Theorem gsummptrev 33610

Description: Revert ordering in a group sum. See also gsumwrev 19573. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptrev.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsummptrev.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
gsummptrev.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptrev.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummptrev.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑁 − 𝑙)) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsummptrev	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑀 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁,𝑙   𝑋,𝑙   𝑘,𝑌   𝑘,𝑙,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   𝑀(𝑘, 𝑙)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑙)

Proof of Theorem gsummptrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2923	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝑌
2		gsummptrev.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		eqid 2761	. 2 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
4		gsummptrev.5	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑁 − 𝑙)) → 𝑋 = 𝑌)
5		gsummptrev.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
6		fzfid 14109	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
7		ssidd 3954	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
8		gsummptrev.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		fznn0sub2 13762	. . 3 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑙) ∈ (0...𝑁))
10	9	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑙) ∈ (0...𝑁))
11		fznn0sub2 13762	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
12	11	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
13		elfznn0 13747	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14	13	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12662	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
16		elfznn0 13747	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑁) → 𝑙 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 12662	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑙 ∈ ℂ)
19		gsummptrev.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 12662	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
22	15, 18, 21	subexsub 11727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 = (𝑁 − 𝑙) ↔ 𝑙 = (𝑁 − 𝑘)))
23	12, 22	reu6dv 33062	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ∃!𝑙 ∈ (0...𝑁)𝑘 = (𝑁 − 𝑙))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 23	gsummptf1od 33609	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑀 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193   − cmin 11534  ℕ₀cn0 12599  ...cfz 13632  Basecbs 17380  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  CMndccmn 19987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-cntz 19524  df-cmn 19989

This theorem is used by:  vietalem  34204