MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addlsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addlsub 11679
Description: Left-subtraction: Subtraction of the left summand from the result of an addition. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlsub.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addlsub.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addlsub.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
addlsub (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝐴 = (𝐶𝐵)))

Proof of Theorem addlsub
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵))
2 addlsub.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 addlsub.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
42, 3pncand 11621 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
5 eqtr2 2761 . . . . . 6 ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → (𝐶𝐵) = 𝐴)
65eqcomd 2743 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶𝐵))
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶𝐵)))
84, 7mpan2d 694 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵) → 𝐴 = (𝐶𝐵)))
91, 8syl5 34 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝐴 = (𝐶𝐵)))
10 oveq1 7438 . . 3 (𝐴 = (𝐶𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝐶𝐵) + 𝐵))
11 addlsub.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1211, 3npcand 11624 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) + 𝐵) = 𝐶)
13 eqtr 2760 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
1512, 14mpan2d 694 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶𝐵) + 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
1610, 15syl5 34 . 2 (𝜑 → (𝐴 = (𝐶𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
179, 16impbid 212 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝐴 = (𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153   + caddc 11158  cmin 11492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494
This theorem is referenced by:  addrsub  11680  subexsub  11681  lineq  12104  nn0ob  16421  quad3d  32754  constrrtcclem  33775  aks4d1p1p5  42076  primrootscoprbij  42103  sticksstones10  42156  sticksstones12a  42158  blen1b  48509  nn0sumshdiglem1  48542
  Copyright terms: Public domain W3C validator