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Theorem 4rexfrabdioph 41838
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, four variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4 𝐽 = (𝐾 + 1)
Assertion
Ref Expression
4rexfrabdioph ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝐽   𝑑,𝐾,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑑,𝐿,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑀,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑁,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem 4rexfrabdioph
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sbcrex 41824 . . . . . . 7 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘)
2 2sbcrex 41824 . . . . . . . 8 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
32rexbii 3092 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
41, 3bitri 274 . . . . . 6 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
54sbcbii 3836 . . . . 5 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
6 sbc2rex 41827 . . . . 5 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
75, 6bitri 274 . . . 4 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
87rabbii 3436 . . 3 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘}
9 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7 𝐿 = (𝑀 + 1)
10 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑁 + 1)
11 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
1210, 11eqeltrid 2835 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1312peano2nnd 12233 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
149, 13eqeltrid 2835 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿 ∈ β„•)
1514nnnn0d 12536 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
1615adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
17 sbcrot3 41831 . . . . . . . . . 10 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
18 sbcrot3 41831 . . . . . . . . . . . . 13 ([(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
1918sbcbii 3836 . . . . . . . . . . . 12 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
20 sbcrot3 41831 . . . . . . . . . . . 12 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2119, 20bitri 274 . . . . . . . . . . 11 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2221sbcbii 3836 . . . . . . . . . 10 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2317, 22bitr3i 276 . . . . . . . . 9 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2423sbcbii 3836 . . . . . . . 8 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
25 reseq1 5974 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†’ (π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)))
2625sbccomieg 41833 . . . . . . . . 9 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
27 fzssp1 13548 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) βŠ† (1...(𝑁 + 1))
2810oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
2927, 28sseqtrri 4018 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) βŠ† (1...𝑀)
30 fzssp1 13548 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) βŠ† (1...(𝑀 + 1))
319oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝐿) = (1...(𝑀 + 1))
3230, 31sseqtrri 4018 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) βŠ† (1...𝐿)
3329, 32sstri 3990 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) βŠ† (1...𝐿)
34 resabs1 6010 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) βŠ† (1...𝐿) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)))
35 dfsbcq 3778 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
37 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘€) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€))
3837sbccomieg 41833 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
39 elfz1end 13535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4012, 39sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4132, 40sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (1...𝐿))
42 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (1...𝐿) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) = (π‘‘β€˜π‘€))
43 dfsbcq 3778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) = (π‘‘β€˜π‘€) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
45 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑑 ∈ V
4645resex 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) ∈ V
47 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†’ (π‘Žβ€˜πΏ) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ))
4847sbcco3gw 4421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) ∈ V β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
50 elfz1end 13535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ β„• ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
5114, 50sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
52 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (1...𝐿) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) = (π‘‘β€˜πΏ))
53 dfsbcq 3778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) = (π‘‘β€˜πΏ) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5549, 54bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5655sbcbidv 3835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5744, 56bitrd 278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5838, 57bitrid 282 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5958sbcbidv 3835 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6036, 59bitrid 282 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6126, 60bitrid 282 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6224, 61bitrid 282 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6362rabbidv 3438 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} = {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘})
6463eleq1d 2816 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ({𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½) ↔ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)))
6564biimpar 476 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½))
66 rexfrabdioph.3 . . . . 5 𝐾 = (𝐿 + 1)
67 rexfrabdioph.4 . . . . 5 𝐽 = (𝐾 + 1)
6866, 672rexfrabdioph 41836 . . . 4 ((𝐿 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ))
6916, 65, 68syl2anc 582 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ))
708, 69eqeltrid 2835 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ))
7110, 92rexfrabdioph 41836 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
7270, 71syldan 589 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472  [wsbc 3776   βŠ† wss 3947   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  1c1 11113   + caddc 11115  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  ...cfz 13488  Diophcdioph 41795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295  df-mzpcl 41763  df-mzp 41764  df-dioph 41796
This theorem is referenced by:  6rexfrabdioph  41839
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