Theorem tcsni 9726

Description: The transitive closure of a singleton. Proof suggested by Gérard Lang. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tc2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tcsni	⊢ (TC‘{𝐴}) = ((TC‘𝐴) ∪ {𝐴})

Proof of Theorem tcsni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tc2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	snss 4745	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑥)
3	2	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥) ↔ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥))
4	3	abbii 2828	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} = {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
5	4	inteqi 4911	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} = ∩ {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
6	1	tc2 9725	. 2 ⊢ ((TC‘𝐴) ∪ {𝐴}) = ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
7		snex 5397	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
8		tcvalg 9721	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ V → (TC‘{𝐴}) = ∩ {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (TC‘{𝐴}) = ∩ {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
10	5, 6, 9	3eqtr4ri 2795	1 ⊢ (TC‘{𝐴}) = ((TC‘𝐴) ∪ {𝐴})

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  Vcvv 3451   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∩ cint 4907  Tr wtr 5212  ‘cfv 6531  TCctc 9719

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-tc 9720

This theorem is used by: (None)