Theorem gsummptrev 33664

Description: Revert ordering in a group sum. See also gsumwrev 19586. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptrev.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsummptrev.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
gsummptrev.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptrev.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummptrev.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑁 − 𝑙)) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsummptrev	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑀 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁,𝑙   𝑋,𝑙   𝑘,𝑌   𝑘,𝑙,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   𝑀(𝑘, 𝑙)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑙)

Proof of Theorem gsummptrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2922	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝑌
2		gsummptrev.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
4		gsummptrev.5	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑁 − 𝑙)) → 𝑋 = 𝑌)
5		gsummptrev.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
6		fzfid 14120	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
7		ssidd 3931	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
8		gsummptrev.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		fznn0sub2 13773	. . 3 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑙) ∈ (0...𝑁))
10	9	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑙) ∈ (0...𝑁))
11		fznn0sub2 13773	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
12	11	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
13		elfznn0 13758	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14	13	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12673	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
16		elfznn0 13758	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑁) → 𝑙 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 12673	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑙 ∈ ℂ)
19		gsummptrev.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 12673	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
22	15, 18, 21	subexsub 11738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 = (𝑁 − 𝑙) ↔ 𝑙 = (𝑁 − 𝑘)))
23	12, 22	reu6dv 33117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ∃!𝑙 ∈ (0...𝑁)𝑘 = (𝑁 − 𝑙))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 23	gsummptf1od 33663	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑀 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204   − cmin 11545  ℕ₀cn0 12610  ...cfz 13643  Basecbs 17393  0_gc0g 17616   Σ_g cgsu 17617  CMndccmn 20000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-hash 14479  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-cntz 19537  df-cmn 20002

This theorem is used by:  vietalem  34258