Theorem 6rexfrabdioph 40628

Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, six variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexfrabdioph.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2	⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3	⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4	⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1)
rexfrabdioph.5	⊢ 𝐼 = (𝐽 + 1)
rexfrabdioph.6	⊢ 𝐻 = (𝐼 + 1)

Assertion

Ref	Expression
6rexfrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝐻   𝑡,𝐼,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝐽,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝐾,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝐿,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝑀,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑝)

Proof of Theorem 6rexfrabdioph

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc4rex 40618	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
2	1	sbcbii 3777	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
3		sbc4rex 40618	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
4	2, 3	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
5	4	sbcbii 3777	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
6		sbc4rex 40618	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
7	5, 6	bitri 274	. . . 4 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
8	7	rabbii 3409	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑}
9		rexfrabdioph.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1)
10		rexfrabdioph.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
11		nn0p1nn 12281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12	10, 11	eqeltrid 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ)
13	12	peano2nnd 11999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
14	9, 13	eqeltrid 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12302	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)
16	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17		sbcrot5 40621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
18	17	sbcbii 3777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
19		sbcrot5 40621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
20	18, 19	bitri 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
21	20	sbcbii 3777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
22		sbcrot5 40621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
23	21, 22	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
24	23	sbcbii 3777	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
25		reseq1 5888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)))
26	25	sbccomieg 40622	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)
27		fzssp1 13308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...(𝑁 + 1))
28	10	oveq2i 7295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
29	27, 28	sseqtrri 3959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀)
30		fzssp1 13308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑀) ⊆ (1...(𝑀 + 1))
31	9	oveq2i 7295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝐿) = (1...(𝑀 + 1))
32	30, 31	sseqtrri 3959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑀) ⊆ (1...𝐿)
33	29, 32	sstri 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...𝐿)
34		resabs1 5924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)))
35		dfsbcq 3719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
36	33, 34, 35	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)
37		fveq1 6782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎‘𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀))
38	37	sbccomieg 40622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)
39		elfz1end 13295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
40	12, 39	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
41	32, 40	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (1...𝐿))
42		fvres 6802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀))
43		dfsbcq 3719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
45		vex 3437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑡 ∈ V
46	45	resex 5942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V
47		fveq1 6782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎‘𝐿) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿))
48	47	sbcco3gw 4357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)
50		elfz1end 13295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
51	14, 50	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (1...𝐿))
52		fvres 6802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡‘𝐿))
53		dfsbcq 3719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡‘𝐿) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
54	51, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
55	49, 54	syl5bb 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
56	55	sbcbidv 3776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
57	44, 56	bitrd 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
58	38, 57	syl5bb 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
59	58	sbcbidv 3776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
60	36, 59	syl5bb 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
61	26, 60	syl5bb 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
62	24, 61	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑))
63	62	rabbidv 3415	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑})
64	63	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)))
65	64	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻))
66		rexfrabdioph.3	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1)
67		rexfrabdioph.4	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1)
68		rexfrabdioph.5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝐽 + 1)
69		rexfrabdioph.6	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 + 1)
70	66, 67, 68, 69	4rexfrabdioph 40627	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
71	16, 65, 70	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
72	8, 71	eqeltrid 2844	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
73	10, 9	2rexfrabdioph 40625	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
74	72, 73	syldan 591	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3066  {crab 3069  Vcvv 3433  [wsbc 3717   ⊆ wss 3888   ↾ cres 5592  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   ↑_m cmap 8624  1c1 10881   + caddc 10883  ℕcn 11982  ℕ₀cn0 12242  ...cfz 13248  Diophcdioph 40584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-oadd 8310  df-er 8507  df-map 8626  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-dju 9668  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249  df-hash 14054  df-mzpcl 40552  df-mzp 40553  df-dioph 40585

This theorem is referenced by:  7rexfrabdioph  40629