Theorem isnzr2 20535

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnzr2	⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))

Proof of Theorem isnzr2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20531	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4		isnzr2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4, 1	ringidcl 20280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
7	4, 2	ring0cl 20281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10		df-ne 2939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
11		neeq1 3001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
12	10, 11	bitr3id 285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
13		neeq2 3002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → ((1r‘𝑅) ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
14	12, 13	rspc2ev 3635	. . . . . . . 8 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
16	15	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
17	4, 1, 2	ring1eq0 20312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
18	17	3expb 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
19	18	necon3bd 2952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	rexlimdvva 3211	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
21	16, 20	impbid 212	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
22	4	fvexi 6921	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
23		1sdom 9282	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (1o ≺ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
25	21, 24	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ 1o ≺ 𝐵))
26		1onn 8677	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
27		sucdom 9269	. . . . . 6 ⊢ (1o ∈ ω → (1o ≺ 𝐵 ↔ suc 1o ≼ 𝐵))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐵 ↔ suc 1o ≼ 𝐵)
29		df-2o 8506	. . . . . 6 ⊢ 2o = suc 1o
30	29	breq1i 5155	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ 𝐵 ↔ suc 1o ≼ 𝐵)
31	28, 30	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐵 ↔ 2o ≼ 𝐵)
32	25, 31	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ 2o ≼ 𝐵))
33	32	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))
34	3, 33	bitri 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  suc csuc 6388  ‘cfv 6563  ωcom 7887  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  NzRingcnzr 20529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530

This theorem is referenced by:  znfld  21597  znidomb  21598