Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem57 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem57 44879
Description: The derivative of 𝑂. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem57.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem57.xre (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem57.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem57.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem57.fdv (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
fourierdlem57.ab (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
fourierdlem57.n0 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
fourierdlem57.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
fourierdlem57.o 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem57 ((πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐢,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem57
StepHypRef Expression
1 fourierdlem57.fdv . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
21adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
3 fourierdlem57.xre . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem57.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
53, 4readdcld 11243 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
65rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
76adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
8 fourierdlem57.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
93, 8readdcld 11243 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ)
109rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ*)
1110adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ*)
123adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
13 elioore 13354 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1413adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1512, 14readdcld 11243 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
164adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1716rexrd 11264 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
188rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1918adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
20 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡))
21 ioogtlb 44208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
2217, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
2316, 14, 12, 22ltadd2dd 11373 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
248adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
25 iooltub 44223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
2617, 19, 20, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
2714, 24, 12, 26ltadd2dd 11373 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐡))
287, 11, 15, 23, 27eliood 44211 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))
292, 28ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
30 2re 12286 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ ℝ)
32 rehalfcl 12438 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3314, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3433resincld 16086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3531, 34remulcld 11244 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
3629, 35remulcld 11244 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
3733recoscld 16087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
38 fourierdlem57.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
3938adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
4039, 15ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
41 fourierdlem57.c . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
4241adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
4340, 42resubcld 11642 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
4437, 43remulcld 11244 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ)
4536, 44resubcld 11642 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) ∈ ℝ)
4635resqcld 14090 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2) ∈ ℝ)
47 2cnd 12290 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 2 ∈ β„‚)
4832recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
4948sincld 16073 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
5047, 49mulcld 11234 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚)
5114, 50syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚)
52 2cnd 12290 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ β„‚)
5314, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
54 2ne0 12316 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
5554a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 β‰  0)
56 fourierdlem57.ab . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
5756sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
58 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
5958biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 β†’ 0 = 𝑠)
6059adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 = 𝑠)
61 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡))
6260, 61eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
6362adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
64 fourierdlem57.n0 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑠 = 0) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
6663, 65pm2.65da 816 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
6766neqned 2948 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 β‰  0)
68 fourierdlem44 44867 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝑠 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
6957, 67, 68syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
7052, 53, 55, 69mulne0d 11866 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) β‰  0)
71 2z 12594 . . . . . . . 8 2 ∈ β„€
7271a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ β„€)
7351, 70, 72expne0d 14117 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2) β‰  0)
7445, 46, 73redivcld 12042 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2)) ∈ ℝ)
75 eqid 2733 . . . . 5 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2)))
7674, 75fmptd 7114 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
77 fourierdlem57.o . . . . . . . 8 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
7877a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
7978oveq2d 7425 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
80 reelprrecn 11202 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
8180a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
8243recnd 11242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
8340recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
84 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))
8538, 3, 4, 8, 84, 1fourierdlem28 44851 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
8642recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
87 0red 11217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
88 iooretop 24282 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
89 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
9089tgioo2 24319 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
9188, 90eleqtri 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
9341recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9481, 92, 93dvmptconst 44631 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐢)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0))
9581, 83, 29, 85, 86, 87, 94dvmptsub 25484 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 0)))
9629recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
9796subid1d 11560 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 0) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
9897mpteq2dva 5249 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 0)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
9995, 98eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
100 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) β‰  0))
10151, 70, 100sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
102 recn 11200 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
10354a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 2 β‰  0)
104102, 47, 103divrec2d 11994 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 / 2) = ((1 / 2) Β· 𝑠))
105104eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((1 / 2) Β· 𝑠) = (𝑠 / 2))
10613, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((1 / 2) Β· 𝑠) = (𝑠 / 2))
107106fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)) = (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
108 halfcn 12427 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ β„‚
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
110 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
111109, 110mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ ((1 / 2) Β· 𝑠) ∈ β„‚)
112111coscld 16074 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
11313, 102, 1123syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
114107, 113eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
115114adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
116 ioossre 13385 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
117 resmpt 6038 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ β†’ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
119118eqcomi 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
120119oveq2i 7420 . . . . . . . . . 10 (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
121 ax-resscn 11167 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
122 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
123122, 50fmpti 7112 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))):β„βŸΆβ„‚
124 ssid 4005 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† ℝ
12589, 90dvres 25428 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))):β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡))))
126121, 123, 124, 116, 125mp4an 692 . . . . . . . . . 10 (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
127 resmpt 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))))
128121, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
129105fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
130129oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) = (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
131130mpteq2ia 5252 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
132128, 131eqtr2i 2762 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)
133132oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ))
134 ioontr 44224 . . . . . . . . . . . 12 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡)
135133, 134reseq12i 5980 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡))) = ((ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
136 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
137 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ 2 ∈ β„‚)
138111sincld 16073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
139137, 138mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) ∈ β„‚)
140136, 139fmpti 7112 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))):β„‚βŸΆβ„‚
141 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ βŠ† β„‚
142 dmmptg 6242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘  ∈ β„‚ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) ∈ β„‚ β†’ dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) = β„‚)
143 2cn 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„‚
144143, 108mulcli 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 Β· (1 / 2)) ∈ β„‚
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (1 / 2)) ∈ β„‚)
146145, 112mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) ∈ β„‚)
147142, 146mprg 3068 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) = β„‚
148121, 147sseqtrri 4020 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
149 dvasinbx 44636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ β„‚ ∧ (1 / 2) ∈ β„‚) β†’ (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))))
150143, 108, 149mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
151150dmeqi 5905 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
152148, 151sseqtrri 4020 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))))
153 dvres3 25430 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))):β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))))) β†’ (ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ))
15480, 140, 141, 152, 153mp4an 692 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ)
155154reseq1i 5978 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
156150reseq1i 5978 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)
157156reseq1i 5978 . . . . . . . . . . . 12 (((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
158 resabs1 6012 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ β†’ (((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
159116, 158ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
160 ioosscn 13386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
161 resmpt 6038 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ β†’ ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))))
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
163157, 159, 1623eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
164135, 155, 1633eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
165120, 126, 1643eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
166143, 54recidi 11945 . . . . . . . . . . . . 13 (2 Β· (1 / 2)) = 1
167166oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) = (1 Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))
168167a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) = (1 Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
169113mullidd 11232 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (1 Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) = (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))
170168, 169, 1073eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) = (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
171170mpteq2ia 5252 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
172165, 171eqtri 2761 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
173172a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))))
17481, 82, 29, 99, 101, 115, 173dvmptdiv 25491 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))))
17579, 174eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))))
176175feq1d 6703 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
17776, 176mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
178177, 175jca 513 . 2 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2)))))
179178, 172pm3.2i 472 1 ((πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  β„€cz 12558  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  β†‘cexp 14027  sincsin 16007  cosccos 16008  Ο€cpi 16010   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  intcnt 22521   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-t1 22818  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  44890  fourierdlem80  44902
  Copyright terms: Public domain W3C validator