fourierdlem57 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem57 46119

Description: The derivative of 𝑂. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem57.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem57.xre	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem57.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem57.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem57.fdv	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
fourierdlem57.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem57.n0	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem57.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem57.o	⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem57	⊢ ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑠 𝐵,𝑠 𝐶,𝑠 𝐹,𝑠 𝑋,𝑠 𝜑,𝑠 Allowed substitution hint: 𝑂(𝑠)

**Proof of Theorem fourierdlem57**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem57.fdv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
3		fourierdlem57.xre	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
4		fourierdlem57.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 11288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
8		fourierdlem57.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3, 8	readdcld 11288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
12	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
13		elioore 13414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
16	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
18	8	rexrd 11309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21		ioogtlb 45448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
23	16, 14, 12, 22	ltadd2dd 11418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
24	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		iooltub 45463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
26	17, 19, 20, 25	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
27	14, 24, 12, 26	ltadd2dd 11418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
28	7, 11, 15, 23, 27	eliood 45451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
29	2, 28	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
30		2re 12338	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
32		rehalfcl 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
33	14, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
34	33	resincld 16176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
35	31, 34	remulcld 11289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
36	29, 35	remulcld 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
37	33	recoscld 16177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
38		fourierdlem57.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
40	39, 15	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
41		fourierdlem57.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	40, 42	resubcld 11689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
44	37, 43	remulcld 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∈ ℝ)
45	36, 44	resubcld 11689	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) ∈ ℝ)
46	35	resqcld 14162	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2) ∈ ℝ)
47		2cnd 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
48	32	recnd 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
49	48	sincld 16163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 11279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
51	14, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
52		2cnd 12342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
53	14, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
54		2ne0 12368	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
56		fourierdlem57.ab	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
57	56	sselda 3995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
58		eqcom 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
59	58	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
61		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
62	60, 61	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
63	62	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
64		fourierdlem57.n0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
65	64	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
66	63, 65	pm2.65da 817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
67	66	neqned 2945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
68		fourierdlem44 46107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
69	57, 67, 68	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
70	52, 53, 55, 69	mulne0d 11913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
71		2z 12647	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℤ)
73	51, 70, 72	expne0d 14189	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2) ≠ 0)
74	45, 46, 73	redivcld 12093	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)) ∈ ℝ)
75		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))
76	74, 75	fmptd 7134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
77		fourierdlem57.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
79	78	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
80		reelprrecn 11245	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
82	43	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
83	40	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
84		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
85	38, 3, 4, 8, 84, 1	fourierdlem28 46091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
86	42	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
87		0red 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
88		iooretop 24802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
89		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
90	89	tgioo2 24839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
91	88, 90	eleqtri 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ))
93	41	recnd 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
94	81, 92, 93	dvmptconst 45871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
95	81, 83, 29, 85, 86, 87, 94	dvmptsub 26020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)))
96	29	recnd 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
97	96	subid1d 11607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)))
98	97	mpteq2dva 5248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
99	95, 98	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
100		eldifsn 4791	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ ∧ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0))
101	51, 70, 100	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
102		recn 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
103	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
104	102, 47, 103	divrec2d 12045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) = ((1 / 2) · 𝑠))
105	104	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
106	13, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
107	106	fveq2d 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
108		halfcn 12479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
110		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ)
111	109, 110	mulcld 11279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) ∈ ℂ)
112	111	coscld 16164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
113	13, 102, 112	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
114	107, 113	eqeltrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
115	114	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
116		ioossre 13445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
117		resmpt 6057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
119	118	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))
120	119	oveq2i 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
121		ax-resscn 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
122		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
123	122, 50	fmpti 7132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ
124		ssid 4018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
125	89, 90	dvres 25961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))))
126	121, 123, 124, 116, 125	mp4an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
127		resmpt 6057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
128	121, 127	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
129	105	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
130	129	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
131	130	mpteq2ia 5251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
132	128, 131	eqtr2i 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
133	132	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ))
134		ioontr 45464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)
135	133, 134	reseq12i 5998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) ↾ (𝐴(,)𝐵))
136		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
137		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
138	111	sincld 16163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
139	137, 138	mulcld 11279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
140	136, 139	fmpti 7132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ
141		ssid 4018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
142		dmmptg 6264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℂ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = ℂ)
143		2cn 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
144	143, 108	mulcli 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
146	145, 112	mulcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
147	142, 146	mprg 3065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = ℂ
148	121, 147	sseqtrri 4033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
149		dvasinbx 45876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
150	143, 108, 149	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
151	150	dmeqi 5918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
152	148, 151	sseqtrri 4033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
153		dvres3 25963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ))
154	80, 140, 141, 152, 153	mp4an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ)
155	154	reseq1i 5996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵))
156	150	reseq1i 5996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
157	156	reseq1i 5996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵))
158		resabs1 6027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
159	116, 158	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))
160		ioosscn 13446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
161		resmpt 6057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
162	160, 161	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
163	157, 159, 162	3eqtri 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
164	135, 155, 163	3eqtri 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
165	120, 126, 164	3eqtri 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
166	143, 54	recidi 11996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
167	166	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
169	113	mullidd 11277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))
170	168, 169, 107	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
171	170	mpteq2ia 5251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
172	165, 171	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
173	172	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
174	81, 82, 29, 99, 101, 115, 173	dvmptdiv 26027	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))
175	79, 174	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))
176	175	feq1d 6721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
177	76, 176	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
178	177, 175	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))))
179	178, 172	pm3.2i 470	1 ⊢ ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1537 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2938 ∖ cdif 3960 ⊆ wss 3963 {csn 4631 {cpr 4633 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 dom cdm 5689 ran crn 5690 ↾ cres 5691 ⟶wf 6559 ‘cfv 6563 (class class class)co 7431 ℂcc 11151 ℝcr 11152 0cc0 11153 1c1 11154 + caddc 11156 · cmul 11158 ℝ^*cxr 11292 < clt 11293 − cmin 11490 -cneg 11491 / cdiv 11918 2c2 12319 ℤcz 12611 (,)cioo 13384 [,]cicc 13387 ↑cexp 14099 sincsin 16096 cosccos 16097 πcpi 16099 ↾_t crest 17467 TopOpenctopn 17468 topGenctg 17484 ℂ_fldccnfld 21382 intcnt 23041 D cdv 25913

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-rep 5285 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-inf2 9679 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 ax-pre-mulgt0 11230 ax-pre-sup 11231 ax-addf 11232

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3378 df-reu 3379 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-pss 3983 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-tp 4636 df-op 4638 df-uni 4913 df-int 4952 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5583 df-eprel 5589 df-po 5597 df-so 5598 df-fr 5641 df-se 5642 df-we 5643 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-pred 6323 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-isom 6572 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-of 7697 df-om 7888 df-1st 8013 df-2nd 8014 df-supp 8185 df-frecs 8305 df-wrecs 8336 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-1o 8505 df-2o 8506 df-er 8744 df-map 8867 df-pm 8868 df-ixp 8937 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-fin 8988 df-fsupp 9400 df-fi 9449 df-sup 9480 df-inf 9481 df-oi 9548 df-card 9977 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-le 11299 df-sub 11492 df-neg 11493 df-div 11919 df-nn 12265 df-2 12327 df-3 12328 df-4 12329 df-5 12330 df-6 12331 df-7 12332 df-8 12333 df-9 12334 df-n0 12525 df-z 12612 df-dec 12732 df-uz 12877 df-q 12989 df-rp 13033 df-xneg 13152 df-xadd 13153 df-xmul 13154 df-ioo 13388 df-ioc 13389 df-ico 13390 df-icc 13391 df-fz 13545 df-fzo 13692 df-fl 13829 df-mod 13907 df-seq 14040 df-exp 14100 df-fac 14310 df-bc 14339 df-hash 14367 df-shft 15103 df-cj 15135 df-re 15136 df-im 15137 df-sqrt 15271 df-abs 15272 df-limsup 15504 df-clim 15521 df-rlim 15522 df-sum 15720 df-ef 16100 df-sin 16102 df-cos 16103 df-pi 16105 df-struct 17181 df-sets 17198 df-slot 17216 df-ndx 17228 df-base 17246 df-ress 17275 df-plusg 17311 df-mulr 17312 df-starv 17313 df-sca 17314 df-vsca 17315 df-ip 17316 df-tset 17317 df-ple 17318 df-ds 17320 df-unif 17321 df-hom 17322 df-cco 17323 df-rest 17469 df-topn 17470 df-0g 17488 df-gsum 17489 df-topgen 17490 df-pt 17491 df-prds 17494 df-xrs 17549 df-qtop 17554 df-imas 17555 df-xps 17557 df-mre 17631 df-mrc 17632 df-acs 17634 df-mgm 18666 df-sgrp 18745 df-mnd 18761 df-submnd 18810 df-mulg 19099 df-cntz 19348 df-cmn 19815 df-psmet 21374 df-xmet 21375 df-met 21376 df-bl 21377 df-mopn 21378 df-fbas 21379 df-fg 21380 df-cnfld 21383 df-top 22916 df-topon 22933 df-topsp 22955 df-bases 22969 df-cld 23043 df-ntr 23044 df-cls 23045 df-nei 23122 df-lp 23160 df-perf 23161 df-cn 23251 df-cnp 23252 df-t1 23338 df-haus 23339 df-tx 23586 df-hmeo 23779 df-fil 23870 df-fm 23962 df-flim 23963 df-flf 23964 df-xms 24346 df-ms 24347 df-tms 24348 df-cncf 24918 df-limc 25916 df-dv 25917

This theorem is referenced by: fourierdlem68 46130 fourierdlem80 46142

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