HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stge1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stge1i 29435
Description: If a state is greater than or equal to 1, it is 1. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stge1i (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ (𝑆𝐴) = 1))

Proof of Theorem stge1i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6 𝐴C
2 stle1 29422 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ≤ 1))
31, 2mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ≤ 1)
43anim1i 604 . . . 4 ((𝑆 ∈ States ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴)) → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴)))
54ex 399 . . 3 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
6 stcl 29413 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
71, 6mpi 20 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
8 1re 10332 . . . 4 1 ∈ ℝ
9 letri3 10415 . . . 4 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) = 1 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
107, 8, 9sylancl 576 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) = 1 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑆𝐴))))
115, 10sylibrd 250 . 2 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) → (𝑆𝐴) = 1))
12 1le1 10947 . . 3 1 ≤ 1
13 breq2 4859 . . 3 ((𝑆𝐴) = 1 → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ 1 ≤ 1))
1412, 13mpbiri 249 . 2 ((𝑆𝐴) = 1 → 1 ≤ (𝑆𝐴))
1511, 14impbid1 216 1 (𝑆 ∈ States → (1 ≤ (𝑆𝐴) ↔ (𝑆𝐴) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157   class class class wbr 4855  cfv 6108  cr 10227  1c1 10229  cle 10367   C cch 28124  Statescst 28157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-hilex 28194
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5230  df-po 5243  df-so 5244  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-er 7986  df-map 8101  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-icc 12407  df-sh 28402  df-ch 28416  df-st 29408
This theorem is referenced by:  stm1i  29440
  Copyright terms: Public domain W3C validator