Theorem stge1i 32313

Description: If a state is greater than or equal to 1, it is 1. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
sto1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stge1i	⊢ (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆‘𝐴) ↔ (𝑆‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem stge1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sto1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		stle1 32300	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ≤ 1))
3	1, 2	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ≤ 1)
4	3	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 1 ≤ (𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆‘𝐴)))
5	4	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆‘𝐴) → ((𝑆‘𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆‘𝐴))))
6		stcl 32291	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ))
7	1, 6	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ)
8		1re 11132	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		letri3 11218	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆‘𝐴) = 1 ↔ ((𝑆‘𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆‘𝐴))))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) = 1 ↔ ((𝑆‘𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆‘𝐴))))
11	5, 10	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆‘𝐴) → (𝑆‘𝐴) = 1))
12		1le1 11765	. . 3 ⊢ 1 ≤ 1
13		breq2 5102	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 1 → (1 ≤ (𝑆‘𝐴) ↔ 1 ≤ 1))
14	12, 13	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 1 → 1 ≤ (𝑆‘𝐴))
15	11, 14	impbid1 225	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆‘𝐴) ↔ (𝑆‘𝐴) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  ℝcr 11025  1c1 11027   ≤ cle 11167   C_ℋ cch 31004  Statescst 31037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-hilex 31074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-icc 13268  df-sh 31282  df-ch 31296  df-st 32286

This theorem is referenced by:  stm1i  32318