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Theorem 4rexfrabdioph 40102
 Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, four variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4 𝐽 = (𝐾 + 1)
Assertion
Ref Expression
4rexfrabdioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝐽   𝑡,𝐾,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝐿,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝑀,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem 4rexfrabdioph
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sbcrex 40088 . . . . . . 7 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑)
2 2sbcrex 40088 . . . . . . . 8 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
32rexbii 3176 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
41, 3bitri 278 . . . . . 6 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
54sbcbii 3754 . . . . 5 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
6 sbc2rex 40091 . . . . 5 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
75, 6bitri 278 . . . 4 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
87rabbii 3386 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑}
9 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7 𝐿 = (𝑀 + 1)
10 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑁 + 1)
11 nn0p1nn 11963 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1210, 11eqeltrid 2857 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ)
1312peano2nnd 11681 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
149, 13eqeltrid 2857 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ)
1514nnnn0d 11984 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)
1615adantr 485 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17 sbcrot3 40095 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
18 sbcrot3 40095 . . . . . . . . . . . . 13 ([(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
1918sbcbii 3754 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
20 sbcrot3 40095 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2119, 20bitri 278 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2221sbcbii 3754 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2317, 22bitr3i 280 . . . . . . . . 9 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2423sbcbii 3754 . . . . . . . 8 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
25 reseq1 5815 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)))
2625sbccomieg 40097 . . . . . . . . 9 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
27 fzssp1 12989 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (1...(𝑁 + 1))
2810oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
2927, 28sseqtrri 3930 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀)
30 fzssp1 12989 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) ⊆ (1...(𝑀 + 1))
319oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝐿) = (1...(𝑀 + 1))
3230, 31sseqtrri 3930 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) ⊆ (1...𝐿)
3329, 32sstri 3902 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ (1...𝐿)
34 resabs1 5851 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ⊆ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)))
35 dfsbcq 3699 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
37 fveq1 6655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀))
3837sbccomieg 40097 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
39 elfz1end 12976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4012, 39sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (1...𝑀))
4132, 40sseldi 3891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (1...𝐿))
42 fvres 6675 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡𝑀))
43 dfsbcq 3699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
45 vex 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡 ∈ V
4645resex 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V
47 fveq1 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎𝐿) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿))
4847sbcco3gw 4317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
50 elfz1end 12976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
5114, 50sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (1...𝐿))
52 fvres 6675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡𝐿))
53 dfsbcq 3699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡𝐿) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5549, 54syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5655sbcbidv 3752 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5744, 56bitrd 282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5838, 57syl5bb 286 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5958sbcbidv 3752 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6036, 59syl5bb 286 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6126, 60syl5bb 286 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6224, 61syl5bb 286 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6362rabbidv 3393 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑})
6463eleq1d 2837 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ({𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)))
6564biimpar 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽))
66 rexfrabdioph.3 . . . . 5 𝐾 = (𝐿 + 1)
67 rexfrabdioph.4 . . . . 5 𝐽 = (𝐾 + 1)
6866, 672rexfrabdioph 40100 . . . 4 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
6916, 65, 68syl2anc 588 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
708, 69eqeltrid 2857 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
7110, 92rexfrabdioph 40100 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿)) → {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
7270, 71syldan 595 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3072  {crab 3075  Vcvv 3410  [wsbc 3697   ⊆ wss 3859   ↾ cres 5524  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148   ↑m cmap 8414  1c1 10566   + caddc 10568  ℕcn 11664  ℕ0cn0 11924  ...cfz 12929  Diophcdioph 40059 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-inf2 9127  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7403  df-om 7578  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-1o 8110  df-oadd 8114  df-er 8297  df-map 8416  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-dju 9353  df-card 9391  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-nn 11665  df-n0 11925  df-z 12011  df-uz 12273  df-fz 12930  df-hash 13731  df-mzpcl 40027  df-mzp 40028  df-dioph 40060 This theorem is referenced by:  6rexfrabdioph  40103
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