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Theorem 4rexfrabdioph 41522
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, four variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4 𝐽 = (𝐾 + 1)
Assertion
Ref Expression
4rexfrabdioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝐽   𝑡,𝐾,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝐿,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝑀,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem 4rexfrabdioph
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sbcrex 41508 . . . . . . 7 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑)
2 2sbcrex 41508 . . . . . . . 8 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
32rexbii 3095 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
41, 3bitri 275 . . . . . 6 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
54sbcbii 3837 . . . . 5 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
6 sbc2rex 41511 . . . . 5 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
75, 6bitri 275 . . . 4 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
87rabbii 3439 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑}
9 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7 𝐿 = (𝑀 + 1)
10 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑁 + 1)
11 nn0p1nn 12508 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1210, 11eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ)
1312peano2nnd 12226 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
149, 13eqeltrid 2838 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ)
1514nnnn0d 12529 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)
1615adantr 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17 sbcrot3 41515 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
18 sbcrot3 41515 . . . . . . . . . . . . 13 ([(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
1918sbcbii 3837 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
20 sbcrot3 41515 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2119, 20bitri 275 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2221sbcbii 3837 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2317, 22bitr3i 277 . . . . . . . . 9 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2423sbcbii 3837 . . . . . . . 8 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
25 reseq1 5974 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)))
2625sbccomieg 41517 . . . . . . . . 9 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
27 fzssp1 13541 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (1...(𝑁 + 1))
2810oveq2i 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
2927, 28sseqtrri 4019 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀)
30 fzssp1 13541 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) ⊆ (1...(𝑀 + 1))
319oveq2i 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝐿) = (1...(𝑀 + 1))
3230, 31sseqtrri 4019 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) ⊆ (1...𝐿)
3329, 32sstri 3991 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ (1...𝐿)
34 resabs1 6010 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ⊆ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)))
35 dfsbcq 3779 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
37 fveq1 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀))
3837sbccomieg 41517 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
39 elfz1end 13528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4012, 39sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (1...𝑀))
4132, 40sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (1...𝐿))
42 fvres 6908 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡𝑀))
43 dfsbcq 3779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
45 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡 ∈ V
4645resex 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V
47 fveq1 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎𝐿) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿))
4847sbcco3gw 4422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
50 elfz1end 13528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
5114, 50sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (1...𝐿))
52 fvres 6908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡𝐿))
53 dfsbcq 3779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡𝐿) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5549, 54bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5655sbcbidv 3836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5744, 56bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5838, 57bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5958sbcbidv 3836 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6036, 59bitrid 283 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6126, 60bitrid 283 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6224, 61bitrid 283 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6362rabbidv 3441 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑})
6463eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ({𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)))
6564biimpar 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽))
66 rexfrabdioph.3 . . . . 5 𝐾 = (𝐿 + 1)
67 rexfrabdioph.4 . . . . 5 𝐽 = (𝐾 + 1)
6866, 672rexfrabdioph 41520 . . . 4 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
6916, 65, 68syl2anc 585 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
708, 69eqeltrid 2838 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
7110, 92rexfrabdioph 41520 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿)) → {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
7270, 71syldan 592 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  [wsbc 3777  wss 3948  cres 5678  cfv 6541  (class class class)co 7406  m cmap 8817  1c1 11108   + caddc 11110  cn 12209  0cn0 12469  ...cfz 13481  Diophcdioph 41479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-oadd 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288  df-mzpcl 41447  df-mzp 41448  df-dioph 41480
This theorem is referenced by:  6rexfrabdioph  41523
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