Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskpr 10185
 Description: If 𝐴 and 𝐵 are members of a Tarski class, their unordered pair is also an element of the class. JFM CLASSES2 th. 3 (partly). (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskpr ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskpr
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
2 prssi 4717 . . 3 ((𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇)
323adant1 1127 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇)
4 prfi 8781 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
5 isfinite 9103 . . . . 5 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
64, 5mpbi 233 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ≺ ω
7 ne0i 4253 . . . . 5 (𝐴𝑇𝑇 ≠ ∅)
8 tskinf 10184 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)
97, 8sylan2 595 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → ω ≼ 𝑇)
10 sdomdomtr 8638 . . . 4 (({𝐴, 𝐵} ≺ ω ∧ ω ≼ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
116, 9, 10sylancr 590 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
12113adant3 1129 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
13 tskssel 10172 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇 ∧ {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
141, 3, 12, 13syl3anc 1368 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  {cpr 4530   class class class wbr 5033  ωcom 7564   ≼ cdom 8494   ≺ csdm 8495  Fincfn 8496  Tarskictsk 10163 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-r1 9181  df-tsk 10164 This theorem is referenced by:  tskop  10186  tskwun  10199  tskun  10201  grutsk1  10236
 Copyright terms: Public domain W3C validator