Theorem subexsub 11616

Description: A subtraction law: Exchanging the subtrahend and the result of the subtraction. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addlsub.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addlsub.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subexsub	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 = (𝐶 − 𝐴)))

Proof of Theorem subexsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addlsub.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addlsub.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addlsub.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	addlsub 11614	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))
5	1, 2, 3	addrsub 11615	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐵 = (𝐶 − 𝐴)))
6	4, 5	bitr3d 283	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 = (𝐶 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7396  ℂcc 11082   + caddc 11087   − cmin 11425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-ltxr 11232  df-sub 11427

This theorem is referenced by:  divalgmod  16450  gsummptrev  33242  goldrasin  47467