Theorem tcsni 9185

Description: The transitive closure of a singleton. Proof suggested by Gérard Lang. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tc2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tcsni	⊢ (TC‘{𝐴}) = ((TC‘𝐴) ∪ {𝐴})

Proof of Theorem tcsni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tc2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	snss 4718	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑥)
3	2	anbi1i 625	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥) ↔ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥))
4	3	abbii 2886	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} = {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
5	4	inteqi 4880	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)} = ∩ {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
6	1	tc2 9184	. 2 ⊢ ((TC‘𝐴) ∪ {𝐴}) = ∩ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
7		snex 5332	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
8		tcvalg 9180	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ V → (TC‘{𝐴}) = ∩ {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (TC‘{𝐴}) = ∩ {𝑥 ∣ ({𝐴} ⊆ 𝑥 ∧ Tr 𝑥)}
10	5, 6, 9	3eqtr4ri 2855	1 ⊢ (TC‘{𝐴}) = ((TC‘𝐴) ∪ {𝐴})

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {cab 2799  Vcvv 3494   ∪ cun 3934   ⊆ wss 3936  {csn 4567  ∩ cint 4876  Tr wtr 5172  ‘cfv 6355  TCctc 9178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-tc 9179

This theorem is referenced by: (None)