Theorem fundmfibi 9289

Description: A function is finite if and only if its domain is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fundmfibi	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem fundmfibi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfi 9288	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom 𝐹 ∈ Fin)
2		funfn 6566	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
3		fnfi 9158	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
4	2, 3	sylanb 592	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
5	4	ex 417	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (dom 𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin))
6	1, 5	impbid2 229	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143  dom cdm 5661  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-1o 8449  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9294  tfsnfin2  9316  negfi  12159  hashfundm  14475  vtxdgfusgrf  29847  tfsnfin  44079  fmtnoinf  48288