Theorem fundmfibi 9303

Description: A function is finite if and only if its domain is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fundmfibi	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem fundmfibi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfi 9302	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom 𝐹 ∈ Fin)
2		funfn 6563	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
3		fnfi 9172	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
4	2, 3	sylanb 593	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
5	4	ex 418	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (dom 𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin))
6	1, 5	impbid2 229	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  dom cdm 5655  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  Fincfn 8952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8455  df-en 8953  df-dom 8954  df-fin 8956

This theorem is used by:  f1dmvrnfibi  9308  tfsnfin2  9330  negfi  12188  hashfundm  14507  vtxdgfusgrf  29957  tfsnfin  44193  fmtnoinf  48439