Theorem scotteld 9940

Description: The Scott operation sends inhabited classes to inhabited sets. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
scotteld.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scotteld	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem scotteld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scotteld.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		n0 4300	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4	3	neneqd 2961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = ∅)
5		scott0b 9930	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ Scott 𝐴 = ∅)
6	4, 5	sylnib 331	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ Scott 𝐴 = ∅)
7	6	neqned 2963	. 2 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ≠ ∅)
8		n0 4300	. 2 ⊢ (Scott 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)
9	7, 8	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ Scott 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279  Scott cscott 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-r1 9761  df-rank 9762  df-scott 9922

This theorem is used by:  cpcolld  45227