Theorem bj-minftyccb 37213

Description: The class -∞ is an extended complex number. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-minftyccb	⊢ -∞ ∈ ℂ̅

Proof of Theorem bj-minftyccb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-ccinftyssccbar 37206	. 2 ⊢ ℂ∞ ⊆ ℂ̅
2		df-bj-inftyexpi 37195	. . . . 5 ⊢ +∞ei = (𝑥 ∈ (-π(,]π) ↦ ⟨𝑥, ℂ⟩)
3	2	funmpt2 6555	. . . 4 ⊢ Fun +∞ei
4		pire 26366	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
5	4	renegcli 11483	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
6	5	rexri 11232	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℝ*
7	4	rexri 11232	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
8		pipos 26368	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
9		0re 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
10	9, 4	ltnegi 11722	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < π ↔ -π < -0)
11	8, 10	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ -π < -0
12		neg0 11468	. . . . . . . 8 ⊢ -0 = 0
13	11, 12	breqtri 5132	. . . . . . 7 ⊢ -π < 0
14	5, 9, 4	lttri 11300	. . . . . . 7 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
15	13, 8, 14	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ -π < π
16		ubioc1 13360	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π < π) → π ∈ (-π(,]π))
17	6, 7, 15, 16	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ π ∈ (-π(,]π)
18		opex 5424	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑥, ℂ⟩ ∈ V
19	18, 2	dmmpti 6662	. . . . 5 ⊢ dom +∞ei = (-π(,]π)
20	17, 19	eleqtrri 2827	. . . 4 ⊢ π ∈ dom +∞ei
21		fvelrn 7048	. . . 4 ⊢ ((Fun +∞ei ∧ π ∈ dom +∞ei) → (+∞ei‘π) ∈ ran +∞ei)
22	3, 20, 21	mp2an 692	. . 3 ⊢ (+∞ei‘π) ∈ ran +∞ei
23		df-bj-minfty 37212	. . 3 ⊢ -∞ = (+∞ei‘π)
24		df-bj-ccinfty 37200	. . 3 ⊢ ℂ∞ = ran +∞ei
25	22, 23, 24	3eltr4i 2841	. 2 ⊢ -∞ ∈ ℂ∞
26	1, 25	sselii 3943	1 ⊢ -∞ ∈ ℂ̅

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ran crn 5639  Fun wfun 6505  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208  -cneg 11406  (,]cioc 13307  πcpi 16032  +∞eⁱcinftyexpi 37194  ℂ_∞cccinfty 37199  ℂ̅cccbar 37203  -∞cminfty 37211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-bj-inftyexpi 37195  df-bj-ccinfty 37200  df-bj-ccbar 37204  df-bj-minfty 37212

This theorem is referenced by: (None)