MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid0 11251
Description: If adding a number to a another number yields the other number, the added number must be 0. This shows that 0 is the unique (right) identity of the complex numbers. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
addid0 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋𝑌 = 0))

Proof of Theorem addid0
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
2 simpr 488 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑌 ∈ ℂ)
31, 1, 2subaddd 11207 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
4 eqcom 2744 . . . . 5 ((𝑋𝑋) = 𝑌𝑌 = (𝑋𝑋))
5 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋𝑋)) → 𝑌 = (𝑋𝑋))
6 subid 11097 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋𝑋) = 0)
76adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋𝑋)) → (𝑋𝑋) = 0)
85, 7eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋𝑋)) → 𝑌 = 0)
98ex 416 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = (𝑋𝑋) → 𝑌 = 0))
104, 9syl5bi 245 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋𝑋) = 𝑌𝑌 = 0))
1110adantr 484 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑋) = 𝑌𝑌 = 0))
123, 11sylbird 263 . 2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋𝑌 = 0))
13 oveq2 7221 . . . . 5 (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + 0))
14 addid1 11012 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
1513, 14sylan9eqr 2800 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
1615ex 416 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
1716adantr 484 . 2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
1812, 17impbid 215 1 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋𝑌 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  (class class class)co 7213  cc 10727  0cc0 10729   + caddc 10732  cmin 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-sub 11064
This theorem is referenced by:  addn0nid  11252  addsq2nreurex  26325  sqrtcval  40925  line2xlem  45772
  Copyright terms: Public domain W3C validator