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Theorem 4rexfrabdioph 38148
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, four variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4 𝐽 = (𝐾 + 1)
Assertion
Ref Expression
4rexfrabdioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑢 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝐽   𝑡,𝐾,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝐿,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝑀,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem 4rexfrabdioph
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sbcrex 38134 . . . . . . 7 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑)
2 2sbcrex 38134 . . . . . . . 8 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
32rexbii 3222 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
41, 3bitri 267 . . . . . 6 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
54sbcbii 3689 . . . . 5 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
6 sbc2rex 38137 . . . . 5 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
75, 6bitri 267 . . . 4 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
87rabbii 3369 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑}
9 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7 𝐿 = (𝑀 + 1)
10 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑁 + 1)
11 nn0p1nn 11621 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1210, 11syl5eqel 2882 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ)
1312peano2nnd 11331 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
149, 13syl5eqel 2882 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ)
1514nnnn0d 11640 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)
1615adantr 473 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17 sbcrot3 38141 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
18 sbcrot3 38141 . . . . . . . . . . . . 13 ([(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
1918sbcbii 3689 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
20 sbcrot3 38141 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2119, 20bitri 267 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2221sbcbii 3689 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2317, 22bitr3i 269 . . . . . . . . 9 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2423sbcbii 3689 . . . . . . . 8 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
25 reseq1 5594 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)))
2625sbccomieg 38143 . . . . . . . . 9 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
27 fzssp1 12638 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (1...(𝑁 + 1))
2810oveq2i 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
2927, 28sseqtr4i 3834 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀)
30 fzssp1 12638 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) ⊆ (1...(𝑀 + 1))
319oveq2i 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝐿) = (1...(𝑀 + 1))
3230, 31sseqtr4i 3834 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) ⊆ (1...𝐿)
3329, 32sstri 3807 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ (1...𝐿)
34 resabs1 5637 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ⊆ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)))
35 dfsbcq 3635 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
37 fveq1 6410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀))
3837sbccomieg 38143 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
39 elfz1end 12625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4012, 39sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (1...𝑀))
4132, 40sseldi 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (1...𝐿))
42 fvres 6430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡𝑀))
43 dfsbcq 3635 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
45 vex 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡 ∈ V
4645resex 5655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V
47 fveq1 6410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎𝐿) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿))
4847sbcco3g 4194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
50 elfz1end 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
5114, 50sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (1...𝐿))
52 fvres 6430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡𝐿))
53 dfsbcq 3635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡𝐿) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5549, 54syl5bb 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5655sbcbidv 3688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5744, 56bitrd 271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5838, 57syl5bb 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5958sbcbidv 3688 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6036, 59syl5bb 275 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6126, 60syl5bb 275 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6224, 61syl5bb 275 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6362rabbidv 3373 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑})
6463eleq1d 2863 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ({𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)))
6564biimpar 470 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽))
66 rexfrabdioph.3 . . . . 5 𝐾 = (𝐿 + 1)
67 rexfrabdioph.4 . . . . 5 𝐽 = (𝐾 + 1)
6866, 672rexfrabdioph 38146 . . . 4 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
6916, 65, 68syl2anc 580 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
708, 69syl5eqel 2882 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
7110, 92rexfrabdioph 38146 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿)) → {𝑢 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
7270, 71syldan 586 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑢 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3090  {crab 3093  Vcvv 3385  [wsbc 3633  wss 3769  cres 5314  cfv 6101  (class class class)co 6878  𝑚 cmap 8095  1c1 10225   + caddc 10227  cn 11312  0cn0 11580  ...cfz 12580  Diophcdioph 38104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-hash 13371  df-mzpcl 38072  df-mzp 38073  df-dioph 38105
This theorem is referenced by:  6rexfrabdioph  38149
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