Theorem harsucnn 9995

Description: The next cardinal after a finite ordinal is the successor ordinal. (Contributed by RP, 5-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
harsucnn	⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)

Proof of Theorem harsucnn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7858	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onenon 9946	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3		harval2 9994	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (har‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥})
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥})
5		sucdom 9237	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝑥))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝑥))
7		peano2 7878	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
8		nndomog 9218	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴 ≼ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
9	7, 8	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴 ≼ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
10	6, 9	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
11	10	rabbidva 3433	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥} = {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥})
12	11	inteqd 4948	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥})
13		nnon 7858	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ On)
14		intmin 4965	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥} = suc 𝐴)
15	7, 13, 14	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥} = suc 𝐴)
16	4, 12, 15	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   ⊆ wss 3943  ∩ cint 4943   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  Oncon0 6358  suc csuc 6360  ‘cfv 6537  ωcom 7852   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940  harchar 9553  cardccrd 9932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-har 9554  df-card 9936

This theorem is referenced by:  har2o  42870