HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stge1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stge1i 32166
Description: If a state is greater than or equal to 1, it is 1. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stge1i (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ (𝑆𝐴) = 1))

Proof of Theorem stge1i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6 𝐴C
2 stle1 32153 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ≤ 1))
31, 2mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ≤ 1)
43anim1i 613 . . . 4 ((𝑆 ∈ States ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴)) → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴)))
54ex 411 . . 3 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
6 stcl 32144 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
71, 6mpi 20 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
8 1re 11253 . . . 4 1 ∈ ℝ
9 letri3 11338 . . . 4 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) = 1 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
107, 8, 9sylancl 584 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) = 1 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
115, 10sylibrd 258 . 2 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) → (𝑆𝐴) = 1))
12 1le1 11881 . . 3 1 ≤ 1
13 breq2 5148 . . 3 ((𝑆𝐴) = 1 → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ 1 ≤ 1))
1412, 13mpbiri 257 . 2 ((𝑆𝐴) = 1 → 1 ≤ (𝑆𝐴))
1511, 14impbid1 224 1 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ (𝑆𝐴) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5144  cfv 6544  cr 11146  1c1 11148  cle 11288   C cch 30857  Statescst 30890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-hilex 30927
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-icc 13377  df-sh 31135  df-ch 31149  df-st 32139
This theorem is referenced by:  stm1i  32171
  Copyright terms: Public domain W3C validator