Theorem bj-minftyccb 37545

Description: The class -∞ is an extended complex number. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-minftyccb	⊢ -∞ ∈ ℂ̅

Proof of Theorem bj-minftyccb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-ccinftyssccbar 37538	. 2 ⊢ ℂ∞ ⊆ ℂ̅
2		df-bj-inftyexpi 37527	. . . . 5 ⊢ +∞ei = (𝑥 ∈ (-π(,]π) ↦ ⟨𝑥, ℂ⟩)
3	2	funmpt2 6529	. . . 4 ⊢ Fun +∞ei
4		pire 26432	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
5	4	renegcli 11444	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
6	5	rexri 11192	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℝ*
7	4	rexri 11192	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
8		pipos 26434	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
9		0re 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
10	9, 4	ltnegi 11683	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < π ↔ -π < -0)
11	8, 10	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ -π < -0
12		neg0 11429	. . . . . . . 8 ⊢ -0 = 0
13	11, 12	breqtri 5111	. . . . . . 7 ⊢ -π < 0
14	5, 9, 4	lttri 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
15	13, 8, 14	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ -π < π
16		ubioc1 13341	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π < π) → π ∈ (-π(,]π))
17	6, 7, 15, 16	mp3an 1464	. . . . 5 ⊢ π ∈ (-π(,]π)
18		opex 5409	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑥, ℂ⟩ ∈ V
19	18, 2	dmmpti 6634	. . . . 5 ⊢ dom +∞ei = (-π(,]π)
20	17, 19	eleqtrri 2836	. . . 4 ⊢ π ∈ dom +∞ei
21		fvelrn 7020	. . . 4 ⊢ ((Fun +∞ei ∧ π ∈ dom +∞ei) → (+∞ei‘π) ∈ ran +∞ei)
22	3, 20, 21	mp2an 693	. . 3 ⊢ (+∞ei‘π) ∈ ran +∞ei
23		df-bj-minfty 37544	. . 3 ⊢ -∞ = (+∞ei‘π)
24		df-bj-ccinfty 37532	. . 3 ⊢ ℂ∞ = ran +∞ei
25	22, 23, 24	3eltr4i 2850	. 2 ⊢ -∞ ∈ ℂ∞
26	1, 25	sselii 3919	1 ⊢ -∞ ∈ ℂ̅

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  dom cdm 5622  ran crn 5623  Fun wfun 6484  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  -cneg 11367  (,]cioc 13288  πcpi 16020  +∞eⁱcinftyexpi 37526  ℂ_∞cccinfty 37531  ℂ̅cccbar 37535  -∞cminfty 37543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-ef 16021  df-sin 16023  df-cos 16024  df-pi 16026  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-fbas 21339  df-fg 21340  df-cnfld 21343  df-top 22867  df-topon 22884  df-topsp 22906  df-bases 22919  df-cld 22992  df-ntr 22993  df-cls 22994  df-nei 23071  df-lp 23109  df-perf 23110  df-cn 23200  df-cnp 23201  df-haus 23288  df-tx 23535  df-hmeo 23728  df-fil 23819  df-fm 23911  df-flim 23912  df-flf 23913  df-xms 24293  df-ms 24294  df-tms 24295  df-cncf 24853  df-limc 25841  df-dv 25842  df-bj-inftyexpi 37527  df-bj-ccinfty 37532  df-bj-ccbar 37536  df-bj-minfty 37544

This theorem is referenced by: (None)