Theorem harsucnn 9992

Description: The next cardinal after a finite ordinal is the successor ordinal. (Contributed by RP, 5-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
harsucnn	⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)

Proof of Theorem harsucnn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7860	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onenon 9943	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3		harval2 9991	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (har‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥})
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥})
5		sucdom 9234	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝑥))
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝑥))
7		peano2 7880	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
8		nndomog 9215	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴 ≼ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
9	7, 8	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴 ≼ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
10	6, 9	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
11	10	rabbidva 3439	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥} = {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥})
12	11	inteqd 4955	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥})
13		nnon 7860	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ On)
14		intmin 4972	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥} = suc 𝐴)
15	7, 13, 14	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥} = suc 𝐴)
16	4, 12, 15	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   ⊆ wss 3948  ∩ cint 4950   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ‘cfv 6543  ωcom 7854   ≼ cdom 8936   ≺ csdm 8937  harchar 9550  cardccrd 9929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-har 9551  df-card 9933

This theorem is referenced by:  har2o  42287