Theorem sto2i 32396

Description: The state of the orthocomplement. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
sto1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sto2i	⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = (1 − (𝑆‘𝐴)))

Proof of Theorem sto2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sto1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	sto1i 32395	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 1)
3		stcl 32375	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ))
4	1, 3	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11203	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℂ)
6	1	choccli 31466	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
7		stcl 32375	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ))
8	6, 7	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11203	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		ax-1cn 11124	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		subadd 11426	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑆‘𝐴)) = (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ↔ ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 1))
12	10, 11	mp3an1 1468	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑆‘𝐴)) = (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ↔ ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 1))
13	5, 9, 12	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((1 − (𝑆‘𝐴)) = (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ↔ ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 1))
14	2, 13	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States → (1 − (𝑆‘𝐴)) = (𝑆‘(⊥‘𝐴)))
15	14	eqcomd 2767	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = (1 − (𝑆‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  ℝcr 11065  1c1 11067   + caddc 11069   − cmin 11407   C_ℋ cch 31088  ⊥cort 31089  Statescst 31121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-addf 11145  ax-mulf 11146  ax-hilex 31158  ax-hfvadd 31159  ax-hvcom 31160  ax-hvass 31161  ax-hv0cl 31162  ax-hvaddid 31163  ax-hfvmul 31164  ax-hvmulid 31165  ax-hvmulass 31166  ax-hvdistr1 31167  ax-hvdistr2 31168  ax-hvmul0 31169  ax-hfi 31238  ax-his1 31241  ax-his2 31242  ax-his3 31243  ax-his4 31244  ax-hcompl 31361

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xneg 13107  df-xadd 13108  df-xmul 13109  df-ioo 13346  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14337  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15505  df-sum 15704  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17522  df-qtop 17527  df-imas 17528  df-xps 17530  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-mulg 19100  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-met 21405  df-bl 21406  df-mopn 21407  df-cnfld 21412  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-cn 23274  df-cnp 23275  df-lm 23276  df-haus 23362  df-tx 23609  df-hmeo 23802  df-xms 24367  df-ms 24368  df-tms 24369  df-cau 25305  df-grpo 30652  df-gid 30653  df-ginv 30654  df-gdiv 30655  df-ablo 30704  df-vc 30718  df-nv 30751  df-va 30754  df-ba 30755  df-sm 30756  df-0v 30757  df-vs 30758  df-nmcv 30759  df-ims 30760  df-dip 30860  df-hnorm 31127  df-hvsub 31130  df-hlim 31131  df-hcau 31132  df-sh 31366  df-ch 31380  df-oc 31411  df-ch0 31412  df-chj 31469  df-st 32370

This theorem is referenced by:  st0  32408