Theorem stle0i 32218

Description: If a state is less than or equal to 0, it is 0. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
sto1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stle0i	⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆‘𝐴) = 0))

Proof of Theorem stle0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sto1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		stge0 32203	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → 0 ≤ (𝑆‘𝐴)))
3	1, 2	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → 0 ≤ (𝑆‘𝐴))
4	3	anim2i 617	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 𝑆 ∈ States) → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴)))
5	4	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴))))
6		stcl 32195	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ))
7	1, 6	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ)
8		0re 11152	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		letri3 11235	. . . 4 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑆‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴))))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆‘𝐴))))
11	5, 10	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 → (𝑆‘𝐴) = 0))
12		0le0 12263	. . 3 ⊢ 0 ≤ 0
13		breq1 5105	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 0 → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ 0))
14	12, 13	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 0 → (𝑆‘𝐴) ≤ 0)
15	11, 14	impbid1 225	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  ℝcr 11043  0cc0 11044   ≤ cle 11185   C_ℋ cch 30908  Statescst 30941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-hilex 30978

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-icc 13289  df-sh 31186  df-ch 31200  df-st 32190

This theorem is referenced by: (None)