Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isrrvv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrrvv 31694
 Description: Elementhood to the set of real-valued random variables with respect to the probability 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
isrrvv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
Assertion
Ref Expression
isrrvv (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem isrrvv
StepHypRef Expression
1 isrrvv.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
21rrvmbfm 31693 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
3 domprobsiga 31662 . . . 4 (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
5 brsigarn 31436 . . . 4 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
6 elrnsiga 31378 . . . 4 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
75, 6mp1i 13 . . 3 (𝜑 → 𝔅 ran sigAlgebra)
84, 7ismbfm 31503 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅) ↔ (𝑋 ∈ ( 𝔅m dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
9 unibrsiga 31438 . . . . . 6 𝔅 = ℝ
109oveq1i 7158 . . . . 5 ( 𝔅m dom 𝑃) = (ℝ ↑m dom 𝑃)
1110eleq2i 2902 . . . 4 (𝑋 ∈ ( 𝔅m dom 𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m dom 𝑃))
12 reex 10620 . . . . 5 ℝ ∈ V
134uniexd 7460 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑃 ∈ V)
14 elmapg 8411 . . . . 5 ((ℝ ∈ V ∧ dom 𝑃 ∈ V) → (𝑋 ∈ (ℝ ↑m dom 𝑃) ↔ 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ))
1512, 13, 14sylancr 589 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (ℝ ↑m dom 𝑃) ↔ 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ))
1611, 15syl5bb 285 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ ( 𝔅m dom 𝑃) ↔ 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ))
1716anbi1d 631 . 2 (𝜑 → ((𝑋 ∈ ( 𝔅m dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
182, 8, 173bitrd 307 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2108  ∀wral 3136  Vcvv 3493  ∪ cuni 4830  ◡ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549   “ cima 5551  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ↑m cmap 8398  ℝcr 10528  sigAlgebracsiga 31360  𝔅ℝcbrsiga 31433  MblFnMcmbfm 31501  Probcprb 31658  rRndVarcrrv 31691 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ioo 12734  df-topgen 16709  df-top 21494  df-bases 21546  df-esum 31280  df-siga 31361  df-sigagen 31391  df-brsiga 31434  df-meas 31448  df-mbfm 31502  df-prob 31659  df-rrv 31692 This theorem is referenced by:  rrvvf  31695  rrvfinvima  31701  0rrv  31702  coinfliprv  31733
 Copyright terms: Public domain W3C validator