| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | sbc2rex 42798 |
. . . . . . 7
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑 ↔
∃𝑤 ∈
ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑) |
| 2 | | sbc4rex 42800 |
. . . . . . . 8
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 3 | 2 | 2rexbii 3129 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑤 ∈
ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 4 | 1, 3 | bitri 275 |
. . . . . 6
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑 ↔
∃𝑤 ∈
ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0
[(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 5 | 4 | sbcbii 3846 |
. . . . 5
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑 ↔
[(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑤 ∈ ℕ0
∃𝑥 ∈
ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 6 | | sbc2rex 42798 |
. . . . 5
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑤 ∈ ℕ0
∃𝑥 ∈
ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
[(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0
[(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 7 | | sbc4rex 42800 |
. . . . . 6
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0
[(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 8 | 7 | 2rexbii 3129 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑤 ∈
ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 9 | 5, 6, 8 | 3bitri 297 |
. . . 4
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑 ↔
∃𝑤 ∈
ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0
[(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 10 | 9 | rabbii 3442 |
. . 3
⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0
↑m (1...𝑀))
∣ [(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑} =
{𝑎 ∈
(ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} |
| 11 | | rexfrabdioph.1 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1) |
| 12 | | nn0p1nn 12565 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℕ) |
| 13 | 11, 12 | eqeltrid 2845 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℕ) |
| 14 | 13 | nnnn0d 12587 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℕ0) |
| 15 | 14 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → 𝑀 ∈
ℕ0) |
| 16 | | sbcrot3 42802 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑) |
| 17 | 16 | sbcbii 3846 |
. . . . . . . . . 10
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑) |
| 18 | | sbcrot3 42802 |
. . . . . . . . . 10
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑) |
| 19 | | sbcrot5 42803 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 20 | 19 | sbcbii 3846 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 21 | | sbcrot5 42803 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 22 | 20, 21 | bitri 275 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 23 | 22 | sbcbii 3846 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
([(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 24 | 23 | sbcbii 3846 |
. . . . . . . . . 10
⊢
([(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 25 | 17, 18, 24 | 3bitri 297 |
. . . . . . . . 9
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 26 | 25 | sbcbii 3846 |
. . . . . . . 8
⊢
([(𝑡 ↾
(1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
| 27 | | reseq1 5991 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑀)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁))) |
| 28 | 27 | sbccomieg 42804 |
. . . . . . . . 9
⊢
([(𝑡 ↾
(1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑) |
| 29 | | fzssp1 13607 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(1...𝑁) ⊆
(1...(𝑁 +
1)) |
| 30 | 11 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(1...𝑀) =
(1...(𝑁 +
1)) |
| 31 | 29, 30 | sseqtrri 4033 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(1...𝑁) ⊆
(1...𝑀) |
| 32 | | resabs1 6024 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((1...𝑁) ⊆
(1...𝑀) → ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁))) |
| 33 | | dfsbcq 3790 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
| 34 | 31, 32, 33 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . 10
⊢
([((𝑡 ↾
(1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑) |
| 35 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑡 ∈ V |
| 36 | 35 | resex 6047 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 ↾ (1...𝑀)) ∈ V |
| 37 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑀)) → (𝑎‘𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀)) |
| 38 | 37 | sbcco3gw 4425 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
| 39 | 36, 38 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
([(𝑡 ↾
(1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑) |
| 40 | | elfz1end 13594 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) |
| 41 | 13, 40 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) |
| 42 | | fvres 6925 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑀) → ((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀)) |
| 43 | | dfsbcq 3790 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
| 44 | 41, 42, 43 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([((𝑡 ↾
(1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
| 45 | 39, 44 | bitrid 283 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡 ↾
(1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
| 46 | 45 | sbcbidv 3845 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
| 47 | 34, 46 | bitrid 283 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([((𝑡 ↾
(1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
| 48 | 28, 47 | bitrid 283 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡 ↾
(1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
| 49 | 26, 48 | bitr3id 285 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡 ↾
(1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
| 50 | 49 | rabbidv 3444 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0
↑m (1...𝐺))
∣ [(𝑡 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑}) |
| 51 | 50 | eleq1d 2826 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ({𝑡 ∈
(ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0
↑m (1...𝐺))
∣ [(𝑡 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺))) |
| 52 | 51 | biimpar 477 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑡 ∈ (ℕ0
↑m (1...𝐺))
∣ [(𝑡 ↾
(1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) |
| 53 | | rexfrabdioph.2 |
. . . . 5
⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1) |
| 54 | | rexfrabdioph.3 |
. . . . 5
⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1) |
| 55 | | rexfrabdioph.4 |
. . . . 5
⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1) |
| 56 | | rexfrabdioph.5 |
. . . . 5
⊢ 𝐼 = (𝐽 + 1) |
| 57 | | rexfrabdioph.6 |
. . . . 5
⊢ 𝐻 = (𝐼 + 1) |
| 58 | | rexfrabdioph.7 |
. . . . 5
⊢ 𝐺 = (𝐻 + 1) |
| 59 | 53, 54, 55, 56, 57, 58 | 6rexfrabdioph 42810 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0
↑m (1...𝑀))
∣ ∃𝑤 ∈
ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0
[(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) |
| 60 | 15, 52, 59 | syl2anc 584 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0
↑m (1...𝑀))
∣ ∃𝑤 ∈
ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0
[(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) |
| 61 | 10, 60 | eqeltrid 2845 |
. 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0
↑m (1...𝑀))
∣ [(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑} ∈
(Dioph‘𝑀)) |
| 62 | 11 | rexfrabdioph 42806 |
. 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑎 ∈
(ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑} ∈
(Dioph‘𝑀)) →
{𝑢 ∈
(ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0
∃𝑥 ∈
ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁)) |
| 63 | 61, 62 | syldan 591 |
1
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑢 ∈ (ℕ0
↑m (1...𝑁))
∣ ∃𝑣 ∈
ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑} ∈
(Dioph‘𝑁)) |