MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harsucnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harsucnn 9939
Description: The next cardinal after a finite ordinal is the successor ordinal. (Contributed by RP, 5-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
harsucnn (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (harβ€˜π΄) = suc 𝐴)

Proof of Theorem harsucnn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7809 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ On)
2 onenon 9890 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ 𝐴 ∈ dom card)
3 harval2 9938 . . 3 (𝐴 ∈ dom card β†’ (harβ€˜π΄) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ 𝐴 β‰Ί π‘₯})
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (harβ€˜π΄) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ 𝐴 β‰Ί π‘₯})
5 sucdom 9182 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 β‰Ί π‘₯ ↔ suc 𝐴 β‰Ό π‘₯))
65adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (𝐴 β‰Ί π‘₯ ↔ suc 𝐴 β‰Ό π‘₯))
7 peano2 7828 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ suc 𝐴 ∈ Ο‰)
8 nndomog 9163 . . . . . 6 ((suc 𝐴 ∈ Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (suc 𝐴 β‰Ό π‘₯ ↔ suc 𝐴 βŠ† π‘₯))
97, 8sylan 581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (suc 𝐴 β‰Ό π‘₯ ↔ suc 𝐴 βŠ† π‘₯))
106, 9bitrd 279 . . . 4 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (𝐴 β‰Ί π‘₯ ↔ suc 𝐴 βŠ† π‘₯))
1110rabbidva 3413 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ {π‘₯ ∈ On ∣ 𝐴 β‰Ί π‘₯} = {π‘₯ ∈ On ∣ suc 𝐴 βŠ† π‘₯})
1211inteqd 4913 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ 𝐴 β‰Ί π‘₯} = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ suc 𝐴 βŠ† π‘₯})
13 nnon 7809 . . 3 (suc 𝐴 ∈ Ο‰ β†’ suc 𝐴 ∈ On)
14 intmin 4930 . . 3 (suc 𝐴 ∈ On β†’ ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ suc 𝐴 βŠ† π‘₯} = suc 𝐴)
157, 13, 143syl 18 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ suc 𝐴 βŠ† π‘₯} = suc 𝐴)
164, 12, 153eqtrd 2777 1 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (harβ€˜π΄) = suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406   βŠ† wss 3911  βˆ© cint 4908   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  Oncon0 6318  suc csuc 6320  β€˜cfv 6497  Ο‰com 7803   β‰Ό cdom 8884   β‰Ί csdm 8885  harchar 9497  cardccrd 9876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9451  df-har 9498  df-card 9880
This theorem is referenced by:  har2o  41906
  Copyright terms: Public domain W3C validator