Theorem addid0 11634

Description: If adding a number to a another number yields the other number, the added number must be 0. This shows that 0 is the unique (right) identity of the complex numbers. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addid0	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 ↔ 𝑌 = 0))

Proof of Theorem addid0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
2		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑌 ∈ ℂ)
3	1, 1, 2	subaddd 11588	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
4		eqcom 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 ↔ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋))
5		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋)) → 𝑌 = (𝑋 − 𝑋))
6		subid 11478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − 𝑋) = 0)
7	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋)) → (𝑋 − 𝑋) = 0)
8	5, 7	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋)) → 𝑌 = 0)
9	8	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = (𝑋 − 𝑋) → 𝑌 = 0))
10	4, 9	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 → 𝑌 = 0))
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 → 𝑌 = 0))
12	3, 11	sylbird 263	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 → 𝑌 = 0))
13		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + 0))
14		addrid 11391	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
15	13, 14	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
16	15	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
17	16	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
18	12, 17	impbid 215	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 ↔ 𝑌 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101   + caddc 11104   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444

This theorem is referenced by:  addn0nid  11635  psdmvr  22313  addsq2nreurex  27586  sqrtcval  44347  line2xlem  49510