Theorem harsucnn 9980

Description: The next cardinal after a finite ordinal is the successor ordinal. (Contributed by RP, 5-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
harsucnn	⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)

Proof of Theorem harsucnn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7864	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onenon 9931	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3		harval2 9979	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (har‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥})
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥})
5		sucdom 9200	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝑥))
6	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝑥))
7		peano2 7882	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
8		nndomog 9193	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴 ≼ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
9	7, 8	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴 ≼ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
10	6, 9	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
11	10	rabbidva 3429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥} = {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥})
12	11	inteqd 4918	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥})
13		nnon 7864	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ On)
14		intmin 4934	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥} = suc 𝐴)
15	7, 13, 14	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥} = suc 𝐴)
16	4, 12, 15	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ⊆ wss 3913  ∩ cint 4913   class class class wbr 5110  dom cdm 5659  Oncon0 6357  suc csuc 6359  ‘cfv 6533  ωcom 7858   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  harchar 9514  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9468  df-har 9515  df-card 9921

This theorem is referenced by:  har2o  44157