Theorem addlsub 11653

Description: Left-subtraction: Subtraction of the left summand from the result of an addition. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addlsub.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addlsub.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addlsub	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))

Proof of Theorem addlsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7412	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵))
2		addlsub.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		addlsub.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	pncand 11595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
5		eqtr2 2756	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))
8	4, 7	mpan2d 694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))
9	1, 8	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))
10		oveq1 7412	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐶 − 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵))
11		addlsub.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11, 3	npcand 11598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐶)
13		eqtr 2755	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
15	12, 14	mpan2d 694	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
16	10, 15	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐶 − 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
17	9, 16	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   + caddc 11132   − cmin 11466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468

This theorem is referenced by:  addrsub  11654  subexsub  11655  lineq  12078  nn0ob  16403  quad3d  32727  constrrtcclem  33768  aks4d1p1p5  42088  primrootscoprbij  42115  sticksstones10  42168  sticksstones12a  42170  blen1b  48568  nn0sumshdiglem1  48601