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Theorem 4rexfrabdioph 42140
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, four variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4 𝐽 = (𝐾 + 1)
Assertion
Ref Expression
4rexfrabdioph ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝐽   𝑑,𝐾,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑑,𝐿,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑀,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑁,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem 4rexfrabdioph
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sbcrex 42126 . . . . . . 7 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘)
2 2sbcrex 42126 . . . . . . . 8 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
32rexbii 3089 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
41, 3bitri 275 . . . . . 6 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
54sbcbii 3834 . . . . 5 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
6 sbc2rex 42129 . . . . 5 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
75, 6bitri 275 . . . 4 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
87rabbii 3433 . . 3 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘}
9 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7 𝐿 = (𝑀 + 1)
10 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑁 + 1)
11 nn0p1nn 12533 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
1210, 11eqeltrid 2832 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1312peano2nnd 12251 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
149, 13eqeltrid 2832 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿 ∈ β„•)
1514nnnn0d 12554 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
1615adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
17 sbcrot3 42133 . . . . . . . . . 10 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
18 sbcrot3 42133 . . . . . . . . . . . . 13 ([(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
1918sbcbii 3834 . . . . . . . . . . . 12 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
20 sbcrot3 42133 . . . . . . . . . . . 12 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2119, 20bitri 275 . . . . . . . . . . 11 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2221sbcbii 3834 . . . . . . . . . 10 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2317, 22bitr3i 277 . . . . . . . . 9 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2423sbcbii 3834 . . . . . . . 8 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
25 reseq1 5973 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†’ (π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)))
2625sbccomieg 42135 . . . . . . . . 9 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
27 fzssp1 13568 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) βŠ† (1...(𝑁 + 1))
2810oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
2927, 28sseqtrri 4015 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) βŠ† (1...𝑀)
30 fzssp1 13568 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) βŠ† (1...(𝑀 + 1))
319oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝐿) = (1...(𝑀 + 1))
3230, 31sseqtrri 4015 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) βŠ† (1...𝐿)
3329, 32sstri 3987 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) βŠ† (1...𝐿)
34 resabs1 6009 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) βŠ† (1...𝐿) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)))
35 dfsbcq 3776 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
37 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘€) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€))
3837sbccomieg 42135 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
39 elfz1end 13555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4012, 39sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4132, 40sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (1...𝐿))
42 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (1...𝐿) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) = (π‘‘β€˜π‘€))
43 dfsbcq 3776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) = (π‘‘β€˜π‘€) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
45 vex 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑑 ∈ V
4645resex 6027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) ∈ V
47 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†’ (π‘Žβ€˜πΏ) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ))
4847sbcco3gw 4418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) ∈ V β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
50 elfz1end 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ β„• ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
5114, 50sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
52 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (1...𝐿) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) = (π‘‘β€˜πΏ))
53 dfsbcq 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) = (π‘‘β€˜πΏ) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5549, 54bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5655sbcbidv 3833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5744, 56bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5838, 57bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5958sbcbidv 3833 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6036, 59bitrid 283 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6126, 60bitrid 283 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6224, 61bitrid 283 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6362rabbidv 3435 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} = {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘})
6463eleq1d 2813 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ({𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½) ↔ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)))
6564biimpar 477 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½))
66 rexfrabdioph.3 . . . . 5 𝐾 = (𝐿 + 1)
67 rexfrabdioph.4 . . . . 5 𝐽 = (𝐾 + 1)
6866, 672rexfrabdioph 42138 . . . 4 ((𝐿 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ))
6916, 65, 68syl2anc 583 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ))
708, 69eqeltrid 2832 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ))
7110, 92rexfrabdioph 42138 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
7270, 71syldan 590 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469  [wsbc 3774   βŠ† wss 3944   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  1c1 11131   + caddc 11133  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  ...cfz 13508  Diophcdioph 42097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-hash 14314  df-mzpcl 42065  df-mzp 42066  df-dioph 42098
This theorem is referenced by:  6rexfrabdioph  42141
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