Theorem stge1i 32897

Description: If a state is greater than or equal to 1, it is 1. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
sto1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stge1i	⊢ (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆‘𝐴) ↔ (𝑆‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem stge1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sto1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		stle1 32884	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ≤ 1))
3	1, 2	mpi 21	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ≤ 1)
4	3	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ States ∧ 1 ≤ (𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆‘𝐴)))
5	4	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆‘𝐴) → ((𝑆‘𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆‘𝐴))))
6		stcl 32875	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ))
7	1, 6	mpi 21	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ)
8		1re 11347	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		letri3 11434	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆‘𝐴) = 1 ↔ ((𝑆‘𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆‘𝐴))))
10	7, 8, 9	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) = 1 ↔ ((𝑆‘𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆‘𝐴))))
11	5, 10	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆‘𝐴) → (𝑆‘𝐴) = 1))
12		1le1 11984	. . 3 ⊢ 1 ≤ 1
13		breq2 5112	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 1 → (1 ≤ (𝑆‘𝐴) ↔ 1 ≤ 1))
14	12, 13	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 1 → 1 ≤ (𝑆‘𝐴))
15	11, 14	impbid1 228	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆‘𝐴) ↔ (𝑆‘𝐴) = 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  ℝcr 11238  1c1 11240   ≤ cle 11383   C_ℋ cch 31588  Statescst 31621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-hilex 31658

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-icc 13523  df-sh 31866  df-ch 31880  df-st 32870

This theorem is used by:  stm1i  32902