39728	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
7		sbc4rex 39730	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
8	7	2rexbii 3211	. . . . 5 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
9	5, 6, 8	3bitri 300	. . . 4 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
10	9	rabbii 3420	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑}
11		rexfrabdioph.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
12		nn0p1nn 11924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
13	11, 12	eqeltrid 2894	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ)
14	13	nnnn0d 11943	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
16		sbcrot3 39732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)
17	16	sbcbii 3776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)
18		sbcrot3 39732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)
19		sbcrot5 39733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
20	19	sbcbii 3776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
21		sbcrot5 39733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
22	20, 21	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
23	22	sbcbii 3776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
24	23	sbcbii 3776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
25	17, 18, 24	3bitri 300	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
26	25	sbcbii 3776	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
27		reseq1 5812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑀)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)))
28	27	sbccomieg 39734	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)
29		fzssp1 12945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...(𝑁 + 1))
30	11	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
31	29, 30	sseqtrri 3952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀)
32		resabs1 5848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ (1...𝑀) → ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)))
33		dfsbcq 3722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
34	31, 32, 33	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)
35		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑡 ∈ V
36	35	resex 5866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ↾ (1...𝑀)) ∈ V
37		fveq1 6644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑀)) → (𝑎‘𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀))
38	37	sbcco3gw 4330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
39	36, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)
40		elfz1end 12932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
41	13, 40	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
42		fvres 6664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑀) → ((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀))
43		dfsbcq 3722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
45	39, 44	syl5bb 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
46	45	sbcbidv 3774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
47	34, 46	syl5bb 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
48	28, 47	syl5bb 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
49	26, 48	bitr3id 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
50	49	rabbidv 3427	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑})
51	50	eleq1d 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)))
52	51	biimpar 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺))
53		rexfrabdioph.2	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1)
54		rexfrabdioph.3	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1)
55		rexfrabdioph.4	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1)
56		rexfrabdioph.5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝐽 + 1)
57		rexfrabdioph.6	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 + 1)
58		rexfrabdioph.7	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐻 + 1)
59	53, 54, 55, 56, 57, 58	6rexfrabdioph 39740	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀))
60	15, 52, 59	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀))
61	10, 60	eqeltrid 2894	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀))
62	11	rexfrabdioph 39736	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
63	61, 62	syldan 594	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441  [wsbc 3720   ⊆ wss 3881   ↾ cres 5521  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  1c1 10527   + caddc 10529  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ...cfz 12885  Diophcdioph 39696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687  df-mzpcl 39664  df-mzp 39665  df-dioph 39697

This theorem is referenced by:  rmydioph  39955