Theorem stle0i 32205

Description: If a state is less than or equal to 0, it is 0. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
sto1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stle0i	⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆‘𝐴) = 0))

Proof of Theorem stle0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sto1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		stge0 32190	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → 0 ≤ (𝑆‘𝐴)))
3	1, 2	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → 0 ≤ (𝑆‘𝐴))
4	3	anim2i 617	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 𝑆 ∈ States) → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴)))
5	4	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴))))
6		stcl 32182	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ))
7	1, 6	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ)
8		0re 11246	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		letri3 11329	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑆‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴))))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴))))
11	5, 10	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 → (𝑆‘𝐴) = 0))
12		0le0 12350	. . 3 ⊢ 0 ≤ 0
13		breq1 5128	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 0 → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ 0))
14	12, 13	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 0 → (𝑆‘𝐴) ≤ 0)
15	11, 14	impbid1 225	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  ℝcr 11137  0cc0 11138   ≤ cle 11279   C_ℋ cch 30895  Statescst 30928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-hilex 30965

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-id 5560  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8728  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-icc 13377  df-sh 31173  df-ch 31187  df-st 32177

This theorem is referenced by: (None)