fourierdlem57 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem57 46737

Description: The derivative of 𝑂. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem57.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem57.xre	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem57.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem57.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem57.fdv	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
fourierdlem57.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem57.n0	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem57.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem57.o	⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem57	⊢ ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑠 𝐵,𝑠 𝐶,𝑠 𝐹,𝑠 𝑋,𝑠 𝜑,𝑠 Allowed substitution hint: 𝑂(𝑠)

**Proof of Theorem fourierdlem57**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem57.fdv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
2	1	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
3		fourierdlem57.xre	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
4		fourierdlem57.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
7	6	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
8		fourierdlem57.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3, 8	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
11	10	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
12	3	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
13		elioore 13379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
16	4	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
18	8	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
19	18	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
20		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21		ioogtlb 46071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
23	16, 14, 12, 22	ltadd2dd 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
24	8	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		iooltub 46086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
26	17, 19, 20, 25	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
27	14, 24, 12, 26	ltadd2dd 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
28	7, 11, 15, 23, 27	eliood 46074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
29	2, 28	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
30		2re 12292	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
32		rehalfcl 12448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
33	14, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
34	33	resincld 16175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
35	31, 34	remulcld 11212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
36	29, 35	remulcld 11212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
37	33	recoscld 16176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
38		fourierdlem57.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
39	38	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
40	39, 15	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
41		fourierdlem57.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
42	41	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	40, 42	resubcld 11615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
44	37, 43	remulcld 11212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∈ ℝ)
45	36, 44	resubcld 11615	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) ∈ ℝ)
46	35	resqcld 14138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2) ∈ ℝ)
47		2cnd 12296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
48	32	recnd 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
49	48	sincld 16162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
51	14, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
52		2cnd 12296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
53	14, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
54		2ne0 12324	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
56		fourierdlem57.ab	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
57	56	sselda 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
58		eqcom 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
59	58	bilani 508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
60		simpl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
61	59, 60	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
62	61	adantll 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
63		fourierdlem57.n0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
64	63	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
65	62, 64	pm2.65da 826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
66	65	neqned 2964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
67		fourierdlem44 46725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
68	57, 66, 67	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
69	52, 53, 55, 68	mulne0d 11839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
70		2z 12603	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
71	70	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℤ)
72	51, 69, 71	expne0d 14165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2) ≠ 0)
73	45, 46, 72	redivcld 12019	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)) ∈ ℝ)
74		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))
75	73, 74	fmptd 7095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
76		fourierdlem57.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
78	77	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
79		reelprrecn 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
81	43	recnd 11210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
82	40	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
83		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
84	38, 3, 4, 8, 83, 1	fourierdlem28 46709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
85	42	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
86		0red 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
87		iooretop 24825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
88		tgioo4 24865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
89	87, 88	eleqtri 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ))
91	41	recnd 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
92	80, 90, 91	dvmptconst 46489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
93	80, 82, 29, 84, 85, 86, 92	dvmptsub 26029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)))
94	29	recnd 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
95	94	subid1d 11531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)))
96	95	mpteq2dva 5193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
97	93, 96	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
98		eldifsn 4746	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ ∧ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0))
99	51, 69, 98	sylanbrc 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
100		recn 11163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
101	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
102	100, 47, 101	divrec2d 11971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) = ((1 / 2) · 𝑠))
103	102	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
104	13, 103	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
105	104	fveq2d 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
106		halfcn 12435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
108		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ)
109	107, 108	mulcld 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) ∈ ℂ)
110	109	coscld 16163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
111	13, 100, 110	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
112	105, 111	eqeltrrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
113	112	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
114		ioossre 13411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
115		resmpt 6026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
116	114, 115	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
117	116	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))
118	117	oveq2i 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
119		ax-resscn 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
120		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
121	120, 50	fmpti 7093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ
122		ssid 3958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
123		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
124	123, 88	dvres 25973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))))
125	119, 121, 122, 114, 124	mp4an 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
126		resmpt 6026	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
127	119, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
128	103	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
129	128	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
130	129	mpteq2ia 5195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
131	127, 130	eqtr2i 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
132	131	oveq2i 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ))
133		ioontr 46087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)
134	132, 133	reseq12i 5963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) ↾ (𝐴(,)𝐵))
135		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
136		2cnd 12296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
137	109	sincld 16162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
138	136, 137	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
139	135, 138	fmpti 7093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ
140		ssid 3958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
141		dmmptg 6229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℂ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = ℂ)
142		2cn 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
143	142, 106	mulcli 11189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
145	144, 110	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
146	141, 145	mprg 3082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = ℂ
147	119, 146	sseqtrri 3985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
148		dvasinbx 46494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
149	142, 106, 148	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
150	149	dmeqi 5880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
151	147, 150	sseqtrri 3985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
152		dvres3 25975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ))
153	79, 139, 140, 151, 152	mp4an 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ)
154	153	reseq1i 5961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵))
155	149	reseq1i 5961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
156	155	reseq1i 5961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵))
157		resabs1 5992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
158	114, 157	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))
159		ioosscn 13412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
160		resmpt 6026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
161	159, 160	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
162	156, 158, 161	3eqtri 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
163	134, 154, 162	3eqtri 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
164	118, 125, 163	3eqtri 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
165	142, 54	recidi 11922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
166	165	oveq1i 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
168	111	mullidd 11200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))
169	167, 168, 105	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
170	169	mpteq2ia 5195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
171	164, 170	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
172	171	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
173	80, 81, 29, 97, 99, 113, 172	dvmptdiv 26036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))
174	78, 173	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))
175	174	feq1d 6673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
176	75, 175	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
177	176, 174	jca 519	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))))
178	177, 171	pm3.2i 474	1 ⊢ ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 399 = wceq 1560 ∈ wcel 2142 ≠ wne 2957 ∖ cdif 3901 ⊆ wss 3904 {csn 4582 {cpr 4584 class class class wbr 5100 ↦ cmpt 5181 dom cdm 5647 ran crn 5648 ↾ cres 5649 ⟶wf 6517 ‘cfv 6521 (class class class)co 7396 ℂcc 11071 ℝcr 11072 0cc0 11073 1c1 11074 + caddc 11076 · cmul 11078 ℝ^*cxr 11215 < clt 11216 − cmin 11414 -cneg 11415 / cdiv 11844 2c2 12272 ℤcz 12568 (,)cioo 13349 [,]cicc 13352 ↑cexp 14074 sincsin 16093 cosccos 16094 πcpi 16096 ↾_t crest 17449 TopOpenctopn 17450 topGenctg 17466 ℂ_fldccnfld 21424 intcnt 23077 D cdv 25925

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1815 ax-4 1829 ax-5 1930 ax-6 1987 ax-7 2028 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-rep 5227 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5322 ax-pr 5390 ax-un 7718 ax-inf2 9596 ax-cnex 11129 ax-resscn 11130 ax-1cn 11131 ax-icn 11132 ax-addcl 11133 ax-addrcl 11134 ax-mulcl 11135 ax-mulrcl 11136 ax-mulcom 11137 ax-addass 11138 ax-mulass 11139 ax-distr 11140 ax-i2m1 11141 ax-1ne0 11142 ax-1rid 11143 ax-rnegex 11144 ax-rrecex 11145 ax-cnre 11146 ax-pre-lttri 11147 ax-pre-lttrn 11148 ax-pre-ltadd 11149 ax-pre-mulgt0 11150 ax-pre-sup 11151 ax-addf 11152

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1099 df-3an 1100 df-tru 1563 df-fal 1573 df-ex 1800 df-nf 1804 df-sb 2091 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3456 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4481 df-pw 4557 df-sn 4583 df-pr 4585 df-tp 4587 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4906 df-iun 4951 df-iin 4952 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5542 df-eprel 5547 df-po 5555 df-so 5556 df-fr 5600 df-se 5601 df-we 5602 df-xp 5653 df-rel 5654 df-cnv 5655 df-co 5656 df-dm 5657 df-rn 5658 df-res 5659 df-ima 5660 df-pred 6288 df-ord 6349 df-on 6350 df-lim 6351 df-suc 6352 df-iota 6477 df-fun 6523 df-fn 6524 df-f 6525 df-f1 6526 df-fo 6527 df-f1o 6528 df-fv 6529 df-isom 6530 df-riota 7353 df-ov 7399 df-oprab 7400 df-mpo 7401 df-of 7660 df-om 7847 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-supp 8141 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8342 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-er 8678 df-map 8810 df-pm 8811 df-ixp 8880 df-en 8928 df-dom 8929 df-sdom 8930 df-fin 8931 df-fsupp 9308 df-fi 9357 df-sup 9388 df-inf 9389 df-oi 9458 df-card 9897 df-pnf 11218 df-mnf 11219 df-xr 11220 df-ltxr 11221 df-le 11222 df-sub 11416 df-neg 11417 df-div 11845 df-nn 12211 df-2 12280 df-3 12281 df-4 12282 df-5 12283 df-6 12284 df-7 12285 df-8 12286 df-9 12287 df-n0 12482 df-z 12569 df-dec 12689 df-uz 12840 df-q 12950 df-rp 12994 df-xneg 13114 df-xadd 13115 df-xmul 13116 df-ioo 13353 df-ioc 13354 df-ico 13355 df-icc 13356 df-fz 13513 df-fzo 13660 df-fl 13802 df-mod 13880 df-seq 14015 df-exp 14075 df-fac 14287 df-bc 14316 df-hash 14344 df-shft 15080 df-cj 15126 df-re 15127 df-im 15128 df-sqrt 15262 df-abs 15263 df-limsup 15498 df-clim 15515 df-rlim 15516 df-sum 15714 df-ef 16097 df-sin 16099 df-cos 16100 df-pi 16102 df-struct 17183 df-sets 17200 df-slot 17218 df-ndx 17230 df-base 17246 df-ress 17267 df-plusg 17299 df-mulr 17300 df-starv 17301 df-sca 17302 df-vsca 17303 df-ip 17304 df-tset 17305 df-ple 17306 df-ds 17308 df-unif 17309 df-hom 17310 df-cco 17311 df-rest 17451 df-topn 17452 df-0g 17470 df-gsum 17471 df-topgen 17472 df-pt 17473 df-prds 17476 df-xrs 17532 df-qtop 17537 df-imas 17538 df-xps 17540 df-mre 17614 df-mrc 17615 df-acs 17617 df-mgm 18674 df-sgrp 18753 df-mnd 18769 df-submnd 18818 df-mulg 19110 df-cntz 19357 df-cmn 19822 df-psmet 21416 df-xmet 21417 df-met 21418 df-bl 21419 df-mopn 21420 df-fbas 21421 df-fg 21422 df-cnfld 21425 df-top 22954 df-topon 22971 df-topsp 22993 df-bases 23006 df-cld 23079 df-ntr 23080 df-cls 23081 df-nei 23158 df-lp 23196 df-perf 23197 df-cn 23287 df-cnp 23288 df-t1 23374 df-haus 23375 df-tx 23622 df-hmeo 23815 df-fil 23906 df-fm 23998 df-flim 23999 df-flf 24000 df-xms 24380 df-ms 24381 df-tms 24382 df-cncf 24940 df-limc 25928 df-dv 25929

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