Theorem fundmfibi 9263

Description: A function is finite if and only if its domain is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fundmfibi	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem fundmfibi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfi 9262	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom 𝐹 ∈ Fin)
2		funfn 6530	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
3		fnfi 9119	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
4	2, 3	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
5	4	ex 412	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (dom 𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin))
6	1, 5	impbid2 226	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  dom cdm 5631  Fun wfun 6493   Fn wfn 6494  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-1o 8411  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9268  negfi  12108  hashfundm  14383  vtxdgfusgrf  29401  tfsnfin  43314  fmtnoinf  47510