HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stle0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stle0i 30028
Description: If a state is less than or equal to 0, it is 0. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stle0i (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))

Proof of Theorem stle0i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6 𝐴C
2 stge0 30013 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → 0 ≤ (𝑆𝐴)))
31, 2mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → 0 ≤ (𝑆𝐴))
43anim2i 619 . . . 4 (((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 𝑆 ∈ States) → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴)))
54expcom 417 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
6 stcl 30005 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
71, 6mpi 20 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
8 0re 10642 . . . 4 0 ∈ ℝ
9 letri3 10725 . . . 4 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) = 0 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
107, 8, 9sylancl 589 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) = 0 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
115, 10sylibrd 262 . 2 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 → (𝑆𝐴) = 0))
12 0le0 11738 . . 3 0 ≤ 0
13 breq1 5056 . . 3 ((𝑆𝐴) = 0 → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ 0))
1412, 13mpbiri 261 . 2 ((𝑆𝐴) = 0 → (𝑆𝐴) ≤ 0)
1511, 14impbid1 228 1 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  cfv 6344  cr 10535  0cc0 10536  cle 10675   C cch 28718  Statescst 28751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-hilex 28788
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-icc 12745  df-sh 28996  df-ch 29010  df-st 30000
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator