MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptresicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptresicc 25951
Description: Derivative of a function restricted to a closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptresicc.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
dvmptresicc.a ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptresicc.fdv (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
dvmptresicc.b ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
dvmptresicc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
dvmptresicc.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dvmptresicc (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvmptresicc
StepHypRef Expression
1 dvmptresicc.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
21reseq1i 5993 . . . 4 (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (𝐶[,]𝐷))
3 dvmptresicc.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 dvmptresicc.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
53, 4iccssred 13474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
6 ax-resscn 11212 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
85, 7sstrd 3994 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℂ)
98resmptd 6058 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (𝐶[,]𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴))
102, 9eqtrid 2789 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴))
1110oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴)))
125resabs1d 6026 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷)) = (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))
1312eqcomd 2743 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷)))
1413oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = (ℝ D ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷))))
15 dvmptresicc.a . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1615, 1fmptd 7134 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
1716, 7fssresd 6775 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ)
18 ssidd 4007 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
19 eqid 2737 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
20 tgioo4 24826 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2119, 20dvres 25946 . . . 4 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))))
227, 17, 18, 5, 21syl22anc 839 . . 3 (𝜑 → (ℝ D ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))))
23 reelprrecn 11247 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
25 ssidd 4007 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
26 dvmptresicc.fdv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
2726dmeqd 5916 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
28 dvmptresicc.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2928ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ 𝐵 ∈ ℂ)
30 dmmptg 6262 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℂ 𝐵 ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) = ℂ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) = ℂ)
3227, 31eqtr2d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ = dom (ℂ D 𝐹))
337, 32sseqtrd 4020 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
34 dvres3 25948 . . . . . 6 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
3524, 16, 25, 33, 34syl22anc 839 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
36 iccntr 24843 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
373, 4, 36syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
3835, 37reseq12d 5998 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))) = (((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
39 ioossre 13448 . . . . 5 (𝐶(,)𝐷) ⊆ ℝ
40 resabs1 6024 . . . . 5 ((𝐶(,)𝐷) ⊆ ℝ → (((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4139, 40mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4226reseq1d 5996 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
43 ioosscn 13449 . . . . . 6 (𝐶(,)𝐷) ⊆ ℂ
44 resmpt 6055 . . . . . 6 ((𝐶(,)𝐷) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
4543, 44mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
4642, 45eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
4738, 41, 463eqtrd 2781 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
4814, 22, 473eqtrd 2781 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
4911, 48eqtr3d 2779 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ↦ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  {cpr 4628  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  intcnt 23025   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  resdvopclptsd  42029  itgsincmulx  45989
  Copyright terms: Public domain W3C validator