Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlog2 25242
 Description: The derivative of the complex logarithm function on the open unit ball centered at 1, a sometimes easier region to work with than the ℂ ∖ (-∞, 0] of dvlog 25240. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
dvlog2 (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvlog2
StepHypRef Expression
1 ssid 3964 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
2 logf1o 25154 . . . . . . 7 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
3 f1of 6597 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
5 logrncn 25152 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ran log → 𝑥 ∈ ℂ)
65ssriv 3946 . . . . . 6 ran log ⊆ ℂ
7 fss 6508 . . . . . 6 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ ran log ⊆ ℂ) → log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
84, 6, 7mp2an 691 . . . . 5 log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
9 eqid 2822 . . . . . 6 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
109logdmss 25231 . . . . 5 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})
11 fssres 6525 . . . . 5 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
128, 10, 11mp2an 691 . . . 4 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ
13 difss 4083 . . . 4 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
14 dvlog2.s . . . . 5 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
15 cnxmet 23376 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16 ax-1cn 10584 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
17 1xr 10689 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
18 blssm 23023 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
1915, 16, 17, 18mp3an 1458 . . . . 5 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
2014, 19eqsstri 3976 . . . 4 𝑆 ⊆ ℂ
21 eqid 2822 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2221cnfldtopon 23386 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2322toponrestid 21524 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
2421, 23dvres 24512 . . . 4 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ) ∧ ((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ)) → (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)))
251, 12, 13, 20, 24mp4an 692 . . 3 (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆))
2614dvlog2lem 25241 . . . . 5 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
27 resabs1 5861 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆))
2826, 27ax-mp 5 . . . 4 ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆)
2928oveq2i 7151 . . 3 (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = (ℂ D (log ↾ 𝑆))
309dvlog 25240 . . . 4 (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥))
3121cnfldtop 23387 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
3221cnfldtopn 23385 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3332blopn 23105 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
3415, 16, 17, 33mp3an 1458 . . . . . 6 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
3514, 34eqeltri 2910 . . . . 5 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
36 isopn3i 21685 . . . . 5 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆)
3731, 35, 36mp2an 691 . . . 4 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆
3830, 37reseq12i 5829 . . 3 ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
3925, 29, 383eqtr3i 2853 . 2 (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
40 resmpt 5883 . . 3 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥)))
4126, 40ax-mp 5 . 2 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
4239, 41eqtri 2845 1 (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908  {csn 4539   ↦ cmpt 5122  ran crn 5533   ↾ cres 5534   ∘ ccom 5536  ⟶wf 6330  –1-1-onto→wf1o 6333  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527  -∞cmnf 10662  ℝ*cxr 10663   − cmin 10859   / cdiv 11286  (,]cioc 12727  abscabs 14584  TopOpenctopn 16686  ∞Metcxmet 20074  ballcbl 20076  ℂfldccnfld 20089  Topctop 21496  intcnt 21620   D cdv 24464  logclog 25144 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-sin 15414  df-cos 15415  df-tan 15416  df-pi 15417  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25146 This theorem is referenced by:  logtayl  25249  efrlim  25553
 Copyright terms: Public domain W3C validator