fourierdlem57 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem57 46407

Description: The derivative of 𝑂. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem57.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem57.xre	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem57.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem57.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem57.fdv	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
fourierdlem57.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem57.n0	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem57.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem57.o	⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem57	⊢ ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑠 𝐵,𝑠 𝐶,𝑠 𝐹,𝑠 𝑋,𝑠 𝜑,𝑠 Allowed substitution hint: 𝑂(𝑠)

**Proof of Theorem fourierdlem57**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem57.fdv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
3		fourierdlem57.xre	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
4		fourierdlem57.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
8		fourierdlem57.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3, 8	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
12	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
13		elioore 13291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 11161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
16	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
18	8	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21		ioogtlb 45741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
23	16, 14, 12, 22	ltadd2dd 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
24	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		iooltub 45756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
26	17, 19, 20, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
27	14, 24, 12, 26	ltadd2dd 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
28	7, 11, 15, 23, 27	eliood 45744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
29	2, 28	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
30		2re 12219	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
32		rehalfcl 12368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
33	14, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
34	33	resincld 16068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
35	31, 34	remulcld 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
36	29, 35	remulcld 11162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
37	33	recoscld 16069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
38		fourierdlem57.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
40	39, 15	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
41		fourierdlem57.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	40, 42	resubcld 11565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
44	37, 43	remulcld 11162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∈ ℝ)
45	36, 44	resubcld 11565	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) ∈ ℝ)
46	35	resqcld 14048	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2) ∈ ℝ)
47		2cnd 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
48	32	recnd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
49	48	sincld 16055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
51	14, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
52		2cnd 12223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
53	14, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
54		2ne0 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
56		fourierdlem57.ab	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
57	56	sselda 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
58		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
59	58	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
61		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
62	60, 61	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
63	62	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
64		fourierdlem57.n0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
65	64	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
66	63, 65	pm2.65da 816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
67	66	neqned 2939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
68		fourierdlem44 46395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
69	57, 67, 68	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
70	52, 53, 55, 69	mulne0d 11789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
71		2z 12523	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℤ)
73	51, 70, 72	expne0d 14075	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2) ≠ 0)
74	45, 46, 73	redivcld 11969	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)) ∈ ℝ)
75		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))
76	74, 75	fmptd 7059	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
77		fourierdlem57.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
79	78	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
80		reelprrecn 11118	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
82	43	recnd 11160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
83	40	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
84		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
85	38, 3, 4, 8, 84, 1	fourierdlem28 46379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
86	42	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
87		0red 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
88		iooretop 24709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
89		tgioo4 24749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
90	88, 89	eleqtri 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ))
92	41	recnd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
93	81, 91, 92	dvmptconst 46159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
94	81, 83, 29, 85, 86, 87, 93	dvmptsub 25927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)))
95	29	recnd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
96	95	subid1d 11481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)))
97	96	mpteq2dva 5191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
98	94, 97	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
99		eldifsn 4742	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ ∧ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0))
100	51, 70, 99	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
101		recn 11116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
102	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
103	101, 47, 102	divrec2d 11921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) = ((1 / 2) · 𝑠))
104	103	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
105	13, 104	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
106	105	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
107		halfcn 12355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
109		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ)
110	108, 109	mulcld 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) ∈ ℂ)
111	110	coscld 16056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
112	13, 101, 111	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
113	106, 112	eqeltrrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
114	113	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
115		ioossre 13323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
116		resmpt 5996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
118	117	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))
119	118	oveq2i 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
120		ax-resscn 11083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
121		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
122	121, 50	fmpti 7057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ
123		ssid 3956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
124		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
125	124, 89	dvres 25868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))))
126	120, 122, 123, 115, 125	mp4an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
127		resmpt 5996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
128	120, 127	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
129	104	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
130	129	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
131	130	mpteq2ia 5193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
132	128, 131	eqtr2i 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
133	132	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ))
134		ioontr 45757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)
135	133, 134	reseq12i 5936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) ↾ (𝐴(,)𝐵))
136		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
137		2cnd 12223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
138	110	sincld 16055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
139	137, 138	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
140	136, 139	fmpti 7057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ
141		ssid 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
142		dmmptg 6200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℂ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = ℂ)
143		2cn 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
144	143, 107	mulcli 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
146	145, 111	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
147	142, 146	mprg 3057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = ℂ
148	120, 147	sseqtrri 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
149		dvasinbx 46164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
150	143, 107, 149	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
151	150	dmeqi 5853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
152	148, 151	sseqtrri 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
153		dvres3 25870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ))
154	80, 140, 141, 152, 153	mp4an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ)
155	154	reseq1i 5934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵))
156	150	reseq1i 5934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
157	156	reseq1i 5934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵))
158		resabs1 5965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
159	115, 158	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))
160		ioosscn 13324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
161		resmpt 5996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
162	160, 161	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
163	157, 159, 162	3eqtri 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
164	135, 155, 163	3eqtri 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
165	119, 126, 164	3eqtri 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
166	143, 54	recidi 11872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
167	166	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
169	112	mullidd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))
170	168, 169, 106	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
171	170	mpteq2ia 5193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
172	165, 171	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
173	172	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
174	81, 82, 29, 98, 100, 114, 173	dvmptdiv 25934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))
175	79, 174	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))
176	175	feq1d 6644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
177	76, 176	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
178	177, 175	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))))
179	178, 172	pm3.2i 470	1 ⊢ ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2932 ∖ cdif 3898 ⊆ wss 3901 {csn 4580 {cpr 4582 class class class wbr 5098 ↦ cmpt 5179 dom cdm 5624 ran crn 5625 ↾ cres 5626 ⟶wf 6488 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ℂcc 11024 ℝcr 11025 0cc0 11026 1c1 11027 + caddc 11029 · cmul 11031 ℝ^*cxr 11165 < clt 11166 − cmin 11364 -cneg 11365 / cdiv 11794 2c2 12200 ℤcz 12488 (,)cioo 13261 [,]cicc 13264 ↑cexp 13984 sincsin 15986 cosccos 15987 πcpi 15989 ↾_t crest 17340 TopOpenctopn 17341 topGenctg 17357 ℂ_fldccnfld 21309 intcnt 22961 D cdv 25820

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-inf2 9550 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-pre-sup 11104 ax-addf 11105

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-tp 4585 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-iin 4949 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7622 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-supp 8103 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-2o 8398 df-er 8635 df-map 8765 df-pm 8766 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fsupp 9265 df-fi 9314 df-sup 9345 df-inf 9346 df-oi 9415 df-card 9851 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-4 12210 df-5 12211 df-6 12212 df-7 12213 df-8 12214 df-9 12215 df-n0 12402 df-z 12489 df-dec 12608 df-uz 12752 df-q 12862 df-rp 12906 df-xneg 13026 df-xadd 13027 df-xmul 13028 df-ioo 13265 df-ioc 13266 df-ico 13267 df-icc 13268 df-fz 13424 df-fzo 13571 df-fl 13712 df-mod 13790 df-seq 13925 df-exp 13985 df-fac 14197 df-bc 14226 df-hash 14254 df-shft 14990 df-cj 15022 df-re 15023 df-im 15024 df-sqrt 15158 df-abs 15159 df-limsup 15394 df-clim 15411 df-rlim 15412 df-sum 15610 df-ef 15990 df-sin 15992 df-cos 15993 df-pi 15995 df-struct 17074 df-sets 17091 df-slot 17109 df-ndx 17121 df-base 17137 df-ress 17158 df-plusg 17190 df-mulr 17191 df-starv 17192 df-sca 17193 df-vsca 17194 df-ip 17195 df-tset 17196 df-ple 17197 df-ds 17199 df-unif 17200 df-hom 17201 df-cco 17202 df-rest 17342 df-topn 17343 df-0g 17361 df-gsum 17362 df-topgen 17363 df-pt 17364 df-prds 17367 df-xrs 17423 df-qtop 17428 df-imas 17429 df-xps 17431 df-mre 17505 df-mrc 17506 df-acs 17508 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-submnd 18709 df-mulg 18998 df-cntz 19246 df-cmn 19711 df-psmet 21301 df-xmet 21302 df-met 21303 df-bl 21304 df-mopn 21305 df-fbas 21306 df-fg 21307 df-cnfld 21310 df-top 22838 df-topon 22855 df-topsp 22877 df-bases 22890 df-cld 22963 df-ntr 22964 df-cls 22965 df-nei 23042 df-lp 23080 df-perf 23081 df-cn 23171 df-cnp 23172 df-t1 23258 df-haus 23259 df-tx 23506 df-hmeo 23699 df-fil 23790 df-fm 23882 df-flim 23883 df-flf 23884 df-xms 24264 df-ms 24265 df-tms 24266 df-cncf 24827 df-limc 25823 df-dv 25824

This theorem is referenced by: fourierdlem68 46418 fourierdlem80 46430

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