Theorem addlsub 11645

Description: Left-subtraction: Subtraction of the left summand from the result of an addition. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addlsub.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addlsub.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addlsub	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))

Proof of Theorem addlsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7426	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵))
2		addlsub.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		addlsub.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	pncand 11585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
5		eqtr2 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))
8	4, 7	mpan2d 707	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))
9	1, 8	syl5 35	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))
10		oveq1 7426	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐶 − 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵))
11		addlsub.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11, 3	npcand 11588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐶)
13		eqtr 2785	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
15	12, 14	mpan2d 707	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
16	10, 15	syl5 35	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐶 − 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
17	9, 16	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11113   + caddc 11118   − cmin 11456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263  df-sub 11458

This theorem is used by:  addrsub  11646  subexsub  11647  lineq  12067  nn0ob  16464  quad3d  33164  gsummptp1  33441  gsummulsubdishift1  33452  constrrtcclem  34188  aks4d1p1p5  42900  primrootscoprbij  42927  sticksstones10  42980  sticksstones12a  42982  blen1b  49425  nn0sumshdiglem1  49458