MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlog2 26632
Description: The derivative of the complex logarithm function on the open unit ball centered at 1, a sometimes easier region to work with than the ℂ ∖ (-∞, 0] of dvlog 26630. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
dvlog2 (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvlog2
StepHypRef Expression
1 ssid 3999 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
2 logf1o 26543 . . . . . . 7 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
3 f1of 6838 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
5 logrncn 26541 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ran log → 𝑥 ∈ ℂ)
65ssriv 3980 . . . . . 6 ran log ⊆ ℂ
7 fss 6739 . . . . . 6 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ ran log ⊆ ℂ) → log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
84, 6, 7mp2an 690 . . . . 5 log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
9 eqid 2725 . . . . . 6 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
109logdmss 26621 . . . . 5 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})
11 fssres 6763 . . . . 5 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
128, 10, 11mp2an 690 . . . 4 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ
13 difss 4128 . . . 4 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
14 dvlog2.s . . . . 5 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
15 cnxmet 24733 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16 ax-1cn 11198 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
17 1xr 11305 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
18 blssm 24368 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
1915, 16, 17, 18mp3an 1457 . . . . 5 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
2014, 19eqsstri 4011 . . . 4 𝑆 ⊆ ℂ
21 eqid 2725 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2221cnfldtopon 24743 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2322toponrestid 22867 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
2421, 23dvres 25884 . . . 4 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ) ∧ ((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ)) → (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)))
251, 12, 13, 20, 24mp4an 691 . . 3 (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆))
2614dvlog2lem 26631 . . . . 5 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
27 resabs1 6012 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆))
2826, 27ax-mp 5 . . . 4 ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆)
2928oveq2i 7430 . . 3 (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = (ℂ D (log ↾ 𝑆))
309dvlog 26630 . . . 4 (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥))
3121cnfldtop 24744 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
3221cnfldtopn 24742 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3332blopn 24453 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
3415, 16, 17, 33mp3an 1457 . . . . . 6 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
3514, 34eqeltri 2821 . . . . 5 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
36 isopn3i 23030 . . . . 5 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆)
3731, 35, 36mp2an 690 . . . 4 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆
3830, 37reseq12i 5983 . . 3 ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
3925, 29, 383eqtr3i 2761 . 2 (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
40 resmpt 6042 . . 3 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥)))
4126, 40ax-mp 5 . 2 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
4239, 41eqtri 2753 1 (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3941  wss 3944  {csn 4630  cmpt 5232  ran crn 5679  cres 5680  ccom 5682  wf 6545  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141  -∞cmnf 11278  *cxr 11279  cmin 11476   / cdiv 11903  (,]cioc 13360  abscabs 15217  TopOpenctopn 17406  ∞Metcxmet 21281  ballcbl 21283  fldccnfld 21296  Topctop 22839  intcnt 22965   D cdv 25836  logclog 26533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-tan 16051  df-pi 16052  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535
This theorem is referenced by:  logtayl  26639  efrlim  26946  efrlimOLD  26947
  Copyright terms: Public domain W3C validator