MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptresicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptresicc 25767
Description: Derivative of a function restricted to a closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptresicc.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐴)
dvmptresicc.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvmptresicc.fdv (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐡))
dvmptresicc.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
dvmptresicc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
dvmptresicc.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dvmptresicc (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐢[,]𝐷) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ↦ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem dvmptresicc
StepHypRef Expression
1 dvmptresicc.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐴)
21reseq1i 5967 . . . 4 (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐴) β†Ύ (𝐢[,]𝐷))
3 dvmptresicc.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
4 dvmptresicc.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
53, 4iccssred 13408 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢[,]𝐷) βŠ† ℝ)
6 ax-resscn 11163 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
76a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
85, 7sstrd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢[,]𝐷) βŠ† β„‚)
98resmptd 6030 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐴) β†Ύ (𝐢[,]𝐷)) = (π‘₯ ∈ (𝐢[,]𝐷) ↦ 𝐴))
102, 9eqtrid 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)) = (π‘₯ ∈ (𝐢[,]𝐷) ↦ 𝐴))
1110oveq2d 7417 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐢[,]𝐷) ↦ 𝐴)))
125resabs1d 6002 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐢[,]𝐷)) = (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))
1312eqcomd 2730 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷)) = ((𝐹 β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐢[,]𝐷)))
1413oveq2d 7417 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))) = (ℝ D ((𝐹 β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐢[,]𝐷))))
15 dvmptresicc.a . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1615, 1fmptd 7105 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
1716, 7fssresd 6748 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„‚)
18 ssidd 3997 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
19 eqid 2724 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2019tgioo2 24641 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2119, 20dvres 25762 . . . 4 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝐢[,]𝐷) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((𝐹 β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐢[,]𝐷))) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ℝ)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢[,]𝐷))))
227, 17, 18, 5, 21syl22anc 836 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝐹 β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐢[,]𝐷))) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ℝ)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢[,]𝐷))))
23 reelprrecn 11198 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2423a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
25 ssidd 3997 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
26 dvmptresicc.fdv . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐡))
2726dmeqd 5895 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) = dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐡))
28 dvmptresicc.b . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2928ralrimiva 3138 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ 𝐡 ∈ β„‚)
30 dmmptg 6231 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ 𝐡 ∈ β„‚ β†’ dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐡) = β„‚)
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐡) = β„‚)
3227, 31eqtr2d 2765 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ = dom (β„‚ D 𝐹))
337, 32sseqtrd 4014 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† dom (β„‚ D 𝐹))
34 dvres3 25764 . . . . . 6 (((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† dom (β„‚ D 𝐹))) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ ℝ))
3524, 16, 25, 33, 34syl22anc 836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ ℝ))
36 iccntr 24659 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢[,]𝐷)) = (𝐢(,)𝐷))
373, 4, 36syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢[,]𝐷)) = (𝐢(,)𝐷))
3835, 37reseq12d 5972 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ℝ)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢[,]𝐷))) = (((β„‚ D 𝐹) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)))
39 ioossre 13382 . . . . 5 (𝐢(,)𝐷) βŠ† ℝ
40 resabs1 6001 . . . . 5 ((𝐢(,)𝐷) βŠ† ℝ β†’ (((β„‚ D 𝐹) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)))
4139, 40mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((β„‚ D 𝐹) β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)))
4226reseq1d 5970 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)))
43 ioosscn 13383 . . . . . 6 (𝐢(,)𝐷) βŠ† β„‚
44 resmpt 6027 . . . . . 6 ((𝐢(,)𝐷) βŠ† β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) = (π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ↦ 𝐡))
4543, 44mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) = (π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ↦ 𝐡))
4642, 45eqtrd 2764 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ (𝐢(,)𝐷)) = (π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ↦ 𝐡))
4738, 41, 463eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ℝ)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐢[,]𝐷))) = (π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ↦ 𝐡))
4814, 22, 473eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐢[,]𝐷))) = (π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ↦ 𝐡))
4911, 48eqtr3d 2766 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐢[,]𝐷) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝐢(,)𝐷) ↦ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   βŠ† wss 3940  {cpr 4622   ↦ cmpt 5221  dom cdm 5666  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104  β„cr 11105  (,)cioo 13321  [,]cicc 13324  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  β„‚fldccnfld 21228  intcnt 22843   D cdv 25714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-limc 25717  df-dv 25718
This theorem is referenced by:  resdvopclptsd  41386  itgsincmulx  45175
  Copyright terms: Public domain W3C validator