Theorem addrsub 11734

Description: Right-subtraction: Subtraction of the right summand from the result of an addition. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addlsub.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addlsub.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addrsub	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐵 = (𝐶 − 𝐴)))

Proof of Theorem addrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addlsub.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addlsub.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11513	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4	3	eqeq1d 2763	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐴) = 𝐶))
5		addlsub.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6	2, 1, 5	addlsub 11733	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) = 𝐶 ↔ 𝐵 = (𝐶 − 𝐴)))
7	4, 6	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐵 = (𝐶 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7421  ℂcc 11199   + caddc 11204   − cmin 11542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-ltxr 11349  df-sub 11544

This theorem is used by:  subexsub  11735  addsq2reu  27768  colinearalglem2  29486  hgt750lemb  35286  ef11d  43392  meadif  47490  rrx2linest2  49857  line2  49865