Theorem isnzr2 20490

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnzr2	⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))

Proof of Theorem isnzr2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20486	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4		isnzr2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4, 1	ringidcl 20237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
7	4, 2	ring0cl 20239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
9		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10		df-ne 2935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
11		neeq1 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
12	10, 11	bitr3id 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
13		neeq2 2997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → ((1r‘𝑅) ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
14	12, 13	rspc2ev 3573	. . . . . . . 8 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
16	15	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
17	4, 1, 2	ring1eq0 20270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
18	17	3expb 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
19	18	necon3bd 2948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	rexlimdvva 3196	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
21	16, 20	impbid 213	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
22	4	fvexi 6841	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
23		1sdom 9155	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (1o ≺ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
25	21, 24	bitr4di 290	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ 1o ≺ 𝐵))
26		1onn 8566	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
27		sucdom 9144	. . . . . 6 ⊢ (1o ∈ ω → (1o ≺ 𝐵 ↔ suc 1o ≼ 𝐵))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐵 ↔ suc 1o ≼ 𝐵)
29		df-2o 8396	. . . . . 6 ⊢ 2o = suc 1o
30	29	breq1i 5079	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ 𝐵 ↔ suc 1o ≼ 𝐵)
31	28, 30	bitr4i 279	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐵 ↔ 2o ≼ 𝐵)
32	25, 31	bitrdi 288	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ 2o ≼ 𝐵))
33	32	pm5.32i 579	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))
34	3, 33	bitri 276	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   class class class wbr 5072  suc csuc 6312  ‘cfv 6485  ωcom 7806  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389   ≼ cdom 8881   ≺ csdm 8882  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  NzRingcnzr 20484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-nzr 20485

This theorem is referenced by:  znfld  21535  znidomb  21536