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Theorem 4rexfrabdioph 42279
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, four variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4 𝐽 = (𝐾 + 1)
Assertion
Ref Expression
4rexfrabdioph ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝐽   𝑑,𝐾,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑑,𝐿,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑀,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑁,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem 4rexfrabdioph
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sbcrex 42265 . . . . . . 7 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘)
2 2sbcrex 42265 . . . . . . . 8 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
32rexbii 3084 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
41, 3bitri 274 . . . . . 6 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
54sbcbii 3831 . . . . 5 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
6 sbc2rex 42268 . . . . 5 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
75, 6bitri 274 . . . 4 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
87rabbii 3425 . . 3 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘}
9 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7 𝐿 = (𝑀 + 1)
10 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑁 + 1)
11 nn0p1nn 12536 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
1210, 11eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1312peano2nnd 12254 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
149, 13eqeltrid 2829 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿 ∈ β„•)
1514nnnn0d 12557 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
1615adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
17 sbcrot3 42272 . . . . . . . . . 10 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
18 sbcrot3 42272 . . . . . . . . . . . . 13 ([(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
1918sbcbii 3831 . . . . . . . . . . . 12 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
20 sbcrot3 42272 . . . . . . . . . . . 12 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2119, 20bitri 274 . . . . . . . . . . 11 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2221sbcbii 3831 . . . . . . . . . 10 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2317, 22bitr3i 276 . . . . . . . . 9 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2423sbcbii 3831 . . . . . . . 8 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
25 reseq1 5974 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†’ (π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)))
2625sbccomieg 42274 . . . . . . . . 9 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
27 fzssp1 13571 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) βŠ† (1...(𝑁 + 1))
2810oveq2i 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
2927, 28sseqtrri 4011 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) βŠ† (1...𝑀)
30 fzssp1 13571 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) βŠ† (1...(𝑀 + 1))
319oveq2i 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝐿) = (1...(𝑀 + 1))
3230, 31sseqtrri 4011 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) βŠ† (1...𝐿)
3329, 32sstri 3983 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) βŠ† (1...𝐿)
34 resabs1 6007 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) βŠ† (1...𝐿) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)))
35 dfsbcq 3772 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
37 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘€) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€))
3837sbccomieg 42274 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
39 elfz1end 13558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4012, 39sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4132, 40sselid 3971 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (1...𝐿))
42 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (1...𝐿) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) = (π‘‘β€˜π‘€))
43 dfsbcq 3772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) = (π‘‘β€˜π‘€) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
45 vex 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑑 ∈ V
4645resex 6029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) ∈ V
47 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†’ (π‘Žβ€˜πΏ) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ))
4847sbcco3gw 4419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) ∈ V β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
50 elfz1end 13558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ β„• ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
5114, 50sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
52 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (1...𝐿) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) = (π‘‘β€˜πΏ))
53 dfsbcq 3772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) = (π‘‘β€˜πΏ) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5549, 54bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5655sbcbidv 3830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5744, 56bitrd 278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5838, 57bitrid 282 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5958sbcbidv 3830 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6036, 59bitrid 282 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6126, 60bitrid 282 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6224, 61bitrid 282 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6362rabbidv 3427 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} = {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘})
6463eleq1d 2810 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ({𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½) ↔ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)))
6564biimpar 476 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½))
66 rexfrabdioph.3 . . . . 5 𝐾 = (𝐿 + 1)
67 rexfrabdioph.4 . . . . 5 𝐽 = (𝐾 + 1)
6866, 672rexfrabdioph 42277 . . . 4 ((𝐿 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ))
6916, 65, 68syl2anc 582 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ))
708, 69eqeltrid 2829 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ))
7110, 92rexfrabdioph 42277 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
7270, 71syldan 589 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463  [wsbc 3770   βŠ† wss 3941   β†Ύ cres 5675  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑m cmap 8838  1c1 11134   + caddc 11136  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  ...cfz 13511  Diophcdioph 42236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-hash 14317  df-mzpcl 42204  df-mzp 42205  df-dioph 42237
This theorem is referenced by:  6rexfrabdioph  42280
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