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Theorem imacrhmcl 41807
Description: The image of a commutative ring homomorphism is a commutative ring. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
imacrhmcl.c 𝐢 = (𝑁 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝑆))
imacrhmcl.h (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
imacrhmcl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CRing)
imacrhmcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
imacrhmcl (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ CRing)

Proof of Theorem imacrhmcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imacrhmcl.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
2 imacrhmcl.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘€))
3 rhmima 20547 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑆) ∈ (SubRingβ€˜π‘))
41, 2, 3syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝑆) ∈ (SubRingβ€˜π‘))
5 imacrhmcl.c . . . 4 𝐢 = (𝑁 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝑆))
65subrgring 20517 . . 3 ((𝐹 β€œ 𝑆) ∈ (SubRingβ€˜π‘) β†’ 𝐢 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Ring)
85ressbasss2 17220 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΆ) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑆)
98sseli 3968 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))
108sseli 3968 . . . . 5 (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))
119, 10anim12i 611 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆)))
12 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
13 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
1412, 13rhmf 20428 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘))
151, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘))
1615ffund 6721 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
17 fvelima 6959 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)
1816, 17sylan 578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)
1918adantrr 715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)
20 fvelima 6959 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)
2116, 20sylan 578 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)
2221adantrl 714 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)
2322adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)
24 imacrhmcl.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CRing)
2524ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ CRing)
2612subrgss 20515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘€) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
272, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
2827ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
29 simplrl 775 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
3028, 29sseldd 3973 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€))
31 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑆)
3228, 31sseldd 3973 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
33 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘€) = (.rβ€˜π‘€)
3412, 33crngcom 20195 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ CRing ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏) = (𝑏(.rβ€˜π‘€)π‘Ž))
3525, 30, 32, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏) = (𝑏(.rβ€˜π‘€)π‘Ž))
3635fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏)) = (πΉβ€˜(𝑏(.rβ€˜π‘€)π‘Ž)))
371ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
38 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
3912, 33, 38rhmmul 20429 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘)))
4037, 30, 32, 39syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘)))
4112, 33, 38rhmmul 20429 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏(.rβ€˜π‘€)π‘Ž)) = ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘Ž)))
4237, 32, 30, 41syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜(𝑏(.rβ€˜π‘€)π‘Ž)) = ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘Ž)))
4336, 40, 423eqtr3d 2773 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘)) = ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘Ž)))
44 imaexg 7919 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) β†’ (𝐹 β€œ 𝑆) ∈ V)
455, 38ressmulr 17287 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β€œ 𝑆) ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜πΆ))
461, 44, 453syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜πΆ))
4746ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜πΆ))
48 simplrr 776 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)
49 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)
5047, 48, 49oveq123d 7437 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)(.rβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘)) = (π‘₯(.rβ€˜πΆ)𝑦))
5147, 49, 48oveq123d 7437 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘Ž)) = (𝑦(.rβ€˜πΆ)π‘₯))
5243, 50, 513eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑦)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜πΆ)π‘₯))
5323, 52rexlimddv 3151 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) = π‘₯)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜πΆ)π‘₯))
5419, 53rexlimddv 3151 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ 𝑆))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜πΆ)π‘₯))
5511, 54sylan2 591 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜πΆ)π‘₯))
5655ralrimivva 3191 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)(π‘₯(.rβ€˜πΆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜πΆ)π‘₯))
57 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
58 eqid 2725 . . 3 (.rβ€˜πΆ) = (.rβ€˜πΆ)
5957, 58iscrng2 20196 . 2 (𝐢 ∈ CRing ↔ (𝐢 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)(π‘₯(.rβ€˜πΆ)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜πΆ)π‘₯)))
607, 56, 59sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   β€œ cima 5675  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  .rcmulr 17233  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178   RingHom crh 20412  SubRingcsubrg 20510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512
This theorem is referenced by:  riccrng1  41814
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