Theorem addid0 11716

Description: If adding a number to a another number yields the other number, the added number must be 0. This shows that 0 is the unique (right) identity of the complex numbers. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addid0	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 ↔ 𝑌 = 0))

Proof of Theorem addid0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑌 ∈ ℂ)
3	1, 1, 2	subaddd 11668	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
4		eqcom 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 ↔ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋))
5		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋)) → 𝑌 = (𝑋 − 𝑋))
6		subid 11558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − 𝑋) = 0)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋)) → (𝑋 − 𝑋) = 0)
8	5, 7	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋)) → 𝑌 = 0)
9	8	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = (𝑋 − 𝑋) → 𝑌 = 0))
10	4, 9	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 → 𝑌 = 0))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 → 𝑌 = 0))
12	3, 11	sylbird 263	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 → 𝑌 = 0))
13		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + 0))
14		addrid 11471	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
15	13, 14	sylan9eqr 2818	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
16	15	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
17	16	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
18	12, 17	impbid 215	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 ↔ 𝑌 = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181   + caddc 11184   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524

This theorem is used by:  addn0nid  11717  psdmvr  22470  addsq2nreurex  27753  sqrtcval  44600  line2xlem  49809