Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem57 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem57 45177
Description: The derivative of 𝑂. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem57.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem57.xre (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem57.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem57.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem57.fdv (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
fourierdlem57.ab (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
fourierdlem57.n0 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
fourierdlem57.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
fourierdlem57.o 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem57 ((πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐢,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem57
StepHypRef Expression
1 fourierdlem57.fdv . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
21adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
3 fourierdlem57.xre . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem57.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
53, 4readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
65rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
76adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
8 fourierdlem57.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
93, 8readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ)
109rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ*)
1110adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ*)
123adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
13 elioore 13358 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1413adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1512, 14readdcld 11247 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
164adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1716rexrd 11268 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
188rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1918adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
20 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡))
21 ioogtlb 44506 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
2217, 19, 20, 21syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
2316, 14, 12, 22ltadd2dd 11377 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
248adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
25 iooltub 44521 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
2617, 19, 20, 25syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
2714, 24, 12, 26ltadd2dd 11377 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐡))
287, 11, 15, 23, 27eliood 44509 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))
292, 28ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
30 2re 12290 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ ℝ)
32 rehalfcl 12442 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3314, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3433resincld 16090 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3531, 34remulcld 11248 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
3629, 35remulcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
3733recoscld 16091 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
38 fourierdlem57.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
3938adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
4039, 15ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
41 fourierdlem57.c . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
4241adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
4340, 42resubcld 11646 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
4437, 43remulcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ)
4536, 44resubcld 11646 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) ∈ ℝ)
4635resqcld 14094 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2) ∈ ℝ)
47 2cnd 12294 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 2 ∈ β„‚)
4832recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
4948sincld 16077 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
5047, 49mulcld 11238 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚)
5114, 50syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚)
52 2cnd 12294 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ β„‚)
5314, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
54 2ne0 12320 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
5554a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 β‰  0)
56 fourierdlem57.ab . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
5756sselda 3981 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
58 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
5958biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 β†’ 0 = 𝑠)
6059adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 = 𝑠)
61 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡))
6260, 61eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
6362adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
64 fourierdlem57.n0 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
6564ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑠 = 0) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
6663, 65pm2.65da 813 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
6766neqned 2945 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 β‰  0)
68 fourierdlem44 45165 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝑠 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
6957, 67, 68syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
7052, 53, 55, 69mulne0d 11870 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) β‰  0)
71 2z 12598 . . . . . . . 8 2 ∈ β„€
7271a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ β„€)
7351, 70, 72expne0d 14121 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2) β‰  0)
7445, 46, 73redivcld 12046 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2)) ∈ ℝ)
75 eqid 2730 . . . . 5 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2)))
7674, 75fmptd 7114 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
77 fourierdlem57.o . . . . . . . 8 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
7877a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
7978oveq2d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
80 reelprrecn 11204 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
8180a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
8243recnd 11246 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
8340recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
84 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))
8538, 3, 4, 8, 84, 1fourierdlem28 45149 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
8642recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
87 0red 11221 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
88 iooretop 24502 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
89 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
9089tgioo2 24539 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
9188, 90eleqtri 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
9341recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9481, 92, 93dvmptconst 44929 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐢)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0))
9581, 83, 29, 85, 86, 87, 94dvmptsub 25719 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 0)))
9629recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
9796subid1d 11564 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 0) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
9897mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 0)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
9995, 98eqtrd 2770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
100 eldifsn 4789 . . . . . . . 8 ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) β‰  0))
10151, 70, 100sylanbrc 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
102 recn 11202 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
10354a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 2 β‰  0)
104102, 47, 103divrec2d 11998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 / 2) = ((1 / 2) Β· 𝑠))
105104eqcomd 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ β†’ ((1 / 2) Β· 𝑠) = (𝑠 / 2))
10613, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((1 / 2) Β· 𝑠) = (𝑠 / 2))
107106fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)) = (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
108 halfcn 12431 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ β„‚
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
110 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
111109, 110mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ ((1 / 2) Β· 𝑠) ∈ β„‚)
112111coscld 16078 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
11313, 102, 1123syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
114107, 113eqeltrrd 2832 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
115114adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
116 ioossre 13389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
117 resmpt 6036 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ β†’ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
119118eqcomi 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
120119oveq2i 7422 . . . . . . . . . 10 (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
121 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
122 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
123122, 50fmpti 7112 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))):β„βŸΆβ„‚
124 ssid 4003 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† ℝ
12589, 90dvres 25660 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))):β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡))))
126121, 123, 124, 116, 125mp4an 689 . . . . . . . . . 10 (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
127 resmpt 6036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))))
128121, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
129105fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
130129oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) = (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
131130mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
132128, 131eqtr2i 2759 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)
133132oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ))
134 ioontr 44522 . . . . . . . . . . . 12 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡)
135133, 134reseq12i 5978 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡))) = ((ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
136 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
137 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ 2 ∈ β„‚)
138111sincld 16077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
139137, 138mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) ∈ β„‚)
140136, 139fmpti 7112 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))):β„‚βŸΆβ„‚
141 ssid 4003 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ βŠ† β„‚
142 dmmptg 6240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘  ∈ β„‚ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) ∈ β„‚ β†’ dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) = β„‚)
143 2cn 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„‚
144143, 108mulcli 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 Β· (1 / 2)) ∈ β„‚
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (1 / 2)) ∈ β„‚)
146145, 112mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) ∈ β„‚)
147142, 146mprg 3065 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) = β„‚
148121, 147sseqtrri 4018 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
149 dvasinbx 44934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ β„‚ ∧ (1 / 2) ∈ β„‚) β†’ (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))))
150143, 108, 149mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) = (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
151150dmeqi 5903 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
152148, 151sseqtrri 4018 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))))
153 dvres3 25662 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))):β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))))) β†’ (ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ))
15480, 140, 141, 152, 153mp4an 689 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ)
155154reseq1i 5976 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
156150reseq1i 5976 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ)
157156reseq1i 5976 . . . . . . . . . . . 12 (((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
158 resabs1 6010 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ β†’ (((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
159116, 158ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
160 ioosscn 13390 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
161 resmpt 6036 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ β†’ ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))))
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
163157, 159, 1623eqtri 2762 . . . . . . . . . . 11 (((β„‚ D (𝑠 ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (sinβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
164135, 155, 1633eqtri 2762 . . . . . . . . . 10 ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
165120, 126, 1643eqtri 2762 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
166143, 54recidi 11949 . . . . . . . . . . . . 13 (2 Β· (1 / 2)) = 1
167166oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) = (1 Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))
168167a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) = (1 Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))))
169113mullidd 11236 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (1 Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) = (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))
170168, 169, 1073eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠))) = (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
171170mpteq2ia 5250 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((1 / 2) Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
172165, 171eqtri 2758 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
173172a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))))
17481, 82, 29, 99, 101, 115, 173dvmptdiv 25726 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))))
17579, 174eqtrd 2770 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))))
176175feq1d 6701 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
17776, 176mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
178177, 175jca 510 . 2 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2)))))
179178, 172pm3.2i 469 1 ((πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  β„€cz 12562  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  β†‘cexp 14031  sincsin 16011  cosccos 16012  Ο€cpi 16014   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  β„‚fldccnfld 21144  intcnt 22741   D cdv 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-t1 23038  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  45188  fourierdlem80  45200
  Copyright terms: Public domain W3C validator