Theorem cpcolld 45503

Description: Property of the collection operation. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpcolld.1	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
cpcolld.2	⊢ (𝜑 → 𝑥𝐹𝑦)

Assertion

Ref	Expression
cpcolld	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cpcolld

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpcolld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
2		cpcolld.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥𝐹𝑦)
3		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
4		breq2 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝐹𝑧 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
5	3, 4	elab 3636	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧} ↔ 𝑥𝐹𝑦)
6	2, 5	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧})
7	6	19.8ad 2222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧})
8	7	scotteld 9984	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ Scott {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧})
9		ssiun2 5011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → Scott {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧} ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧})
10		dfcoll2 45497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Coll 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧}
11	9, 10	sseqtrrdi 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → Scott {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧} ⊆ (𝐹 Coll 𝐴))
12	11	sselda 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Scott {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧}) → 𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴))
13	4	elscottab 9979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Scott {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧} → 𝑥𝐹𝑦)
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Scott {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧}) → 𝑥𝐹𝑦)
15	12, 14	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Scott {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧}) → (𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴) ∧ 𝑥𝐹𝑦))
16	15	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧} → (𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴) ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
17	16	eximdv 1952	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 𝑦 ∈ Scott {𝑧 ∣ 𝑥𝐹𝑧} → ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴) ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
18	1, 8, 17	sylc 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴) ∧ 𝑥𝐹𝑦))
19		df-rex 3091	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴) ∧ 𝑥𝐹𝑦))
20	18, 19	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090  ∪ ciun 4956   class class class wbr 5108  Scott cscott 9965   Coll ccoll 45495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-r1 9805  df-rank 9806  df-scott 9966  df-coll 45496

This theorem is used by:  cpcoll2d  45504