Theorem 6rexfrabdioph 42772

Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, six variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexfrabdioph.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2	⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3	⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4	⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1)
rexfrabdioph.5	⊢ 𝐼 = (𝐽 + 1)
rexfrabdioph.6	⊢ 𝐻 = (𝐼 + 1)

Assertion

Ref	Expression
6rexfrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝐻   𝑡,𝐼,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝐽,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝐾,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝐿,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝑀,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑝)

Proof of Theorem 6rexfrabdioph

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc4rex 42762	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
2	1	sbcbii 3799	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
3		sbc4rex 42762	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
4	2, 3	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
5	4	sbcbii 3799	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
6		sbc4rex 42762	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
7	5, 6	bitri 275	. . . 4 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
8	7	rabbii 3400	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑}
9		rexfrabdioph.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1)
10		rexfrabdioph.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
11		nn0p1nn 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12	10, 11	eqeltrid 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ)
13	12	peano2nnd 12145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
14	9, 13	eqeltrid 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12445	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17		sbcrot5 42765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
18	17	sbcbii 3799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
19		sbcrot5 42765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
20	18, 19	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
21	20	sbcbii 3799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
22		sbcrot5 42765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
23	21, 22	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
24	23	sbcbii 3799	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
25		reseq1 5924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)))
26	25	sbccomieg 42766	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)
27		fzssp1 13470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...(𝑁 + 1))
28	10	oveq2i 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
29	27, 28	sseqtrri 3985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀)
30		fzssp1 13470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑀) ⊆ (1...(𝑀 + 1))
31	9	oveq2i 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝐿) = (1...(𝑀 + 1))
32	30, 31	sseqtrri 3985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑀) ⊆ (1...𝐿)
33	29, 32	sstri 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...𝐿)
34		resabs1 5957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)))
35		dfsbcq 3744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
36	33, 34, 35	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)
37		fveq1 6821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎‘𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀))
38	37	sbccomieg 42766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)
39		elfz1end 13457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
40	12, 39	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
41	32, 40	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (1...𝐿))
42		fvres 6841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀))
43		dfsbcq 3744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
45		vex 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑡 ∈ V
46	45	resex 5980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V
47		fveq1 6821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎‘𝐿) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿))
48	47	sbcco3gw 4376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)
50		elfz1end 13457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
51	14, 50	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (1...𝐿))
52		fvres 6841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡‘𝐿))
53		dfsbcq 3744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡‘𝐿) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
54	51, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
55	49, 54	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
56	55	sbcbidv 3798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
57	44, 56	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
58	38, 57	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
59	58	sbcbidv 3798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
60	36, 59	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
61	26, 60	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
62	24, 61	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
63	62	rabbidv 3402	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑})
64	63	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)))
65	64	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻))
66		rexfrabdioph.3	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1)
67		rexfrabdioph.4	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1)
68		rexfrabdioph.5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝐽 + 1)
69		rexfrabdioph.6	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 + 1)
70	66, 67, 68, 69	4rexfrabdioph 42771	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
71	16, 65, 70	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
72	8, 71	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
73	10, 9	2rexfrabdioph 42769	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
74	72, 73	syldan 591	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3394  Vcvv 3436  [wsbc 3742   ⊆ wss 3903   ↾ cres 5621  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  1c1 11010   + caddc 11012  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ...cfz 13410  Diophcdioph 42728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238  df-mzpcl 42696  df-mzp 42697  df-dioph 42729

This theorem is referenced by:  7rexfrabdioph  42773