MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskpr 10702
Description: If 𝐴 and 𝐵 are members of a Tarski class, their unordered pair is also an element of the class. JFM CLASSES2 th. 3 (partly). (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskpr ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskpr
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
2 prssi 4779 . . 3 ((𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇)
323adant1 1130 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇)
4 prfi 9262 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
5 isfinite 9584 . . . . 5 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
64, 5mpbi 229 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ≺ ω
7 ne0i 4292 . . . . 5 (𝐴𝑇𝑇 ≠ ∅)
8 tskinf 10701 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)
97, 8sylan2 593 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → ω ≼ 𝑇)
10 sdomdomtr 9050 . . . 4 (({𝐴, 𝐵} ≺ ω ∧ ω ≼ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
116, 9, 10sylancr 587 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
12113adant3 1132 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
13 tskssel 10689 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇 ∧ {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
141, 3, 12, 13syl3anc 1371 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wne 2941  wss 3908  c0 4280  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ωcom 7798  cdom 8877  csdm 8878  Fincfn 8879  Tarskictsk 10680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-r1 9696  df-tsk 10681
This theorem is referenced by:  tskop  10703  tskwun  10716  tskun  10718  grutsk1  10753
  Copyright terms: Public domain W3C validator