Theorem tcel 9698

Description: The transitive closure function converts the element relation to the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
tc2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tcel	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (TC‘𝐵) ⊆ (TC‘𝐴))

Proof of Theorem tcel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcvalg 9691	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (TC‘𝐵) = ∩ {𝑥 ∣ (𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
2		ssel 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑥 → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑥))
3		trss 5225	. . . . . . . . 9 ⊢ (Tr 𝑥 → (𝐵 ∈ 𝑥 → 𝐵 ⊆ 𝑥))
4	3	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑥 → (Tr 𝑥 → 𝐵 ⊆ 𝑥))
5	2, 4	syl6com 37	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝑥 → (Tr 𝑥 → 𝐵 ⊆ 𝑥)))
6	5	impd 410	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥) → 𝐵 ⊆ 𝑥))
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥) → Tr 𝑥)
8	6, 7	jca2 513	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥) → (𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)))
9	8	ss2abdv 4029	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝑥 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ⊆ {𝑥 ∣ (𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
10		intss 4933	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ⊆ {𝑥 ∣ (𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} → ∩ {𝑥 ∣ (𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ⊆ ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∩ {𝑥 ∣ (𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ⊆ ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
12		tc2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
13		tcvalg 9691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (TC‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (TC‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
15	11, 14	sseqtrrdi 3988	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∩ {𝑥 ∣ (𝐵 ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ⊆ (TC‘𝐴))
16	1, 15	eqsstrd 3981	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (TC‘𝐵) ⊆ (TC‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∩ cint 4910  Tr wtr 5214  ‘cfv 6511  TCctc 9689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-tc 9690

This theorem is referenced by:  tcrank  9837  hsmexlem4  10382