Theorem isrrvv 34954

Description: Elementhood to the set of real-valued random variables with respect to the probability 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isrrvv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)

Assertion

Ref	Expression
isrrvv	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem isrrvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrrvv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2	1	rrvmbfm 34953	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
3		domprobsiga 34922	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		brsigarn 34695	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
6		elrnsiga 34636	. . . 4 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
7	5, 6	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
8	4, 7	ismbfm 34762	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
9		unibrsiga 34697	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
10	9	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) = (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃)
11	10	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃))
12		reex 11215	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
13	4	uniexd 7744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ∈ V)
14		elmapg 8838	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ∪ dom 𝑃 ∈ V) → (𝑋 ∈ (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
15	12, 13, 14	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
16	11, 15	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
17	16	anbi1d 643	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
18	2, 8, 17	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  ℝcr 11123  sigAlgebracsiga 34618  𝔅_ℝcbrsiga 34692  MblFnMcmbfm 34760  Probcprb 34918  rRndVarcrrv 34951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-ioo 13402  df-topgen 17528  df-top 23119  df-bases 23171  df-esum 34538  df-siga 34619  df-sigagen 34650  df-brsiga 34693  df-meas 34707  df-mbfm 34761  df-prob 34919  df-rrv 34952

This theorem is used by:  rrvvf  34955  rrvfinvima  34961  0rrv  34962  coinfliprv  34994