Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnzr2 19624
 Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isnzr2 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o𝐵))

Proof of Theorem isnzr2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2 eqid 2825 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31, 2isnzr 19620 . 2 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
4 isnzr2.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
54, 1ringidcl 18922 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
65adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
74, 2ring0cl 18923 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
87adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
9 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
10 df-ne 3000 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
11 neeq1 3061 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝑥𝑦 ↔ (1r𝑅) ≠ 𝑦))
1210, 11syl5bbr 277 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1r𝑅) → (¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ (1r𝑅) ≠ 𝑦))
13 neeq2 3062 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (0g𝑅) → ((1r𝑅) ≠ 𝑦 ↔ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
1412, 13rspc2ev 3541 . . . . . . . 8 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
156, 8, 9, 14syl3anc 1494 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
1615ex 403 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
174, 1, 2ring1eq0 18944 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
18173expb 1153 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
1918necon3bd 3013 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
2019rexlimdvva 3248 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
2116, 20impbid 204 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
224fvexi 6447 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
23 1sdom 8432 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (1o𝐵 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
2422, 23ax-mp 5 . . . . 5 (1o𝐵 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
2521, 24syl6bbr 281 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) ↔ 1o𝐵))
26 1onn 7986 . . . . . 6 1o ∈ ω
27 sucdom 8426 . . . . . 6 (1o ∈ ω → (1o𝐵 ↔ suc 1o𝐵))
2826, 27ax-mp 5 . . . . 5 (1o𝐵 ↔ suc 1o𝐵)
29 df-2o 7827 . . . . . 6 2o = suc 1o
3029breq1i 4880 . . . . 5 (2o𝐵 ↔ suc 1o𝐵)
3128, 30bitr4i 270 . . . 4 (1o𝐵 ↔ 2o𝐵)
3225, 31syl6bb 279 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) ↔ 2o𝐵))
3332pm5.32i 570 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o𝐵))
343, 33bitri 267 1 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∃wrex 3118  Vcvv 3414   class class class wbr 4873  suc csuc 5965  ‘cfv 6123  ωcom 7326  1oc1o 7819  2oc2o 7820   ≼ cdom 8220   ≺ csdm 8221  Basecbs 16222  0gc0g 16453  1rcur 18855  Ringcrg 18901  NzRingcnzr 19618 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-nzr 19619 This theorem is referenced by:  opprnzr  19626  znfld  20268  znidomb  20269  lindsadd  33939
 Copyright terms: Public domain W3C validator