Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-minftyccb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-minftyccb 35494
Description: The class -∞ is an extended complex number. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-minftyccb -∞ ∈ ℂ̅

Proof of Theorem bj-minftyccb
StepHypRef Expression
1 bj-ccinftyssccbar 35487 . 2 ⊆ ℂ̅
2 df-bj-inftyexpi 35476 . . . . 5 +∞ei = (𝑥 ∈ (-π(,]π) ↦ ⟨𝑥, ℂ⟩)
32funmpt2 6517 . . . 4 Fun +∞ei
4 pire 25713 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
54renegcli 11375 . . . . . . 7 -π ∈ ℝ
65rexri 11126 . . . . . 6 -π ∈ ℝ*
74rexri 11126 . . . . . 6 π ∈ ℝ*
8 pipos 25715 . . . . . . . . 9 0 < π
9 0re 11070 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
109, 4ltnegi 11612 . . . . . . . . 9 (0 < π ↔ -π < -0)
118, 10mpbi 229 . . . . . . . 8 -π < -0
12 neg0 11360 . . . . . . . 8 -0 = 0
1311, 12breqtri 5114 . . . . . . 7 -π < 0
145, 9, 4lttri 11194 . . . . . . 7 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
1513, 8, 14mp2an 689 . . . . . 6 -π < π
16 ubioc1 13225 . . . . . 6 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π < π) → π ∈ (-π(,]π))
176, 7, 15, 16mp3an 1460 . . . . 5 π ∈ (-π(,]π)
18 opex 5403 . . . . . 6 𝑥, ℂ⟩ ∈ V
1918, 2dmmpti 6622 . . . . 5 dom +∞ei = (-π(,]π)
2017, 19eleqtrri 2836 . . . 4 π ∈ dom +∞ei
21 fvelrn 7004 . . . 4 ((Fun +∞ei ∧ π ∈ dom +∞ei) → (+∞ei‘π) ∈ ran +∞ei)
223, 20, 21mp2an 689 . . 3 (+∞ei‘π) ∈ ran +∞ei
23 df-bj-minfty 35493 . . 3 -∞ = (+∞ei‘π)
24 df-bj-ccinfty 35481 . . 3 = ran +∞ei
2522, 23, 243eltr4i 2850 . 2 -∞ ∈ ℂ
261, 25sselii 3928 1 -∞ ∈ ℂ̅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  cop 4578   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ran crn 5615  Fun wfun 6467  cfv 6473  (class class class)co 7329  cc 10962  0cc0 10964  *cxr 11101   < clt 11102  -cneg 11299  (,]cioc 13173  πcpi 15867  +∞eicinftyexpi 35475  cccinfty 35480  ℂ̅cccbar 35484  -∞cminfty 35492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-ioc 13177  df-ico 13178  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-fl 13605  df-seq 13815  df-exp 13876  df-fac 14081  df-bc 14110  df-hash 14138  df-shft 14869  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-limsup 15271  df-clim 15288  df-rlim 15289  df-sum 15489  df-ef 15868  df-sin 15870  df-cos 15871  df-pi 15873  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-rest 17222  df-topn 17223  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-topgen 17243  df-pt 17244  df-prds 17247  df-xrs 17302  df-qtop 17307  df-imas 17308  df-xps 17310  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-mulg 18789  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-fbas 20692  df-fg 20693  df-cnfld 20696  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-cld 22268  df-ntr 22269  df-cls 22270  df-nei 22347  df-lp 22385  df-perf 22386  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-haus 22564  df-tx 22811  df-hmeo 23004  df-fil 23095  df-fm 23187  df-flim 23188  df-flf 23189  df-xms 23571  df-ms 23572  df-tms 23573  df-cncf 24139  df-limc 25128  df-dv 25129  df-bj-inftyexpi 35476  df-bj-ccinfty 35481  df-bj-ccbar 35485  df-bj-minfty 35493
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator