Theorem stle0i 32316

Description: If a state is less than or equal to 0, it is 0. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
sto1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stle0i	⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆‘𝐴) = 0))

Proof of Theorem stle0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sto1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		stge0 32301	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → 0 ≤ (𝑆‘𝐴)))
3	1, 2	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → 0 ≤ (𝑆‘𝐴))
4	3	anim2i 617	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 𝑆 ∈ States) → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴)))
5	4	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴))))
6		stcl 32293	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ))
7	1, 6	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ)
8		0re 11136	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		letri3 11220	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑆‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴))))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴))))
11	5, 10	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 → (𝑆‘𝐴) = 0))
12		0le0 12248	. . 3 ⊢ 0 ≤ 0
13		breq1 5101	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 0 → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ 0))
14	12, 13	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 0 → (𝑆‘𝐴) ≤ 0)
15	11, 14	impbid1 225	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  ℝcr 11027  0cc0 11028   ≤ cle 11169   C_ℋ cch 31006  Statescst 31039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-hilex 31076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-icc 13270  df-sh 31284  df-ch 31298  df-st 32288

This theorem is referenced by: (None)