Theorem isrrvv 32410

Description: Elementhood to the set of real-valued random variables with respect to the probability 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isrrvv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)

Assertion

Ref	Expression
isrrvv	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem isrrvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrrvv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2	1	rrvmbfm 32409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
3		domprobsiga 32378	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		brsigarn 32152	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
6		elrnsiga 32094	. . . 4 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
8	4, 7	ismbfm 32219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
9		unibrsiga 32154	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
10	9	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) = (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃)
11	10	eleq2i 2830	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃))
12		reex 10962	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
13	4	uniexd 7595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ∈ V)
14		elmapg 8628	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ∪ dom 𝑃 ∈ V) → (𝑋 ∈ (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
16	11, 15	syl5bb 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
17	16	anbi1d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
18	2, 8, 17	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432  ∪ cuni 4839  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  ℝcr 10870  sigAlgebracsiga 32076  𝔅_ℝcbrsiga 32149  MblFnMcmbfm 32217  Probcprb 32374  rRndVarcrrv 32407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ioo 13083  df-topgen 17154  df-top 22043  df-bases 22096  df-esum 31996  df-siga 32077  df-sigagen 32107  df-brsiga 32150  df-meas 32164  df-mbfm 32218  df-prob 32375  df-rrv 32408

This theorem is referenced by:  rrvvf  32411  rrvfinvima  32417  0rrv  32418  coinfliprv  32449