Theorem dvlog2 26560

Description: The derivative of the complex logarithm function on the open unit ball centered at 1, a sometimes easier region to work with than the ℂ ∖ (-∞, 0] of dvlog 26558. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvlog2.s	⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)

Assertion

Ref	Expression
dvlog2	⊢ (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvlog2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3958	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		logf1o 26471	. . . . . . 7 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
3		f1of 6764	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
5		logrncn 26469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ran log → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	ssriv 3939	. . . . . 6 ⊢ ran log ⊆ ℂ
7		fss 6668	. . . . . 6 ⊢ ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ ran log ⊆ ℂ) → log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
8	4, 6, 7	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
9		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
10	9	logdmss 26549	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})
11		fssres 6690	. . . . 5 ⊢ ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
12	8, 10, 11	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ
13		difss 4087	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
14		dvlog2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
15		cnxmet 24658	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16		ax-1cn 11067	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		1xr 11174	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
18		blssm 24304	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
19	15, 16, 17, 18	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
20	14, 19	eqsstri 3982	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
21		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22	21	cnfldtopon 24668	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
23	22	toponrestid 22806	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
24	21, 23	dvres 25810	. . . 4 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ) ∧ ((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ)) → (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)))
25	1, 12, 13, 20, 24	mp4an 693	. . 3 ⊢ (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆))
26	14	dvlog2lem 26559	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
27		resabs1 5957	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆)
29	28	oveq2i 7360	. . 3 ⊢ (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = (ℂ D (log ↾ 𝑆))
30	9	dvlog 26558	. . . 4 ⊢ (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥))
31	21	cnfldtop 24669	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
32	21	cnfldtopn 24667	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
33	32	blopn 24386	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
34	15, 16, 17, 33	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
35	14, 34	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
36		isopn3i 22967	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆)
37	31, 35, 36	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆
38	30, 37	reseq12i 5928	. . 3 ⊢ ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
39	25, 29, 38	3eqtr3i 2760	. 2 ⊢ (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
40		resmpt 5988	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥)))
41	26, 40	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
42	39, 41	eqtri 2752	1 ⊢ (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4577   ↦ cmpt 5173  ran crn 5620   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6478  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009  1c1 11010  -∞cmnf 11147  ℝ^*cxr 11148   − cmin 11347   / cdiv 11777  (,]cioc 13249  abscabs 15141  TopOpenctopn 17325  ∞Metcxmet 21246  ballcbl 21248  ℂ_fldccnfld 21261  Topctop 22778  intcnt 22902   D cdv 25762  logclog 26461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-tan 15978  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-cmp 23272  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766  df-log 26463

This theorem is referenced by:  logtayl  26567  efrlim  26877  efrlimOLD  26878