Theorem isrrvv 34701

Description: Elementhood to the set of real-valued random variables with respect to the probability 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isrrvv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)

Assertion

Ref	Expression
isrrvv	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem isrrvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrrvv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2	1	rrvmbfm 34700	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
3		domprobsiga 34669	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		brsigarn 34442	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
6		elrnsiga 34384	. . . 4 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
8	4, 7	ismbfm 34509	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
9		unibrsiga 34444	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
10	9	oveq1i 7402	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) = (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃)
11	10	eleq2i 2853	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃))
12		reex 11161	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
13	4	uniexd 7721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ∈ V)
14		elmapg 8816	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ∪ dom 𝑃 ∈ V) → (𝑋 ∈ (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
15	12, 13, 14	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
16	11, 15	bitrid 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
17	16	anbi1d 640	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
18	2, 8, 17	3bitrd 307	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453  ∪ cuni 4864  ^◡ccnv 5644  dom cdm 5645  ran crn 5646   “ cima 5648  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ↑_m cmap 8803  ℝcr 11069  sigAlgebracsiga 34366  𝔅_ℝcbrsiga 34439  MblFnMcmbfm 34507  Probcprb 34665  rRndVarcrrv 34698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-ioo 13350  df-topgen 17455  df-top 22934  df-bases 22986  df-esum 34286  df-siga 34367  df-sigagen 34397  df-brsiga 34440  df-meas 34454  df-mbfm 34508  df-prob 34666  df-rrv 34699

This theorem is referenced by:  rrvvf  34702  rrvfinvima  34708  0rrv  34709  coinfliprv  34741