HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stle0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stle0i 30610
Description: If a state is less than or equal to 0, it is 0. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stle0i (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))

Proof of Theorem stle0i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6 𝐴C
2 stge0 30595 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → 0 ≤ (𝑆𝐴)))
31, 2mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → 0 ≤ (𝑆𝐴))
43anim2i 617 . . . 4 (((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 𝑆 ∈ States) → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴)))
54expcom 414 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
6 stcl 30587 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
71, 6mpi 20 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
8 0re 10988 . . . 4 0 ∈ ℝ
9 letri3 11071 . . . 4 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) = 0 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
107, 8, 9sylancl 586 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) = 0 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
115, 10sylibrd 258 . 2 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 → (𝑆𝐴) = 0))
12 0le0 12085 . . 3 0 ≤ 0
13 breq1 5082 . . 3 ((𝑆𝐴) = 0 → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ 0))
1412, 13mpbiri 257 . 2 ((𝑆𝐴) = 0 → (𝑆𝐴) ≤ 0)
1511, 14impbid1 224 1 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110   class class class wbr 5079  cfv 6432  cr 10881  0cc0 10882  cle 11021   C cch 29300  Statescst 29333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-hilex 29370
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-er 8490  df-map 8609  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-icc 13097  df-sh 29578  df-ch 29592  df-st 30582
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator