Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isrrvv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrrvv 33442
Description: Elementhood to the set of real-valued random variables with respect to the probability 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
isrrvv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
Assertion
Ref Expression
isrrvv (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑦)

Proof of Theorem isrrvv
StepHypRef Expression
1 isrrvv.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
21rrvmbfm 33441 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
3 domprobsiga 33410 . . . 4 (𝑃 ∈ Prob β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
41, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
5 brsigarn 33182 . . . 4 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
6 elrnsiga 33124 . . . 4 (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
75, 6mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
84, 7ismbfm 33249 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝑋 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ dom 𝑃) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
9 unibrsiga 33184 . . . . . 6 βˆͺ 𝔅ℝ = ℝ
109oveq1i 7419 . . . . 5 (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ dom 𝑃) = (ℝ ↑m βˆͺ dom 𝑃)
1110eleq2i 2826 . . . 4 (𝑋 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ dom 𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m βˆͺ dom 𝑃))
12 reex 11201 . . . . 5 ℝ ∈ V
134uniexd 7732 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑃 ∈ V)
14 elmapg 8833 . . . . 5 ((ℝ ∈ V ∧ βˆͺ dom 𝑃 ∈ V) β†’ (𝑋 ∈ (ℝ ↑m βˆͺ dom 𝑃) ↔ 𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„))
1512, 13, 14sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (ℝ ↑m βˆͺ dom 𝑃) ↔ 𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„))
1611, 15bitrid 283 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ dom 𝑃) ↔ 𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„))
1716anbi1d 631 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ dom 𝑃) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃) ↔ (𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
182, 8, 173bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  βˆͺ cuni 4909  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„cr 11109  sigAlgebracsiga 33106  π”…ℝcbrsiga 33179  MblFnMcmbfm 33247  Probcprb 33406  rRndVarcrrv 33439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-esum 33026  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-brsiga 33180  df-meas 33194  df-mbfm 33248  df-prob 33407  df-rrv 33440
This theorem is referenced by:  rrvvf  33443  rrvfinvima  33449  0rrv  33450  coinfliprv  33481
  Copyright terms: Public domain W3C validator