fourierdlem57 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem57 46612

Description: The derivative of 𝑂. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem57.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem57.xre	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem57.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem57.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem57.fdv	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
fourierdlem57.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem57.n0	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem57.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem57.o	⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem57	⊢ ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑠 𝐵,𝑠 𝐶,𝑠 𝐹,𝑠 𝑋,𝑠 𝜑,𝑠 Allowed substitution hint: 𝑂(𝑠)

**Proof of Theorem fourierdlem57**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem57.fdv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
3		fourierdlem57.xre	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
4		fourierdlem57.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 11168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
8		fourierdlem57.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3, 8	readdcld 11168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
12	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
13		elioore 13322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 11168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
16	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
18	8	rexrd 11189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21		ioogtlb 45946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
23	16, 14, 12, 22	ltadd2dd 11299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
24	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		iooltub 45961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
26	17, 19, 20, 25	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
27	14, 24, 12, 26	ltadd2dd 11299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
28	7, 11, 15, 23, 27	eliood 45949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
29	2, 28	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
30		2re 12249	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
32		rehalfcl 12398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
33	14, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
34	33	resincld 16104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
35	31, 34	remulcld 11169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
36	29, 35	remulcld 11169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
37	33	recoscld 16105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
38		fourierdlem57.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
40	39, 15	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
41		fourierdlem57.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	40, 42	resubcld 11572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
44	37, 43	remulcld 11169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∈ ℝ)
45	36, 44	resubcld 11572	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) ∈ ℝ)
46	35	resqcld 14081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2) ∈ ℝ)
47		2cnd 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
48	32	recnd 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
49	48	sincld 16091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 11159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
51	14, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
52		2cnd 12253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
53	14, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
54		2ne0 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
56		fourierdlem57.ab	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
57	56	sselda 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
58		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
59	58	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
61		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
62	60, 61	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
63	62	adantll 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
64		fourierdlem57.n0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
65	64	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
66	63, 65	pm2.65da 817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
67	66	neqned 2940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
68		fourierdlem44 46600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
69	57, 67, 68	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
70	52, 53, 55, 69	mulne0d 11796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
71		2z 12553	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℤ)
73	51, 70, 72	expne0d 14108	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2) ≠ 0)
74	45, 46, 73	redivcld 11977	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)) ∈ ℝ)
75		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))
76	74, 75	fmptd 7061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
77		fourierdlem57.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
79	78	oveq2d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
80		reelprrecn 11124	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
82	43	recnd 11167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
83	40	recnd 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
84		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
85	38, 3, 4, 8, 84, 1	fourierdlem28 46584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
86	42	recnd 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
87		0red 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
88		iooretop 24743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
89		tgioo4 24783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
90	88, 89	eleqtri 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ))
92	41	recnd 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
93	81, 91, 92	dvmptconst 46364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
94	81, 83, 29, 85, 86, 87, 93	dvmptsub 25947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)))
95	29	recnd 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
96	95	subid1d 11488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)))
97	96	mpteq2dva 5179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
98	94, 97	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
99		eldifsn 4730	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ ∧ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0))
100	51, 70, 99	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
101		recn 11122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
102	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
103	101, 47, 102	divrec2d 11929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) = ((1 / 2) · 𝑠))
104	103	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
105	13, 104	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
106	105	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
107		halfcn 12385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
109		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ)
110	108, 109	mulcld 11159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) ∈ ℂ)
111	110	coscld 16092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
112	13, 101, 111	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
113	106, 112	eqeltrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
114	113	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
115		ioossre 13354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
116		resmpt 5997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
118	117	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))
119	118	oveq2i 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
120		ax-resscn 11089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
121		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
122	121, 50	fmpti 7059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ
123		ssid 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
124		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
125	124, 89	dvres 25891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))))
126	120, 122, 123, 115, 125	mp4an 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
127		resmpt 5997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
128	120, 127	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
129	104	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
130	129	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
131	130	mpteq2ia 5181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
132	128, 131	eqtr2i 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
133	132	oveq2i 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ))
134		ioontr 45962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)
135	133, 134	reseq12i 5937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) ↾ (𝐴(,)𝐵))
136		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
137		2cnd 12253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
138	110	sincld 16091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
139	137, 138	mulcld 11159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
140	136, 139	fmpti 7059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ
141		ssid 3945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
142		dmmptg 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℂ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = ℂ)
143		2cn 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
144	143, 107	mulcli 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
146	145, 111	mulcld 11159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
147	142, 146	mprg 3058	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = ℂ
148	120, 147	sseqtrri 3972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
149		dvasinbx 46369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
150	143, 107, 149	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
151	150	dmeqi 5854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
152	148, 151	sseqtrri 3972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
153		dvres3 25893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ))
154	80, 140, 141, 152, 153	mp4an 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ)
155	154	reseq1i 5935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵))
156	150	reseq1i 5935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
157	156	reseq1i 5935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵))
158		resabs1 5966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
159	115, 158	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵))
160		ioosscn 13355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
161		resmpt 5997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
162	160, 161	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
163	157, 159, 162	3eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
164	135, 155, 163	3eqtri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
165	119, 126, 164	3eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
166	143, 54	recidi 11880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
167	166	oveq1i 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
169	112	mullidd 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (1 · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))
170	168, 169, 106	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
171	170	mpteq2ia 5181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
172	165, 171	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
173	172	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
174	81, 82, 29, 98, 100, 114, 173	dvmptdiv 25954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))
175	79, 174	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))
176	175	feq1d 6645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
177	76, 176	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
178	177, 175	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))))
179	178, 172	pm3.2i 470	1 ⊢ ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∖ cdif 3887 ⊆ wss 3890 {csn 4568 {cpr 4570 class class class wbr 5086 ↦ cmpt 5167 dom cdm 5625 ran crn 5626 ↾ cres 5627 ⟶wf 6489 ‘cfv 6493 (class class class)co 7361 ℂcc 11030 ℝcr 11031 0cc0 11032 1c1 11033 + caddc 11035 · cmul 11037 ℝ^*cxr 11172 < clt 11173 − cmin 11371 -cneg 11372 / cdiv 11801 2c2 12230 ℤcz 12518 (,)cioo 13292 [,]cicc 13295 ↑cexp 14017 sincsin 16022 cosccos 16023 πcpi 16025 ↾_t crest 17377 TopOpenctopn 17378 topGenctg 17394 ℂ_fldccnfld 21347 intcnt 22995 D cdv 25843

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5213 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5303 ax-pr 5371 ax-un 7683 ax-inf2 9556 ax-cnex 11088 ax-resscn 11089 ax-1cn 11090 ax-icn 11091 ax-addcl 11092 ax-addrcl 11093 ax-mulcl 11094 ax-mulrcl 11095 ax-mulcom 11096 ax-addass 11097 ax-mulass 11098 ax-distr 11099 ax-i2m1 11100 ax-1ne0 11101 ax-1rid 11102 ax-rnegex 11103 ax-rrecex 11104 ax-cnre 11105 ax-pre-lttri 11106 ax-pre-lttrn 11107 ax-pre-ltadd 11108 ax-pre-mulgt0 11109 ax-pre-sup 11110 ax-addf 11111

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-tp 4573 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-iin 4937 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-se 5579 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6260 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-isom 6502 df-riota 7318 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-of 7625 df-om 7812 df-1st 7936 df-2nd 7937 df-supp 8105 df-frecs 8225 df-wrecs 8256 df-recs 8305 df-rdg 8343 df-1o 8399 df-2o 8400 df-er 8637 df-map 8769 df-pm 8770 df-ixp 8840 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-fin 8891 df-fsupp 9269 df-fi 9318 df-sup 9349 df-inf 9350 df-oi 9419 df-card 9857 df-pnf 11175 df-mnf 11176 df-xr 11177 df-ltxr 11178 df-le 11179 df-sub 11373 df-neg 11374 df-div 11802 df-nn 12169 df-2 12238 df-3 12239 df-4 12240 df-5 12241 df-6 12242 df-7 12243 df-8 12244 df-9 12245 df-n0 12432 df-z 12519 df-dec 12639 df-uz 12783 df-q 12893 df-rp 12937 df-xneg 13057 df-xadd 13058 df-xmul 13059 df-ioo 13296 df-ioc 13297 df-ico 13298 df-icc 13299 df-fz 13456 df-fzo 13603 df-fl 13745 df-mod 13823 df-seq 13958 df-exp 14018 df-fac 14230 df-bc 14259 df-hash 14287 df-shft 15023 df-cj 15055 df-re 15056 df-im 15057 df-sqrt 15191 df-abs 15192 df-limsup 15427 df-clim 15444 df-rlim 15445 df-sum 15643 df-ef 16026 df-sin 16028 df-cos 16029 df-pi 16031 df-struct 17111 df-sets 17128 df-slot 17146 df-ndx 17158 df-base 17174 df-ress 17195 df-plusg 17227 df-mulr 17228 df-starv 17229 df-sca 17230 df-vsca 17231 df-ip 17232 df-tset 17233 df-ple 17234 df-ds 17236 df-unif 17237 df-hom 17238 df-cco 17239 df-rest 17379 df-topn 17380 df-0g 17398 df-gsum 17399 df-topgen 17400 df-pt 17401 df-prds 17404 df-xrs 17460 df-qtop 17465 df-imas 17466 df-xps 17468 df-mre 17542 df-mrc 17543 df-acs 17545 df-mgm 18602 df-sgrp 18681 df-mnd 18697 df-submnd 18746 df-mulg 19038 df-cntz 19286 df-cmn 19751 df-psmet 21339 df-xmet 21340 df-met 21341 df-bl 21342 df-mopn 21343 df-fbas 21344 df-fg 21345 df-cnfld 21348 df-top 22872 df-topon 22889 df-topsp 22911 df-bases 22924 df-cld 22997 df-ntr 22998 df-cls 22999 df-nei 23076 df-lp 23114 df-perf 23115 df-cn 23205 df-cnp 23206 df-t1 23292 df-haus 23293 df-tx 23540 df-hmeo 23733 df-fil 23824 df-fm 23916 df-flim 23917 df-flf 23918 df-xms 24298 df-ms 24299 df-tms 24300 df-cncf 24858 df-limc 25846 df-dv 25847

This theorem is referenced by: fourierdlem68 46623 fourierdlem80 46635

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