Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  harsucnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harsucnn 40034
 Description: The next cardinal after a finite ordinal is the successor ordinal. (Contributed by RP, 5-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
harsucnn (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)

Proof of Theorem harsucnn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7560 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 onenon 9352 . . 3 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3 harval2 9400 . . 3 (𝐴 ∈ dom card → (har‘𝐴) = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴𝑥})
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴𝑥})
5 sucdom 8689 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
65adantr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
7 peano2 7576 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
8 nndomog 40028 . . . . . 6 ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
97, 8sylan 582 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
106, 9bitrd 281 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
1110rabbidva 3454 . . 3 (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴𝑥} = {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴𝑥})
1211inteqd 4853 . 2 (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴𝑥} = {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴𝑥})
13 nnon 7560 . . 3 (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ On)
14 intmin 4868 . . 3 (suc 𝐴 ∈ On → {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴𝑥} = suc 𝐴)
157, 13, 143syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴𝑥} = suc 𝐴)
164, 12, 153eqtrd 2859 1 (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3129   ⊆ wss 3909  ∩ cint 4848   class class class wbr 5038  dom cdm 5527  Oncon0 6163  suc csuc 6165  ‘cfv 6327  ωcom 7554   ≼ cdom 8481   ≺ csdm 8482  harchar 8994  cardccrd 9338 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-om 7555  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-1o 8076  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-oi 8948  df-har 8996  df-card 9342 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator