MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harsucnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harsucnn 10027
Description: The next cardinal after a finite ordinal is the successor ordinal. (Contributed by RP, 5-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
harsucnn (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)

Proof of Theorem harsucnn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7880 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 onenon 9978 . . 3 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3 harval2 10026 . . 3 (𝐴 ∈ dom card → (har‘𝐴) = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴𝑥})
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴𝑥})
5 sucdom 9264 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
65adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
7 peano2 7900 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
8 nndomog 9245 . . . . . 6 ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
97, 8sylan 578 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
106, 9bitrd 278 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
1110rabbidva 3435 . . 3 (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴𝑥} = {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴𝑥})
1211inteqd 4956 . 2 (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴𝑥} = {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴𝑥})
13 nnon 7880 . . 3 (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ On)
14 intmin 4973 . . 3 (suc 𝐴 ∈ On → {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴𝑥} = suc 𝐴)
157, 13, 143syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴𝑥} = suc 𝐴)
164, 12, 153eqtrd 2771 1 (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3428  wss 3947   cint 4951   class class class wbr 5150  dom cdm 5680  Oncon0 6372  suc csuc 6374  cfv 6551  ωcom 7874  cdom 8966  csdm 8967  harchar 9585  cardccrd 9964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-oi 9539  df-har 9586  df-card 9968
This theorem is referenced by:  har2o  42979
  Copyright terms: Public domain W3C validator