HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stle0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stle0i 31987
Description: If a state is less than or equal to 0, it is 0. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stle0i (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))

Proof of Theorem stle0i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6 𝐴C
2 stge0 31972 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → 0 ≤ (𝑆𝐴)))
31, 2mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → 0 ≤ (𝑆𝐴))
43anim2i 616 . . . 4 (((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 𝑆 ∈ States) → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴)))
54expcom 413 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
6 stcl 31964 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
71, 6mpi 20 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
8 0re 11215 . . . 4 0 ∈ ℝ
9 letri3 11298 . . . 4 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) = 0 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
107, 8, 9sylancl 585 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) = 0 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
115, 10sylibrd 259 . 2 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 → (𝑆𝐴) = 0))
12 0le0 12312 . . 3 0 ≤ 0
13 breq1 5142 . . 3 ((𝑆𝐴) = 0 → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ 0))
1412, 13mpbiri 258 . 2 ((𝑆𝐴) = 0 → (𝑆𝐴) ≤ 0)
1511, 14impbid1 224 1 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5139  cfv 6534  cr 11106  0cc0 11107  cle 11248   C cch 30677  Statescst 30710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-hilex 30747
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-icc 13332  df-sh 30955  df-ch 30969  df-st 31959
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator