Theorem gsummptrev 33716

Description: Revert ordering in a group sum. See also gsumwrev 19631. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptrev.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsummptrev.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
gsummptrev.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptrev.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummptrev.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑁 − 𝑙)) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsummptrev	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑀 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁,𝑙   𝑋,𝑙   𝑘,𝑌   𝑘,𝑙,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   𝑀(𝑘, 𝑙)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑙)

Proof of Theorem gsummptrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2926	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝑌
2		gsummptrev.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
4		gsummptrev.5	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑁 − 𝑙)) → 𝑋 = 𝑌)
5		gsummptrev.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
6		fzfid 14156	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
7		ssidd 3936	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
8		gsummptrev.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		fznn0sub2 13809	. . 3 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑙) ∈ (0...𝑁))
10	9	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑙) ∈ (0...𝑁))
11		fznn0sub2 13809	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
12	11	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
13		elfznn0 13794	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14	13	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12709	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
16		elfznn0 13794	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑁) → 𝑙 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 12709	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑙 ∈ ℂ)
19		gsummptrev.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 12709	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
22	15, 18, 21	subexsub 11773	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 = (𝑁 − 𝑙) ↔ 𝑙 = (𝑁 − 𝑘)))
23	12, 22	reu6dv 33168	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ∃!𝑙 ∈ (0...𝑁)𝑘 = (𝑁 − 𝑙))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 23	gsummptf1od 33715	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑀 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239   − cmin 11580  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  Basecbs 17431  0_gc0g 17660   Σ_g cgsu 17661  CMndccmn 20045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-cntz 19582  df-cmn 20047

This theorem is used by:  vietalem  34322