Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3rexfrabdioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3rexfrabdioph 41149
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, two variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3 𝐾 = (𝐿 + 1)
Assertion
Ref Expression
3rexfrabdioph ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐾)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΎ)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝐾   𝑑,𝐿,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯   𝑑,𝑀,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯   𝑑,𝑁,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯   πœ‘,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem 3rexfrabdioph
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbc2rex 41139 . . . . . 6 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘)
21sbcbii 3804 . . . . 5 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒]βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘)
3 sbc2rex 41139 . . . . 5 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒]βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘ ↔ βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘)
42, 3bitri 275 . . . 4 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘)
54rabbii 3416 . . 3 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 πœ‘} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑀)) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘}
6 rexfrabdioph.1 . . . . . . 7 𝑀 = (𝑁 + 1)
7 nn0p1nn 12459 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
86, 7eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„•)
98nnnn0d 12480 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
109adantr 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐾)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΎ)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
11 sbcrot3 41143 . . . . . . . . . . 11 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘)
1211sbcbii 3804 . . . . . . . . . 10 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘)
13 sbcrot3 41143 . . . . . . . . . 10 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘)
1412, 13bitri 275 . . . . . . . . 9 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘)
1514sbcbii 3804 . . . . . . . 8 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘)
16 reseq1 5936 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) β†’ (π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) β†Ύ (1...𝑁)))
1716sbccomieg 41145 . . . . . . . . 9 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘)
18 fzssp1 13491 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) βŠ† (1...(𝑁 + 1))
196oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
2018, 19sseqtrri 3986 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) βŠ† (1...𝑀)
21 resabs1 5972 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) βŠ† (1...𝑀) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) β†Ύ (1...𝑁)) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)))
22 dfsbcq 3746 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) β†Ύ (1...𝑁)) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘))
2320, 21, 22mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ([((𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘)
24 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑑 ∈ V
2524resex 5990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) ∈ V
26 fveq1 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘€) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘€))
2726sbcco3gw 4387 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) ∈ V β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘))
2825, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘)
29 elfz1end 13478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
308, 29sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
31 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (1...𝑀) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘€) = (π‘‘β€˜π‘€))
32 dfsbcq 3746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘€) = (π‘‘β€˜π‘€) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘))
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘))
3428, 33bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘))
3534sbcbidv 3803 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘))
3623, 35bitrid 283 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘))
3717, 36bitrid 283 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘))
3815, 37bitr3id 285 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘))
3938rabbidv 3418 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐾)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘} = {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐾)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘})
4039eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ({𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐾)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΎ) ↔ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐾)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΎ)))
4140biimpar 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐾)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΎ)) β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐾)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΎ))
42 rexfrabdioph.2 . . . . 5 𝐿 = (𝑀 + 1)
43 rexfrabdioph.3 . . . . 5 𝐾 = (𝐿 + 1)
4442, 432rexfrabdioph 41148 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐾)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑀)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΎ)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑀)) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘€))
4510, 41, 44syl2anc 585 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐾)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΎ)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑀)) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘€))
465, 45eqeltrid 2842 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐾)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΎ)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘€))
476rexfrabdioph 41147 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣]βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘€)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
4846, 47syldan 592 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐾)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΎ)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448  [wsbc 3744   βŠ† wss 3915   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  1c1 11059   + caddc 11061  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  ...cfz 13431  Diophcdioph 41107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238  df-mzpcl 41075  df-mzp 41076  df-dioph 41108
This theorem is referenced by:  expdiophlem2  41375
  Copyright terms: Public domain W3C validator