Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imacrhmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imacrhmcl 41394
Description: The image of a commutative ring homomorphism is a commutative ring. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
imacrhmcl.c 𝐶 = (𝑁s (𝐹𝑆))
imacrhmcl.h (𝜑𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
imacrhmcl.m (𝜑𝑀 ∈ CRing)
imacrhmcl.s (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
imacrhmcl (𝜑𝐶 ∈ CRing)

Proof of Theorem imacrhmcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imacrhmcl.h . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
2 imacrhmcl.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘𝑀))
3 rhmima 20495 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹𝑆) ∈ (SubRing‘𝑁))
41, 2, 3syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ (SubRing‘𝑁))
5 imacrhmcl.c . . . 4 𝐶 = (𝑁s (𝐹𝑆))
65subrgring 20465 . . 3 ((𝐹𝑆) ∈ (SubRing‘𝑁) → 𝐶 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . 2 (𝜑𝐶 ∈ Ring)
85ressbasss2 17190 . . . . . 6 (Base‘𝐶) ⊆ (𝐹𝑆)
98sseli 3978 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑆))
108sseli 3978 . . . . 5 (𝑦 ∈ (Base‘𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))
119, 10anim12i 612 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆)))
12 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
13 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
1412, 13rhmf 20377 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
151, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
1615ffund 6721 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
17 fvelima 6957 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ (𝐹𝑆)) → ∃𝑎𝑆 (𝐹𝑎) = 𝑥)
1816, 17sylan 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝑆)) → ∃𝑎𝑆 (𝐹𝑎) = 𝑥)
1918adantrr 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) → ∃𝑎𝑆 (𝐹𝑎) = 𝑥)
20 fvelima 6957 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹𝑆)) → ∃𝑏𝑆 (𝐹𝑏) = 𝑦)
2116, 20sylan 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹𝑆)) → ∃𝑏𝑆 (𝐹𝑏) = 𝑦)
2221adantrl 713 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) → ∃𝑏𝑆 (𝐹𝑏) = 𝑦)
2322adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) → ∃𝑏𝑆 (𝐹𝑏) = 𝑦)
24 imacrhmcl.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ CRing)
2524ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → 𝑀 ∈ CRing)
2612subrgss 20463 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
272, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
2827ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
29 simplrl 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → 𝑎𝑆)
3028, 29sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑀))
31 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → 𝑏𝑆)
3228, 31sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))
33 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑀) = (.r𝑀)
3412, 33crngcom 20146 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(.r𝑀)𝑏) = (𝑏(.r𝑀)𝑎))
3525, 30, 32, 34syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → (𝑎(.r𝑀)𝑏) = (𝑏(.r𝑀)𝑎))
3635fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → (𝐹‘(𝑎(.r𝑀)𝑏)) = (𝐹‘(𝑏(.r𝑀)𝑎)))
371ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
38 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (.r𝑁) = (.r𝑁)
3912, 33, 38rhmmul 20378 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐹‘(𝑎(.r𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(.r𝑁)(𝐹𝑏)))
4037, 30, 32, 39syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → (𝐹‘(𝑎(.r𝑀)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(.r𝑁)(𝐹𝑏)))
4112, 33, 38rhmmul 20378 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐹‘(𝑏(.r𝑀)𝑎)) = ((𝐹𝑏)(.r𝑁)(𝐹𝑎)))
4237, 32, 30, 41syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → (𝐹‘(𝑏(.r𝑀)𝑎)) = ((𝐹𝑏)(.r𝑁)(𝐹𝑎)))
4336, 40, 423eqtr3d 2779 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → ((𝐹𝑎)(.r𝑁)(𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑏)(.r𝑁)(𝐹𝑎)))
44 imaexg 7910 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (𝐹𝑆) ∈ V)
455, 38ressmulr 17257 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑆) ∈ V → (.r𝑁) = (.r𝐶))
461, 44, 453syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (.r𝑁) = (.r𝐶))
4746ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → (.r𝑁) = (.r𝐶))
48 simplrr 775 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → (𝐹𝑎) = 𝑥)
49 simprr 770 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → (𝐹𝑏) = 𝑦)
5047, 48, 49oveq123d 7433 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → ((𝐹𝑎)(.r𝑁)(𝐹𝑏)) = (𝑥(.r𝐶)𝑦))
5147, 49, 48oveq123d 7433 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → ((𝐹𝑏)(.r𝑁)(𝐹𝑎)) = (𝑦(.r𝐶)𝑥))
5243, 50, 513eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) ∧ (𝑏𝑆 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑦)) → (𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥))
5323, 52rexlimddv 3160 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) ∧ (𝑎𝑆 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑥)) → (𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥))
5419, 53rexlimddv 3160 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑆))) → (𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥))
5511, 54sylan2 592 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥))
5655ralrimivva 3199 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥))
57 eqid 2731 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
58 eqid 2731 . . 3 (.r𝐶) = (.r𝐶)
5957, 58iscrng2 20147 . 2 (𝐶 ∈ CRing ↔ (𝐶 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥)))
607, 56, 59sylanbrc 582 1 (𝜑𝐶 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  wss 3948  cima 5679  Fun wfun 6537  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  s cress 17178  .rcmulr 17203  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129   RingHom crh 20361  SubRingcsubrg 20458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460
This theorem is referenced by:  riccrng1  41401
  Copyright terms: Public domain W3C validator