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Theorem fourierdlem57 40894
Description: The derivative of 𝑂. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem57.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem57.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem57.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem57.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem57.fdv (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
fourierdlem57.ab (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem57.n0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem57.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem57.o 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem57 ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem57
StepHypRef Expression
1 fourierdlem57.fdv . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
21adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
3 fourierdlem57.xre . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem57.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
53, 4readdcld 10274 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
65rexrd 10294 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
76adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
8 fourierdlem57.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
93, 8readdcld 10274 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
109rexrd 10294 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
1110adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
123adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
13 elioore 12409 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
1413adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1512, 14readdcld 10274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
164adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1716rexrd 10294 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
188rexrd 10294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1918adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21 ioogtlb 40235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
2217, 19, 20, 21syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
2316, 14, 12, 22ltadd2dd 10401 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
248adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
25 iooltub 40252 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
2617, 19, 20, 25syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
2714, 24, 12, 26ltadd2dd 10401 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
287, 11, 15, 23, 27eliood 40238 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
292, 28ffvelrnd 6505 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
30 2re 11295 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
32 rehalfcl 11464 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3314, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3433resincld 15078 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3531, 34remulcld 10275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
3629, 35remulcld 10275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
3733recoscld 15079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
38 fourierdlem57.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
3938adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4039, 15ffvelrnd 6505 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
41 fourierdlem57.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4241adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4340, 42resubcld 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
4437, 43remulcld 10275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∈ ℝ)
4536, 44resubcld 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) ∈ ℝ)
4635resqcld 13241 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2) ∈ ℝ)
47 2cnd 11298 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
4832recnd 10273 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
4948sincld 15065 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
5047, 49mulcld 10265 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
5114, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
52 2cnd 11298 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
5314, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
54 2ne0 11318 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
5554a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
56 fourierdlem57.ab . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
5756sselda 3752 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
58 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
5958biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
6059adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
61 simpl 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6260, 61eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6362adantll 693 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
64 fourierdlem57.n0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6564ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6663, 65pm2.65da 818 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
6766neqned 2950 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
68 fourierdlem44 40882 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
6957, 67, 68syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
7052, 53, 55, 69mulne0d 10884 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
71 2z 11615 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
7271a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℤ)
7351, 70, 72expne0d 13220 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2) ≠ 0)
7445, 46, 73redivcld 11058 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)) ∈ ℝ)
75 eqid 2771 . . . . 5 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))
7674, 75fmptd 6529 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
77 fourierdlem57.o . . . . . . . 8 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
7877a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
7978oveq2d 6811 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
80 reelprrecn 10233 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8180a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
8243recnd 10273 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
8340recnd 10273 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
84 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
8538, 3, 4, 8, 84, 1fourierdlem28 40866 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
8642recnd 10273 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
87 0red 10246 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
88 iooretop 22788 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
89 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9089tgioo2 22825 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
9188, 90eleqtri 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
9341recnd 10273 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9481, 92, 93dvmptconst 40644 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
9581, 83, 29, 85, 86, 87, 94dvmptsub 23949 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)))
9629recnd 10273 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
9796subid1d 10586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)))
9897mpteq2dva 4879 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
9995, 98eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
100 eldifsn 4454 . . . . . . . 8 ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ ∧ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0))
10151, 70, 100sylanbrc 572 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
102 recn 10231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
10354a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
104102, 47, 103divrec2d 11010 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) = ((1 / 2) · 𝑠))
105104eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
10613, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
107106fveq2d 6337 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
108 halfcn 11453 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℂ
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
110 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ)
111109, 110mulcld 10265 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) ∈ ℂ)
112111coscld 15066 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
11313, 102, 1123syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
114107, 113eqeltrrd 2851 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
115114adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
116 ioossre 12439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
117 resmpt 5589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
119118eqcomi 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))
120119oveq2i 6806 . . . . . . . . . 10 (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
121 ax-resscn 10198 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
122 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
123122, 50fmpti 6527 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ
124 ssid 3773 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ
12589, 90dvres 23894 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))))
126121, 123, 124, 116, 125mp4an 673 . . . . . . . . . 10 (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
127 resmpt 5589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
128121, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
129105fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
130129oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
131130mpteq2ia 4875 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
132128, 131eqtr2i 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
133132oveq2i 6806 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ))
134 ioontr 40253 . . . . . . . . . . . 12 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)
135133, 134reseq12i 5531 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) ↾ (𝐴(,)𝐵))
136 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
137 2cnd 11298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
138111sincld 15065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
139137, 138mulcld 10265 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
140136, 139fmpti 6527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ
141 ssid 3773 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
142 dmmptg 5775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑠 ∈ ℂ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = ℂ)
143 2cn 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
144143, 108mulcli 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
146145, 112mulcld 10265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
147142, 146mprg 3075 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = ℂ
148121, 147sseqtr4i 3787 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
149 dvasinbx 40650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
150143, 108, 149mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
151150dmeqi 5462 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
152148, 151sseqtr4i 3787 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
153 dvres3 23896 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ))
15480, 140, 141, 152, 153mp4an 673 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ)
155154reseq1i 5529 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵))
156150reseq1i 5529 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
157156reseq1i 5529 . . . . . . . . . . . 12 (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵))
158 resabs1 5567 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
159116, 158ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))
160 ioosscn 40234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
161 resmpt 5589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
163157, 159, 1623eqtri 2797 . . . . . . . . . . 11 (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
164135, 155, 1633eqtri 2797 . . . . . . . . . 10 ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
165120, 126, 1643eqtri 2797 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
166143, 54recidi 10961 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (1 / 2)) = 1
167166oveq1i 6805 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))
168167a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
169113mulid2d 10263 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))
170168, 169, 1073eqtrd 2809 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
171170mpteq2ia 4875 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
172165, 171eqtri 2793 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
173172a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
17481, 82, 29, 99, 101, 115, 173dvmptdiv 23956 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))
17579, 174eqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))
176175feq1d 6169 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
17776, 176mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
178177, 175jca 501 . 2 (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))))
179178, 172pm3.2i 456 1 ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  wss 3723  {csn 4317  {cpr 4319   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  ran crn 5251  cres 5252  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6795  cc 10139  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   + caddc 10144   · cmul 10146  *cxr 10278   < clt 10279  cmin 10471  -cneg 10472   / cdiv 10889  2c2 11275  cz 11583  (,)cioo 12379  [,]cicc 12382  cexp 13066  sincsin 14999  cosccos 15000  πcpi 15002  t crest 16288  TopOpenctopn 16289  topGenctg 16305  fldccnfld 19960  intcnt 21041   D cdv 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-ixp 8066  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-fi 8476  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-t1 21338  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850
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