Theorem scotteld 41753

Description: The Scott operation sends inhabited classes to inhabited sets. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
scotteld.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scotteld	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem scotteld

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scotteld.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		n0 4277	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4	3	neneqd 2947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = ∅)
5		scott0 9575	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
6		df-scott 41743	. . . . . 6 ⊢ Scott 𝐴 = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
7	6	eqeq1i 2743	. . . . 5 ⊢ (Scott 𝐴 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
8	5, 7	bitr4i 277	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ Scott 𝐴 = ∅)
9	4, 8	sylnib 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ Scott 𝐴 = ∅)
10	9	neqned 2949	. 2 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ≠ ∅)
11		n0 4277	. 2 ⊢ (Scott 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)
12	10, 11	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ‘cfv 6418  rankcrnk 9452  Scott cscott 41742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-r1 9453  df-rank 9454  df-scott 41743

This theorem is referenced by:  cpcolld  41765