MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fundmfibi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fundmfibi 9334
Description: A function is finite if and only if its domain is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
fundmfibi (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem fundmfibi
StepHypRef Expression
1 dmfi 9333 . 2 (𝐹 ∈ Fin → dom 𝐹 ∈ Fin)
2 funfn 6578 . . . 4 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
3 fnfi 9184 . . . 4 ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
42, 3sylanb 580 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
54ex 412 . 2 (Fun 𝐹 → (dom 𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin))
61, 5impbid2 225 1 (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2105  dom cdm 5676  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  Fincfn 8942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-fin 8946
This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9339  negfi  12168  hashfundm  14407  vtxdgfusgrf  29022  tfsnfin  42405  fmtnoinf  46503
  Copyright terms: Public domain W3C validator