MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid0 11632
Description: If adding a number to a another number yields the other number, the added number must be 0. This shows that 0 is the unique (right) identity of the complex numbers. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
addid0 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋𝑌 = 0))

Proof of Theorem addid0
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
2 simpr 484 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑌 ∈ ℂ)
31, 1, 2subaddd 11588 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
4 eqcom 2731 . . . . 5 ((𝑋𝑋) = 𝑌𝑌 = (𝑋𝑋))
5 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋𝑋)) → 𝑌 = (𝑋𝑋))
6 subid 11478 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋𝑋) = 0)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋𝑋)) → (𝑋𝑋) = 0)
85, 7eqtrd 2764 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋𝑋)) → 𝑌 = 0)
98ex 412 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = (𝑋𝑋) → 𝑌 = 0))
104, 9biimtrid 241 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋𝑋) = 𝑌𝑌 = 0))
1110adantr 480 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑋) = 𝑌𝑌 = 0))
123, 11sylbird 260 . 2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋𝑌 = 0))
13 oveq2 7410 . . . . 5 (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + 0))
14 addrid 11393 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
1513, 14sylan9eqr 2786 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
1615ex 412 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
1716adantr 480 . 2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
1812, 17impbid 211 1 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋𝑌 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7402  cc 11105  0cc0 11107   + caddc 11110  cmin 11443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445
This theorem is referenced by:  addn0nid  11633  addsq2nreurex  27318  sqrtcval  42942  line2xlem  47688
  Copyright terms: Public domain W3C validator