Theorem scotteld 9868

Description: The Scott operation sends inhabited classes to inhabited sets. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
scotteld.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scotteld	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem scotteld

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scotteld.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		n0 4307	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4	3	neneqd 2963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = ∅)
5		scott0 9856	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
6		df-scott 9854	. . . . . 6 ⊢ Scott 𝐴 = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
7	6	eqeq1i 2768	. . . . 5 ⊢ (Scott 𝐴 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
8	5, 7	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ Scott 𝐴 = ∅)
9	4, 8	sylnib 331	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ Scott 𝐴 = ∅)
10	9	neqned 2965	. 2 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ≠ ∅)
11		n0 4307	. 2 ⊢ (Scott 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)
12	10, 11	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3416   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ‘cfv 6536  rankcrnk 9731  Scott cscott 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-r1 9732  df-rank 9733  df-scott 9854

This theorem is referenced by:  cpcolld  44968