HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stge1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stge1i 29702
Description: If a state is greater than or equal to 1, it is 1. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stge1i (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ (𝑆𝐴) = 1))

Proof of Theorem stge1i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6 𝐴C
2 stle1 29689 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ≤ 1))
31, 2mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ≤ 1)
43anim1i 614 . . . 4 ((𝑆 ∈ States ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴)) → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴)))
54ex 413 . . 3 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
6 stcl 29680 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
71, 6mpi 20 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
8 1re 10494 . . . 4 1 ∈ ℝ
9 letri3 10579 . . . 4 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) = 1 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
107, 8, 9sylancl 586 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) = 1 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
115, 10sylibrd 260 . 2 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) → (𝑆𝐴) = 1))
12 1le1 11122 . . 3 1 ≤ 1
13 breq2 4972 . . 3 ((𝑆𝐴) = 1 → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ 1 ≤ 1))
1412, 13mpbiri 259 . 2 ((𝑆𝐴) = 1 → 1 ≤ (𝑆𝐴))
1511, 14impbid1 226 1 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ (𝑆𝐴) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083   class class class wbr 4968  cfv 6232  cr 10389  1c1 10391  cle 10529   C cch 28393  Statescst 28426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-hilex 28463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-icc 12599  df-sh 28671  df-ch 28685  df-st 29675
This theorem is referenced by:  stm1i  29707
  Copyright terms: Public domain W3C validator