Theorem 6rexfrabdioph 40276

Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, six variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexfrabdioph.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2	⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3	⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4	⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1)
rexfrabdioph.5	⊢ 𝐼 = (𝐽 + 1)
rexfrabdioph.6	⊢ 𝐻 = (𝐼 + 1)

Assertion

Ref	Expression
6rexfrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝐻   𝑡,𝐼,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝐽,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝐾,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝐿,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝑀,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑝)

Proof of Theorem 6rexfrabdioph

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc4rex 40266	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
2	1	sbcbii 3747	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
3		sbc4rex 40266	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
4	2, 3	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
5	4	sbcbii 3747	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
6		sbc4rex 40266	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
7	5, 6	bitri 278	. . . 4 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
8	7	rabbii 3376	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑}
9		rexfrabdioph.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1)
10		rexfrabdioph.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
11		nn0p1nn 12112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12	10, 11	eqeltrid 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ)
13	12	peano2nnd 11830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
14	9, 13	eqeltrid 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12133	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)
16	15	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17		sbcrot5 40269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
18	17	sbcbii 3747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
19		sbcrot5 40269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
20	18, 19	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
21	20	sbcbii 3747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
22		sbcrot5 40269	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
23	21, 22	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
24	23	sbcbii 3747	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
25		reseq1 5834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)))
26	25	sbccomieg 40270	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)
27		fzssp1 13138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...(𝑁 + 1))
28	10	oveq2i 7213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
29	27, 28	sseqtrri 3928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀)
30		fzssp1 13138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑀) ⊆ (1...(𝑀 + 1))
31	9	oveq2i 7213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝐿) = (1...(𝑀 + 1))
32	30, 31	sseqtrri 3928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑀) ⊆ (1...𝐿)
33	29, 32	sstri 3900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...𝐿)
34		resabs1 5870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)))
35		dfsbcq 3689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
36	33, 34, 35	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)
37		fveq1 6705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎‘𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀))
38	37	sbccomieg 40270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)
39		elfz1end 13125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
40	12, 39	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
41	32, 40	sseldi 3889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (1...𝐿))
42		fvres 6725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀))
43		dfsbcq 3689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
45		vex 3405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑡 ∈ V
46	45	resex 5888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V
47		fveq1 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎‘𝐿) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿))
48	47	sbcco3gw 4327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)
50		elfz1end 13125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
51	14, 50	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (1...𝐿))
52		fvres 6725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡‘𝐿))
53		dfsbcq 3689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡‘𝐿) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
54	51, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
55	49, 54	syl5bb 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
56	55	sbcbidv 3745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
57	44, 56	bitrd 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
58	38, 57	syl5bb 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
59	58	sbcbidv 3745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
60	36, 59	syl5bb 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
61	26, 60	syl5bb 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
62	24, 61	bitr3id 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
63	62	rabbidv 3383	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑})
64	63	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)))
65	64	biimpar 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻))
66		rexfrabdioph.3	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1)
67		rexfrabdioph.4	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1)
68		rexfrabdioph.5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝐽 + 1)
69		rexfrabdioph.6	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 + 1)
70	66, 67, 68, 69	4rexfrabdioph 40275	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
71	16, 65, 70	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
72	8, 71	eqeltrid 2838	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
73	10, 9	2rexfrabdioph 40273	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
74	72, 73	syldan 594	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3055  {crab 3058  Vcvv 3401  [wsbc 3687   ⊆ wss 3857   ↾ cres 5542  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202   ↑_m cmap 8497  1c1 10713   + caddc 10715  ℕcn 11813  ℕ₀cn0 12073  ...cfz 13078  Diophcdioph 40232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-inf2 9245  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-of 7458  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-oadd 8195  df-er 8380  df-map 8499  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-dju 9500  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-fz 13079  df-hash 13880  df-mzpcl 40200  df-mzp 40201  df-dioph 40233

This theorem is referenced by:  7rexfrabdioph  40277