MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcmpb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txcmpb 23148
Description: The topological product of two nonempty topologies is compact iff the component topologies are both compact. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txcmpb.1 𝑋 = βˆͺ 𝑅
txcmpb.2 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
Assertion
Ref Expression
txcmpb (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp ↔ (𝑅 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ Comp)))
Proof of Theorem txcmpb
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp)
2 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
3 fo1stres 8001 . . . . . . 7 (π‘Œ β‰  βˆ… β†’ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑋)
42, 3syl 17 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑋)
5 txcmpb.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = βˆͺ 𝑅
6 txcmpb.2 . . . . . . . . 9 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
75, 6txuni 23096 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
87ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
9 foeq2 6803 . . . . . . 7 ((𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆) β†’ ((1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑋 ↔ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–onto→𝑋))
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ ((1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑋 ↔ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–onto→𝑋))
114, 10mpbid 231 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–onto→𝑋)
125toptopon 22419 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
136toptopon 22419 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
14 tx1cn 23113 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
1512, 13, 14syl2anb 599 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
1615ad2antrr 725 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
175cncmp 22896 . . . . 5 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp ∧ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–onto→𝑋 ∧ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ Comp)
181, 11, 16, 17syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ 𝑅 ∈ Comp)
19 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
20 fo2ndres 8002 . . . . . . 7 (𝑋 β‰  βˆ… β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–ontoβ†’π‘Œ)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–ontoβ†’π‘Œ)
22 foeq2 6803 . . . . . . 7 ((𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆) β†’ ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–ontoβ†’π‘Œ ↔ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–ontoβ†’π‘Œ))
238, 22syl 17 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–ontoβ†’π‘Œ ↔ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–ontoβ†’π‘Œ))
2421, 23mpbid 231 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–ontoβ†’π‘Œ)
25 tx2cn 23114 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
2612, 13, 25syl2anb 599 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
2726ad2antrr 725 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
286cncmp 22896 . . . . 5 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp ∧ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–ontoβ†’π‘Œ ∧ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ Comp)
291, 24, 27, 28syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ 𝑆 ∈ Comp)
3018, 29jca 513 . . 3 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (𝑅 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ Comp))
3130ex 414 . 2 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp β†’ (𝑅 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ Comp)))
32 txcmp 23147 . 2 ((𝑅 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ Comp) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp)
3331, 32impbid1 224 1 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp ↔ (𝑅 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ Comp)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  Compccmp 22890   Γ—t ctx 23064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cmp 22891  df-tx 23066
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator