MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcmpb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txcmpb 23147
Description: The topological product of two nonempty topologies is compact iff the component topologies are both compact. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txcmpb.1 𝑋 = βˆͺ 𝑅
txcmpb.2 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
Assertion
Ref Expression
txcmpb (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp ↔ (𝑅 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ Comp)))
Proof of Theorem txcmpb
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp)
2 simplrr 776 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
3 fo1stres 8000 . . . . . . 7 (π‘Œ β‰  βˆ… β†’ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑋)
42, 3syl 17 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑋)
5 txcmpb.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = βˆͺ 𝑅
6 txcmpb.2 . . . . . . . . 9 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
75, 6txuni 23095 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
87ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
9 foeq2 6802 . . . . . . 7 ((𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆) β†’ ((1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑋 ↔ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–onto→𝑋))
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ ((1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑋 ↔ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–onto→𝑋))
114, 10mpbid 231 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–onto→𝑋)
125toptopon 22418 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
136toptopon 22418 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
14 tx1cn 23112 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
1512, 13, 14syl2anb 598 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
1615ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
175cncmp 22895 . . . . 5 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp ∧ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–onto→𝑋 ∧ (1st β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ Comp)
181, 11, 16, 17syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ 𝑅 ∈ Comp)
19 simplrl 775 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
20 fo2ndres 8001 . . . . . . 7 (𝑋 β‰  βˆ… β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–ontoβ†’π‘Œ)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–ontoβ†’π‘Œ)
22 foeq2 6802 . . . . . . 7 ((𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆) β†’ ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–ontoβ†’π‘Œ ↔ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–ontoβ†’π‘Œ))
238, 22syl 17 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–ontoβ†’π‘Œ ↔ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–ontoβ†’π‘Œ))
2421, 23mpbid 231 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–ontoβ†’π‘Œ)
25 tx2cn 23113 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
2612, 13, 25syl2anb 598 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
2726ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
286cncmp 22895 . . . . 5 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp ∧ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)–ontoβ†’π‘Œ ∧ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ Comp)
291, 24, 27, 28syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ 𝑆 ∈ Comp)
3018, 29jca 512 . . 3 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp) β†’ (𝑅 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ Comp))
3130ex 413 . 2 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp β†’ (𝑅 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ Comp)))
32 txcmp 23146 . 2 ((𝑅 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ Comp) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp)
3331, 32impbid1 224 1 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Comp ↔ (𝑅 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ Comp)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4322  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  Topctop 22394  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727  Compccmp 22889   Γ—t ctx 23063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-fin 8942  df-topgen 17388  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cmp 22890  df-tx 23065
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator