Theorem tcsni 9772

Description: The transitive closure of a singleton. Proof suggested by Gérard Lang. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tc2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tcsni	⊢ (TC‘{𝐴}) = ((TC‘𝐴) ∪ {𝐴})

Proof of Theorem tcsni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tc2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	snss 4745	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑥)
3	2	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥) ↔ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥))
4	3	abbii 2830	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} = {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
5	4	inteqi 4914	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} = ∩ {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
6	1	tc2 9771	. 2 ⊢ ((TC‘𝐴) ∪ {𝐴}) = ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
7		snex 5402	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
8		tcvalg 9767	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ V → (TC‘{𝐴}) = ∩ {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (TC‘{𝐴}) = ∩ {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
10	5, 6, 9	3eqtr4ri 2797	1 ⊢ (TC‘{𝐴}) = ((TC‘𝐴) ∪ {𝐴})

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588  ∩ cint 4910  Tr wtr 5216  ‘cfv 6561  TCctc 9765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-tc 9766

This theorem is used by: (None)