Theorem dvlog2 26501

Description: The derivative of the complex logarithm function on the open unit ball centered at 1, a sometimes easier region to work with than the ℂ ∖ (-∞, 0] of dvlog 26499. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvlog2.s	⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)

Assertion

Ref	Expression
dvlog2	⊢ (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvlog2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4004	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		logf1o 26413	. . . . . . 7 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
3		f1of 6833	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
5		logrncn 26411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ran log → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	ssriv 3986	. . . . . 6 ⊢ ran log ⊆ ℂ
7		fss 6734	. . . . . 6 ⊢ ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ ran log ⊆ ℂ) → log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
8	4, 6, 7	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
10	9	logdmss 26490	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})
11		fssres 6757	. . . . 5 ⊢ ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
12	8, 10, 11	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ
13		difss 4131	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
14		dvlog2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
15		cnxmet 24609	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16		ax-1cn 11174	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		1xr 11280	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
18		blssm 24244	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
19	15, 16, 17, 18	mp3an 1460	. . . . 5 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
20	14, 19	eqsstri 4016	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
21		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22	21	cnfldtopon 24619	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
23	22	toponrestid 22743	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
24	21, 23	dvres 25760	. . . 4 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ) ∧ ((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ)) → (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)))
25	1, 12, 13, 20, 24	mp4an 690	. . 3 ⊢ (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆))
26	14	dvlog2lem 26500	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
27		resabs1 6011	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆)
29	28	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = (ℂ D (log ↾ 𝑆))
30	9	dvlog 26499	. . . 4 ⊢ (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥))
31	21	cnfldtop 24620	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
32	21	cnfldtopn 24618	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
33	32	blopn 24329	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
34	15, 16, 17, 33	mp3an 1460	. . . . . 6 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
35	14, 34	eqeltri 2828	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
36		isopn3i 22906	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆)
37	31, 35, 36	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆
38	30, 37	reseq12i 5979	. . 3 ⊢ ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
39	25, 29, 38	3eqtr3i 2767	. 2 ⊢ (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
40		resmpt 6037	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥)))
41	26, 40	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
42	39, 41	eqtri 2759	1 ⊢ (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116  1c1 11117  -∞cmnf 11253  ℝ^*cxr 11254   − cmin 11451   / cdiv 11878  (,]cioc 13332  abscabs 15188  TopOpenctopn 17374  ∞Metcxmet 21218  ballcbl 21220  ℂ_fldccnfld 21233  Topctop 22715  intcnt 22841   D cdv 25712  logclog 26403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-tan 16022  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cld 22843  df-ntr 22844  df-cls 22845  df-nei 22922  df-lp 22960  df-perf 22961  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-haus 23139  df-cmp 23211  df-tx 23386  df-hmeo 23579  df-fil 23670  df-fm 23762  df-flim 23763  df-flf 23764  df-xms 24146  df-ms 24147  df-tms 24148  df-cncf 24718  df-limc 25715  df-dv 25716  df-log 26405

This theorem is referenced by:  logtayl  26508  efrlim  26815