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Theorem 4rexfrabdioph 39262
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, four variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4 𝐽 = (𝐾 + 1)
Assertion
Ref Expression
4rexfrabdioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝐽   𝑡,𝐾,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝐿,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝑀,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem 4rexfrabdioph
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sbcrex 39248 . . . . . . 7 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑)
2 2sbcrex 39248 . . . . . . . 8 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
32rexbii 3251 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
41, 3bitri 276 . . . . . 6 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
54sbcbii 3832 . . . . 5 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
6 sbc2rex 39251 . . . . 5 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
75, 6bitri 276 . . . 4 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
87rabbii 3478 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑}
9 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7 𝐿 = (𝑀 + 1)
10 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑁 + 1)
11 nn0p1nn 11928 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1210, 11eqeltrid 2921 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ)
1312peano2nnd 11647 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
149, 13eqeltrid 2921 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ)
1514nnnn0d 11947 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)
1615adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17 sbcrot3 39255 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
18 sbcrot3 39255 . . . . . . . . . . . . 13 ([(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
1918sbcbii 3832 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
20 sbcrot3 39255 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2119, 20bitri 276 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2221sbcbii 3832 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2317, 22bitr3i 278 . . . . . . . . 9 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2423sbcbii 3832 . . . . . . . 8 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
25 reseq1 5845 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)))
2625sbccomieg 39257 . . . . . . . . 9 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
27 fzssp1 12943 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (1...(𝑁 + 1))
2810oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
2927, 28sseqtrri 4007 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀)
30 fzssp1 12943 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) ⊆ (1...(𝑀 + 1))
319oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝐿) = (1...(𝑀 + 1))
3230, 31sseqtrri 4007 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) ⊆ (1...𝐿)
3329, 32sstri 3979 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ (1...𝐿)
34 resabs1 5881 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ⊆ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)))
35 dfsbcq 3777 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
37 fveq1 6665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀))
3837sbccomieg 39257 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
39 elfz1end 12930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4012, 39sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (1...𝑀))
4132, 40sseldi 3968 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (1...𝐿))
42 fvres 6685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡𝑀))
43 dfsbcq 3777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
45 vex 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡 ∈ V
4645resex 5897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V
47 fveq1 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎𝐿) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿))
4847sbcco3g 4382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
50 elfz1end 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
5114, 50sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (1...𝐿))
52 fvres 6685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡𝐿))
53 dfsbcq 3777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡𝐿) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5549, 54syl5bb 284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5655sbcbidv 3830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5744, 56bitrd 280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5838, 57syl5bb 284 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5958sbcbidv 3830 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6036, 59syl5bb 284 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6126, 60syl5bb 284 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6224, 61syl5bb 284 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6362rabbidv 3485 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑})
6463eleq1d 2901 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ({𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)))
6564biimpar 478 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽))
66 rexfrabdioph.3 . . . . 5 𝐾 = (𝐿 + 1)
67 rexfrabdioph.4 . . . . 5 𝐽 = (𝐾 + 1)
6866, 672rexfrabdioph 39260 . . . 4 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
6916, 65, 68syl2anc 584 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
708, 69eqeltrid 2921 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
7110, 92rexfrabdioph 39260 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿)) → {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
7270, 71syldan 591 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3143  {crab 3146  Vcvv 3499  [wsbc 3775  wss 3939  cres 5555  cfv 6351  (class class class)co 7151  m cmap 8399  1c1 10530   + caddc 10532  cn 11630  0cn0 11889  ...cfz 12885  Diophcdioph 39219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-hash 13684  df-mzpcl 39187  df-mzp 39188  df-dioph 39220
This theorem is referenced by:  6rexfrabdioph  39263
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