HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stge1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stge1i 32061
Description: If a state is greater than or equal to 1, it is 1. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stge1i (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ (𝑆𝐴) = 1))

Proof of Theorem stge1i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6 𝐴C
2 stle1 32048 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ≤ 1))
31, 2mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ≤ 1)
43anim1i 614 . . . 4 ((𝑆 ∈ States ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴)) → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴)))
54ex 412 . . 3 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
6 stcl 32039 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
71, 6mpi 20 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
8 1re 11245 . . . 4 1 ∈ ℝ
9 letri3 11330 . . . 4 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) = 1 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
107, 8, 9sylancl 585 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) = 1 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
115, 10sylibrd 259 . 2 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) → (𝑆𝐴) = 1))
12 1le1 11873 . . 3 1 ≤ 1
13 breq2 5152 . . 3 ((𝑆𝐴) = 1 → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ 1 ≤ 1))
1412, 13mpbiri 258 . 2 ((𝑆𝐴) = 1 → 1 ≤ (𝑆𝐴))
1511, 14impbid1 224 1 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ (𝑆𝐴) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5148  cfv 6548  cr 11138  1c1 11140  cle 11280   C cch 30752  Statescst 30785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-hilex 30822
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-icc 13364  df-sh 31030  df-ch 31044  df-st 32034
This theorem is referenced by:  stm1i  32066
  Copyright terms: Public domain W3C validator