MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcsni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcsni 9686
Description: The transitive closure of a singleton. Proof suggested by GΓ©rard Lang. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tc2.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
tcsni (TCβ€˜{𝐴}) = ((TCβ€˜π΄) βˆͺ {𝐴})

Proof of Theorem tcsni
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tc2.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
21snss 4751 . . . . 5 (𝐴 ∈ π‘₯ ↔ {𝐴} βŠ† π‘₯)
32anbi1i 625 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘₯ ∧ Tr π‘₯) ↔ ({𝐴} βŠ† π‘₯ ∧ Tr π‘₯))
43abbii 2807 . . 3 {π‘₯ ∣ (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ Tr π‘₯)} = {π‘₯ ∣ ({𝐴} βŠ† π‘₯ ∧ Tr π‘₯)}
54inteqi 4916 . 2 ∩ {π‘₯ ∣ (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ Tr π‘₯)} = ∩ {π‘₯ ∣ ({𝐴} βŠ† π‘₯ ∧ Tr π‘₯)}
61tc2 9685 . 2 ((TCβ€˜π΄) βˆͺ {𝐴}) = ∩ {π‘₯ ∣ (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ Tr π‘₯)}
7 snex 5393 . . 3 {𝐴} ∈ V
8 tcvalg 9681 . . 3 ({𝐴} ∈ V β†’ (TCβ€˜{𝐴}) = ∩ {π‘₯ ∣ ({𝐴} βŠ† π‘₯ ∧ Tr π‘₯)})
97, 8ax-mp 5 . 2 (TCβ€˜{𝐴}) = ∩ {π‘₯ ∣ ({𝐴} βŠ† π‘₯ ∧ Tr π‘₯)}
105, 6, 93eqtr4ri 2776 1 (TCβ€˜{𝐴}) = ((TCβ€˜π΄) βˆͺ {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  Vcvv 3448   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  {csn 4591  βˆ© cint 4912  Tr wtr 5227  β€˜cfv 6501  TCctc 9679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-tc 9680
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator