Theorem scotteld 9886

Description: The Scott operation sends inhabited classes to inhabited sets. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
scotteld.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scotteld	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem scotteld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scotteld.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		n0 4310	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4	3	neneqd 2966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = ∅)
5		scott0b 9876	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ Scott 𝐴 = ∅)
6	4, 5	sylnib 331	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ Scott 𝐴 = ∅)
7	6	neqned 2968	. 2 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ≠ ∅)
8		n0 4310	. 2 ⊢ (Scott 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)
9	7, 8	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∅c0 4289  Scott cscott 9867

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-r1 9746  df-rank 9747  df-scott 9868

This theorem is used by:  cpcolld  45008