Theorem tskpr 10693

Description: If 𝐴 and 𝐵 are members of a Tarski class, their unordered pair is also an element of the class. JFM CLASSES2 th. 3 (partly). (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskpr	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
2		prssi 4779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇)
3	2	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇)
4		prfi 9236	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
5		isfinite 9573	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
6	4, 5	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≺ ω
7		ne0i 4295	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → 𝑇 ≠ ∅)
8		tskinf 10692	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)
9	7, 8	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ω ≼ 𝑇)
10		sdomdomtr 9050	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≺ ω ∧ ω ≼ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
11	6, 9, 10	sylancr 588	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
12	11	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
13		tskssel 10680	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇 ∧ {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
14	1, 3, 12, 13	syl3anc 1374	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {cpr 4584   class class class wbr 5100  ωcom 7818   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  Fincfn 8895  Tarskictsk 10671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-r1 9688  df-tsk 10672

This theorem is referenced by:  tskop  10694  tskwun  10707  tskun  10709  grutsk1  10744