Theorem isrrvv 35122

Description: Elementhood to the set of real-valued random variables with respect to the probability 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isrrvv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)

Assertion

Ref	Expression
isrrvv	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem isrrvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrrvv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2	1	rrvmbfm 35121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
3		domprobsiga 35090	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		brsigarn 34864	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
6		elrnsiga 34805	. . . 4 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
7	5, 6	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
8	4, 7	ismbfm 34931	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
9		unibrsiga 34866	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
10	9	oveq1i 7431	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) = (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃)
11	10	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃))
12		reex 11295	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
13	4	uniexd 7760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ∈ V)
14		elmapg 8863	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ∪ dom 𝑃 ∈ V) → (𝑋 ∈ (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
15	12, 13, 14	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
16	11, 15	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
17	16	anbi1d 643	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
18	2, 8, 17	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ∪ cuni 4866  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8851  ℝcr 11203  sigAlgebracsiga 34787  𝔅_ℝcbrsiga 34861  MblFnMcmbfm 34929  Probcprb 35086  rRndVarcrrv 35119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-ioo 13484  df-topgen 17620  df-top 23218  df-bases 23270  df-esum 34707  df-siga 34788  df-sigagen 34819  df-brsiga 34862  df-meas 34876  df-mbfm 34930  df-prob 35087  df-rrv 35120

This theorem is used by:  rrvvf  35123  rrvfinvima  35129  0rrv  35130  coinfliprv  35162