Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  harsucnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harsucnn 40034
Description: The next cardinal after a finite ordinal is the successor ordinal. (Contributed by RP, 5-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
harsucnn (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)

Proof of Theorem harsucnn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7560 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 onenon 9352 . . 3 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3 harval2 9400 . . 3 (𝐴 ∈ dom card → (har‘𝐴) = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴𝑥})
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴𝑥})
5 sucdom 8689 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
65adantr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
7 peano2 7576 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
8 nndomog 40028 . . . . . 6 ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
97, 8sylan 582 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
106, 9bitrd 281 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
1110rabbidva 3454 . . 3 (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴𝑥} = {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴𝑥})
1211inteqd 4853 . 2 (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴𝑥} = {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴𝑥})
13 nnon 7560 . . 3 (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ On)
14 intmin 4868 . . 3 (suc 𝐴 ∈ On → {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴𝑥} = suc 𝐴)
157, 13, 143syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴𝑥} = suc 𝐴)
164, 12, 153eqtrd 2859 1 (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  {crab 3129  wss 3909   cint 4848   class class class wbr 5038  dom cdm 5527  Oncon0 6163  suc csuc 6165  cfv 6327  ωcom 7554  cdom 8481  csdm 8482  harchar 8994  cardccrd 9338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-om 7555  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-1o 8076  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-oi 8948  df-har 8996  df-card 9342
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator