Theorem fundmfibi 9376

Description: A function is finite if and only if its domain is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fundmfibi	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem fundmfibi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfi 9375	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom 𝐹 ∈ Fin)
2		funfn 6596	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
3		fnfi 9218	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
4	2, 3	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
5	4	ex 412	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (dom 𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin))
6	1, 5	impbid2 226	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  dom cdm 5685  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  Fincfn 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-en 8986  df-dom 8987  df-fin 8989

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9381  negfi  12217  hashfundm  14481  vtxdgfusgrf  29515  tfsnfin  43365  fmtnoinf  47523