Theorem 4rexfrabdioph 42785

Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, four variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexfrabdioph.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2	⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3	⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4	⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1)

Assertion

Ref	Expression
4rexfrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝐽   𝑡,𝐾,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝐿,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝑀,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem 4rexfrabdioph

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sbcrex 42771	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜑)
2		2sbcrex 42771	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
3	2	rexbii 3091	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
4	1, 3	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
5	4	sbcbii 3851	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
6		sbc2rex 42774	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
7	5, 6	bitri 275	. . . 4 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
8	7	rabbii 3438	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑}
9		rexfrabdioph.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1)
10		rexfrabdioph.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
11		nn0p1nn 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12	10, 11	eqeltrid 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ)
13	12	peano2nnd 12280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
14	9, 13	eqeltrid 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17		sbcrot3 42778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)
18		sbcrot3 42778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑)
19	18	sbcbii 3851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑)
20		sbcrot3 42778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑)
21	19, 20	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑)
22	21	sbcbii 3851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑)
23	17, 22	bitr3i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑)
24	23	sbcbii 3851	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑)
25		reseq1 5993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)))
26	25	sbccomieg 42780	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑)
27		fzssp1 13603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...(𝑁 + 1))
28	10	oveq2i 7441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
29	27, 28	sseqtrri 4032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀)
30		fzssp1 13603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑀) ⊆ (1...(𝑀 + 1))
31	9	oveq2i 7441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝐿) = (1...(𝑀 + 1))
32	30, 31	sseqtrri 4032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑀) ⊆ (1...𝐿)
33	29, 32	sstri 4004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (1...𝐿)
34		resabs1 6026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)))
35		dfsbcq 3792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
36	33, 34, 35	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑)
37		fveq1 6905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎‘𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀))
38	37	sbccomieg 42780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑)
39		elfz1end 13590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
40	12, 39	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
41	32, 40	sselid 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ (1...𝐿))
42		fvres 6925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀))
43		dfsbcq 3792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
45		vex 3481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑡 ∈ V
46	45	resex 6048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V
47		fveq1 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎‘𝐿) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿))
48	47	sbcco3gw 4430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑)
50		elfz1end 13590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
51	14, 50	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (1...𝐿))
52		fvres 6925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡‘𝐿))
53		dfsbcq 3792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡‘𝐿) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
54	51, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
55	49, 54	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
56	55	sbcbidv 3850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
57	44, 56	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
58	38, 57	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
59	58	sbcbidv 3850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
60	36, 59	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
61	26, 60	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
62	24, 61	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑))
63	62	rabbidv 3440	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑})
64	63	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ({𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)))
65	64	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽))
66		rexfrabdioph.3	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1)
67		rexfrabdioph.4	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1)
68	66, 67	2rexfrabdioph 42783	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
69	16, 65, 68	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
70	8, 69	eqeltrid 2842	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
71	10, 9	2rexfrabdioph 42783	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
72	70, 71	syldan 591	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  [wsbc 3790   ⊆ wss 3962   ↾ cres 5690  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8864  1c1 11153   + caddc 11155  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  ...cfz 13543  Diophcdioph 42742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366  df-mzpcl 42710  df-mzp 42711  df-dioph 42743

This theorem is referenced by:  6rexfrabdioph  42786