Theorem addlsub 11725

Description: Left-subtraction: Subtraction of the left summand from the result of an addition. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addlsub.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addlsub.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addlsub	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))

Proof of Theorem addlsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7425	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵))
2		addlsub.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		addlsub.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	pncand 11663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
5		eqtr2 2782	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))
8	4, 7	mpan2d 707	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))
9	1, 8	syl5 35	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))
10		oveq1 7425	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐶 − 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵))
11		addlsub.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11, 3	npcand 11666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐶)
13		eqtr 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
15	12, 14	mpan2d 707	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
16	10, 15	syl5 35	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐶 − 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
17	9, 16	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   + caddc 11196   − cmin 11534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536

This theorem is used by:  addrsub  11726  subexsub  11727  lineq  12147  nn0ob  16547  quad3d  33334  gsummptp1  33611  gsummulsubdishift1  33622  aks4d1p1p5  43105  primrootscoprbij  43132  blen1b  49669  nn0sumshdiglem1  49702