Theorem harsucnn 10029

Description: The next cardinal after a finite ordinal is the successor ordinal. (Contributed by RP, 5-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
harsucnn	⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)

Proof of Theorem harsucnn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7882	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onenon 9980	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3		harval2 10028	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (har‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥})
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥})
5		sucdom 9266	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝑥))
6	5	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝑥))
7		peano2 7902	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
8		nndomog 9247	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴 ≼ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
9	7, 8	sylan 578	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴 ≼ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
10	6, 9	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
11	10	rabbidva 3437	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥} = {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥})
12	11	inteqd 4958	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥})
13		nnon 7882	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ On)
14		intmin 4975	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥} = suc 𝐴)
15	7, 13, 14	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥} = suc 𝐴)
16	4, 12, 15	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   ⊆ wss 3949  ∩ cint 4953   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  Oncon0 6374  suc csuc 6376  ‘cfv 6553  ωcom 7876   ≼ cdom 8968   ≺ csdm 8969  harchar 9587  cardccrd 9966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-oi 9541  df-har 9588  df-card 9970

This theorem is referenced by:  har2o  43007