Theorem dvlog2 26713

Description: The derivative of the complex logarithm function on the open unit ball centered at 1, a sometimes easier region to work with than the ℂ ∖ (-∞, 0] of dvlog 26711. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvlog2.s	⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)

Assertion

Ref	Expression
dvlog2	⊢ (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvlog2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4031	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		logf1o 26624	. . . . . . 7 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
3		f1of 6862	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
5		logrncn 26622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ran log → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	ssriv 4012	. . . . . 6 ⊢ ran log ⊆ ℂ
7		fss 6763	. . . . . 6 ⊢ ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ ran log ⊆ ℂ) → log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
8	4, 6, 7	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
9		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
10	9	logdmss 26702	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})
11		fssres 6787	. . . . 5 ⊢ ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
12	8, 10, 11	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ
13		difss 4159	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
14		dvlog2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
15		cnxmet 24814	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16		ax-1cn 11242	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		1xr 11349	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
18		blssm 24449	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
19	15, 16, 17, 18	mp3an 1461	. . . . 5 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
20	14, 19	eqsstri 4043	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
21		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22	21	cnfldtopon 24824	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
23	22	toponrestid 22948	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
24	21, 23	dvres 25966	. . . 4 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ) ∧ ((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ)) → (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)))
25	1, 12, 13, 20, 24	mp4an 692	. . 3 ⊢ (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆))
26	14	dvlog2lem 26712	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
27		resabs1 6036	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆)
29	28	oveq2i 7459	. . 3 ⊢ (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = (ℂ D (log ↾ 𝑆))
30	9	dvlog 26711	. . . 4 ⊢ (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥))
31	21	cnfldtop 24825	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
32	21	cnfldtopn 24823	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
33	32	blopn 24534	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
34	15, 16, 17, 33	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
35	14, 34	eqeltri 2840	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
36		isopn3i 23111	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆)
37	31, 35, 36	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆
38	30, 37	reseq12i 6007	. . 3 ⊢ ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
39	25, 29, 38	3eqtr3i 2776	. 2 ⊢ (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
40		resmpt 6066	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥)))
41	26, 40	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
42	39, 41	eqtri 2768	1 ⊢ (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / 𝑥))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   − cmin 11520   / cdiv 11947  (,]cioc 13408  abscabs 15283  TopOpenctopn 17481  ∞Metcxmet 21372  ballcbl 21374  ℂ_fldccnfld 21387  Topctop 22920  intcnt 23046   D cdv 25918  logclog 26614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-tan 16119  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616

This theorem is referenced by:  logtayl  26720  efrlim  27030  efrlimOLD  27031