Theorem dvlog2 26635

Description: The derivative of the complex logarithm function on the open unit ball centered at 1, a sometimes easier region to work with than the ℂ ∖ (-∞, 0] of dvlog 26633. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvlog2.s	⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)

Assertion

Ref	Expression
dvlog2	⊢ (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvlog2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3937	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		logf1o 26546	. . . . . . 7 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
3		f1of 6767	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
5		logrncn 26544	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ran log → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	ssriv 3919	. . . . . 6 ⊢ ran log ⊆ ℂ
7		fss 6671	. . . . . 6 ⊢ ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ ran log ⊆ ℂ) → log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
8	4, 6, 7	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
9		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
10	9	logdmss 26624	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})
11		fssres 6693	. . . . 5 ⊢ ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
12	8, 10, 11	mp2an 698	. . . 4 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ
13		difss 4066	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
14		dvlog2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
15		cnxmet 24755	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16		ax-1cn 11087	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		1xr 11195	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
18		blssm 24401	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
19	15, 16, 17, 18	mp3an 1469	. . . . 5 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
20	14, 19	eqsstri 3961	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
21		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22	21	cnfldtopon 24765	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
23	22	toponrestid 22904	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
24	21, 23	dvres 25896	. . . 4 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ) ∧ ((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ)) → (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)))
25	1, 12, 13, 20, 24	mp4an 699	. . 3 ⊢ (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆))
26	14	dvlog2lem 26634	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
27		resabs1 5958	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆)
29	28	oveq2i 7367	. . 3 ⊢ (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = (ℂ D (log ↾ 𝑆))
30	9	dvlog 26633	. . . 4 ⊢ (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥))
31	21	cnfldtop 24766	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
32	21	cnfldtopn 24764	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
33	32	blopn 24483	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
34	15, 16, 17, 33	mp3an 1469	. . . . . 6 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
35	14, 34	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
36		isopn3i 23065	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆)
37	31, 35, 36	mp2an 698	. . . 4 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆
38	30, 37	reseq12i 5929	. . 3 ⊢ ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
39	25, 29, 38	3eqtr3i 2770	. 2 ⊢ (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
40		resmpt 5989	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥)))
41	26, 40	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
42	39, 41	eqtri 2762	1 ⊢ (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥))

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4555   ↦ cmpt 5153  ran crn 5619   ↾ cres 5620   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   − cmin 11368   / cdiv 11798  (,]cioc 13290  abscabs 15187  TopOpenctopn 17375  ∞Metcxmet 21332  ballcbl 21334  ℂ_fldccnfld 21347  Topctop 22876  intcnt 23000   D cdv 25848  logclog 26536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-tan 16027  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-cmp 23370  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852  df-log 26538

This theorem is referenced by:  logtayl  26642  efrlim  26951