Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4rexfrabdioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4rexfrabdioph 41150
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, four variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4 𝐽 = (𝐾 + 1)
Assertion
Ref Expression
4rexfrabdioph ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝐽   𝑑,𝐾,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑑,𝐿,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑀,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑁,𝑒,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem 4rexfrabdioph
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sbcrex 41136 . . . . . . 7 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘)
2 2sbcrex 41136 . . . . . . . 8 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
32rexbii 3098 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
41, 3bitri 275 . . . . . 6 ([(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
54sbcbii 3804 . . . . 5 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
6 sbc2rex 41139 . . . . 5 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
75, 6bitri 275 . . . 4 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
87rabbii 3416 . . 3 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘}
9 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7 𝐿 = (𝑀 + 1)
10 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑁 + 1)
11 nn0p1nn 12459 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
1210, 11eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1312peano2nnd 12177 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
149, 13eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿 ∈ β„•)
1514nnnn0d 12480 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
1615adantr 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
17 sbcrot3 41143 . . . . . . . . . 10 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘)
18 sbcrot3 41143 . . . . . . . . . . . . 13 ([(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
1918sbcbii 3804 . . . . . . . . . . . 12 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
20 sbcrot3 41143 . . . . . . . . . . . 12 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2119, 20bitri 275 . . . . . . . . . . 11 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2221sbcbii 3804 . . . . . . . . . 10 ([(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2317, 22bitr3i 277 . . . . . . . . 9 ([(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
2423sbcbii 3804 . . . . . . . 8 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
25 reseq1 5936 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†’ (π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)))
2625sbccomieg 41145 . . . . . . . . 9 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
27 fzssp1 13491 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) βŠ† (1...(𝑁 + 1))
2810oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
2927, 28sseqtrri 3986 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) βŠ† (1...𝑀)
30 fzssp1 13491 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) βŠ† (1...(𝑀 + 1))
319oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝐿) = (1...(𝑀 + 1))
3230, 31sseqtrri 3986 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) βŠ† (1...𝐿)
3329, 32sstri 3958 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) βŠ† (1...𝐿)
34 resabs1 5972 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) βŠ† (1...𝐿) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)))
35 dfsbcq 3746 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
37 fveq1 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘€) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€))
3837sbccomieg 41145 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
39 elfz1end 13478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4012, 39sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4132, 40sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ (1...𝐿))
42 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (1...𝐿) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) = (π‘‘β€˜π‘€))
43 dfsbcq 3746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) = (π‘‘β€˜π‘€) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
45 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑑 ∈ V
4645resex 5990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) ∈ V
47 fveq1 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†’ (π‘Žβ€˜πΏ) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ))
4847sbcco3gw 4387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) ∈ V β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘)
50 elfz1end 13478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ β„• ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
5114, 50sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
52 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (1...𝐿) β†’ ((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) = (π‘‘β€˜πΏ))
53 dfsbcq 3746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) = (π‘‘β€˜πΏ) β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5549, 54bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5655sbcbidv 3803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5744, 56bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿))β€˜π‘€) / 𝑣][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5838, 57bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
5958sbcbidv 3803 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6036, 59bitrid 283 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([((𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6126, 60bitrid 283 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6224, 61bitrid 283 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ([(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘ ↔ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘))
6362rabbidv 3418 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} = {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘})
6463eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ({𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½) ↔ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)))
6564biimpar 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½))
66 rexfrabdioph.3 . . . . 5 𝐾 = (𝐿 + 1)
67 rexfrabdioph.4 . . . . 5 𝐽 = (𝐾 + 1)
6866, 672rexfrabdioph 41148 . . . 4 ((𝐿 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝐿)) / π‘Ž][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦][(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ))
6916, 65, 68syl2anc 585 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ))
708, 69eqeltrid 2842 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ))
7110, 92rexfrabdioph 41148 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐿)) ∣ [(π‘Ž β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘Žβ€˜π‘€) / 𝑣][(π‘Žβ€˜πΏ) / 𝑀]βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜πΏ)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
7270, 71syldan 592 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐽)) ∣ [(𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) / 𝑒][(π‘‘β€˜π‘€) / 𝑣][(π‘‘β€˜πΏ) / 𝑀][(π‘‘β€˜πΎ) / π‘₯][(π‘‘β€˜π½) / 𝑦]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π½)) β†’ {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘£ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ β„•0 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448  [wsbc 3744   βŠ† wss 3915   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  1c1 11059   + caddc 11061  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  ...cfz 13431  Diophcdioph 41107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238  df-mzpcl 41075  df-mzp 41076  df-dioph 41108
This theorem is referenced by:  6rexfrabdioph  41151
  Copyright terms: Public domain W3C validator