Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  scotteld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scotteld 42618
Description: The Scott operation sends inhabited classes to inhabited sets. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
scotteld.1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
scotteld (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ Scott 𝐴)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘₯)

Proof of Theorem scotteld
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scotteld.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴)
2 n0 4310 . . . . . 6 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴)
31, 2sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
43neneqd 2945 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 = βˆ…)
5 scott0 9830 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… ↔ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) βŠ† (rankβ€˜π‘§)} = βˆ…)
6 df-scott 42608 . . . . . 6 Scott 𝐴 = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) βŠ† (rankβ€˜π‘§)}
76eqeq1i 2738 . . . . 5 (Scott 𝐴 = βˆ… ↔ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) βŠ† (rankβ€˜π‘§)} = βˆ…)
85, 7bitr4i 278 . . . 4 (𝐴 = βˆ… ↔ Scott 𝐴 = βˆ…)
94, 8sylnib 328 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ Scott 𝐴 = βˆ…)
109neqned 2947 . 2 (πœ‘ β†’ Scott 𝐴 β‰  βˆ…)
11 n0 4310 . 2 (Scott 𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ Scott 𝐴)
1210, 11sylib 217 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ Scott 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  β€˜cfv 6500  rankcrnk 9707  Scott cscott 42607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-r1 9708  df-rank 9709  df-scott 42608
This theorem is referenced by:  cpcolld  42630
  Copyright terms: Public domain W3C validator