Theorem stle0i 31492

Description: If a state is less than or equal to 0, it is 0. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
sto1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stle0i	⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆‘𝐴) = 0))

Proof of Theorem stle0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sto1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		stge0 31477	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → 0 ≤ (𝑆‘𝐴)))
3	1, 2	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → 0 ≤ (𝑆‘𝐴))
4	3	anim2i 618	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 𝑆 ∈ States) → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴)))
5	4	expcom 415	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴))))
6		stcl 31469	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ))
7	1, 6	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ)
8		0re 11216	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		letri3 11299	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑆‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴))))
10	7, 8, 9	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴))))
11	5, 10	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 → (𝑆‘𝐴) = 0))
12		0le0 12313	. . 3 ⊢ 0 ≤ 0
13		breq1 5152	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 0 → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ 0))
14	12, 13	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 0 → (𝑆‘𝐴) ≤ 0)
15	11, 14	impbid1 224	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  ℝcr 11109  0cc0 11110   ≤ cle 11249   C_ℋ cch 30182  Statescst 30215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-hilex 30252

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-icc 13331  df-sh 30460  df-ch 30474  df-st 31464

This theorem is referenced by: (None)