Theorem 7rexfrabdioph 42788

Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, seven variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexfrabdioph.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2	⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3	⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4	⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1)
rexfrabdioph.5	⊢ 𝐼 = (𝐽 + 1)
rexfrabdioph.6	⊢ 𝐻 = (𝐼 + 1)
rexfrabdioph.7	⊢ 𝐺 = (𝐻 + 1)

Assertion

Ref	Expression
7rexfrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐺,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐻,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐼,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐽,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐾,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐿,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝑀,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem 7rexfrabdioph

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc2rex 42775	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑)
2		sbc4rex 42777	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
3	2	2rexbii 3127	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
4	1, 3	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
5	4	sbcbii 3852	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
6		sbc2rex 42775	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
7		sbc4rex 42777	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
8	7	2rexbii 3127	. . . . 5 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
9	5, 6, 8	3bitri 297	. . . 4 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
10	9	rabbii 3439	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑}
11		rexfrabdioph.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
12		nn0p1nn 12563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
13	11, 12	eqeltrid 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ)
14	13	nnnn0d 12585	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
16		sbcrot3 42779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)
17	16	sbcbii 3852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)
18		sbcrot3 42779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)
19		sbcrot5 42780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
20	19	sbcbii 3852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
21		sbcrot5 42780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
22	20, 21	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
23	22	sbcbii 3852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
24	23	sbcbii 3852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
25	17, 18, 24	3bitri 297	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
26	25	sbcbii 3852	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)
27		reseq1 5994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑀)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)))
28	27	sbccomieg 42781	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)
29		fzssp1 13604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...(𝑁 + 1))
30	11	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
31	29, 30	sseqtrri 4033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀)
32		resabs1 6027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ (1...𝑀) → ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)))
33		dfsbcq 3793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
34	31, 32, 33	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)
35		vex 3482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑡 ∈ V
36	35	resex 6049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ↾ (1...𝑀)) ∈ V
37		fveq1 6906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑀)) → (𝑎‘𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀))
38	37	sbcco3gw 4431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
39	36, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)
40		elfz1end 13591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
41	13, 40	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
42		fvres 6926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑀) → ((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀))
43		dfsbcq 3793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
45	39, 44	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
46	45	sbcbidv 3851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
47	34, 46	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
48	28, 47	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
49	26, 48	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑))
50	49	rabbidv 3441	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑})
51	50	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)))
52	51	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺))
53		rexfrabdioph.2	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1)
54		rexfrabdioph.3	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1)
55		rexfrabdioph.4	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1)
56		rexfrabdioph.5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝐽 + 1)
57		rexfrabdioph.6	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 + 1)
58		rexfrabdioph.7	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐻 + 1)
59	53, 54, 55, 56, 57, 58	6rexfrabdioph 42787	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀))
60	15, 52, 59	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀))
61	10, 60	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀))
62	11	rexfrabdioph 42783	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
63	61, 62	syldan 591	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  [wsbc 3791   ⊆ wss 3963   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  1c1 11154   + caddc 11156  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ...cfz 13544  Diophcdioph 42743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-mzpcl 42711  df-mzp 42712  df-dioph 42744

This theorem is referenced by:  rmydioph  43003