Theorem tcsni 9510

Description: The transitive closure of a singleton. Proof suggested by Gérard Lang. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tc2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tcsni	⊢ (TC‘{𝐴}) = ((TC‘𝐴) ∪ {𝐴})

Proof of Theorem tcsni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tc2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	snss 4719	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑥)
3	2	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥) ↔ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥))
4	3	abbii 2808	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} = {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
5	4	inteqi 4883	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} = ∩ {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
6	1	tc2 9509	. 2 ⊢ ((TC‘𝐴) ∪ {𝐴}) = ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
7		snex 5352	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
8		tcvalg 9505	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ V → (TC‘{𝐴}) = ∩ {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (TC‘{𝐴}) = ∩ {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
10	5, 6, 9	3eqtr4ri 2777	1 ⊢ (TC‘{𝐴}) = ((TC‘𝐴) ∪ {𝐴})

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  Vcvv 3429   ∪ cun 3884   ⊆ wss 3886  {csn 4561  ∩ cint 4879  Tr wtr 5190  ‘cfv 6426  TCctc 9503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-ov 7270  df-om 7703  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-tc 9504

This theorem is referenced by: (None)