Theorem harsucnn 10027

Description: The next cardinal after a finite ordinal is the successor ordinal. (Contributed by RP, 5-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
harsucnn	⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)

Proof of Theorem harsucnn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7880	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onenon 9978	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3		harval2 10026	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (har‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥})
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥})
5		sucdom 9264	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝑥))
6	5	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝑥))
7		peano2 7900	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
8		nndomog 9245	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴 ≼ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
9	7, 8	sylan 578	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (suc 𝐴 ≼ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
10	6, 9	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝑥))
11	10	rabbidva 3435	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥} = {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥})
12	11	inteqd 4956	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝐴 ≺ 𝑥} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥})
13		nnon 7880	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ On)
14		intmin 4973	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥} = suc 𝐴)
15	7, 13, 14	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ suc 𝐴 ⊆ 𝑥} = suc 𝐴)
16	4, 12, 15	3eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (har‘𝐴) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3428   ⊆ wss 3947  ∩ cint 4951   class class class wbr 5150  dom cdm 5680  Oncon0 6372  suc csuc 6374  ‘cfv 6551  ωcom 7874   ≼ cdom 8966   ≺ csdm 8967  harchar 9585  cardccrd 9964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-oi 9539  df-har 9586  df-card 9968

This theorem is referenced by:  har2o  42979