MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskpr 10808
Description: If 𝐴 and 𝐵 are members of a Tarski class, their unordered pair is also an element of the class. JFM CLASSES2 th. 3 (partly). (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskpr ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskpr
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
2 prssi 4826 . . 3 ((𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇)
323adant1 1129 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇)
4 prfi 9361 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
5 isfinite 9690 . . . . 5 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
64, 5mpbi 230 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ≺ ω
7 ne0i 4347 . . . . 5 (𝐴𝑇𝑇 ≠ ∅)
8 tskinf 10807 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)
97, 8sylan2 593 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → ω ≼ 𝑇)
10 sdomdomtr 9149 . . . 4 (({𝐴, 𝐵} ≺ ω ∧ ω ≼ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
116, 9, 10sylancr 587 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
12113adant3 1131 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
13 tskssel 10795 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇 ∧ {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
141, 3, 12, 13syl3anc 1370 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  c0 4339  {cpr 4633   class class class wbr 5148  ωcom 7887  cdom 8982  csdm 8983  Fincfn 8984  Tarskictsk 10786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-r1 9802  df-tsk 10787
This theorem is referenced by:  tskop  10809  tskwun  10822  tskun  10824  grutsk1  10859
  Copyright terms: Public domain W3C validator