Theorem scotteld 44208

Description: The Scott operation sends inhabited classes to inhabited sets. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
scotteld.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scotteld	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem scotteld

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scotteld.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		n0 4312	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4	3	neneqd 2930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = ∅)
5		scott0 9815	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
6		df-scott 44198	. . . . . 6 ⊢ Scott 𝐴 = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
7	6	eqeq1i 2734	. . . . 5 ⊢ (Scott 𝐴 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
8	5, 7	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ Scott 𝐴 = ∅)
9	4, 8	sylnib 328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ Scott 𝐴 = ∅)
10	9	neqned 2932	. 2 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ≠ ∅)
11		n0 4312	. 2 ⊢ (Scott 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)
12	10, 11	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3402   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ‘cfv 6499  rankcrnk 9692  Scott cscott 44197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-r1 9693  df-rank 9694  df-scott 44198

This theorem is referenced by:  cpcolld  44220