Theorem bj-minftyccb 37985

Description: The class -∞ is an extended complex number. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-minftyccb	⊢ -∞ ∈ ℂ̅

Proof of Theorem bj-minftyccb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-ccinftyssccbar 37978	. 2 ⊢ ℂ∞ ⊆ ℂ̅
2		df-bj-inftyexpi 37967	. . . . 5 ⊢ +∞ei = (𝑥 ∈ (-π(,]π) ↦ ⟨𝑥, ℂ⟩)
3	2	funmpt2 6576	. . . 4 ⊢ Fun +∞ei
4		pire 26699	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
5	4	renegcli 11547	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
6	5	rexri 11295	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℝ*
7	4	rexri 11295	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
8		pipos 26703	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
9		0re 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
10	9, 4	ltnegi 11786	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < π ↔ -π < -0)
11	8, 10	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ -π < -0
12		neg0 11532	. . . . . . . 8 ⊢ -0 = 0
13	11, 12	breqtri 5134	. . . . . . 7 ⊢ -π < 0
14	5, 9, 4	lttri 11364	. . . . . . 7 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
15	13, 8, 14	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ -π < π
16		ubioc1 13456	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π < π) → π ∈ (-π(,]π))
17	6, 7, 15, 16	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ π ∈ (-π(,]π)
18		opex 5443	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑥, ℂ⟩ ∈ V
19	18, 2	dmmpti 6680	. . . . 5 ⊢ dom +∞ei = (-π(,]π)
20	17, 19	eleqtrri 2861	. . . 4 ⊢ π ∈ dom +∞ei
21		fvelrn 7073	. . . 4 ⊢ ((Fun +∞ei ∧ π ∈ dom +∞ei) → (+∞ei‘π) ∈ ran +∞ei)
22	3, 20, 21	mp2an 705	. . 3 ⊢ (+∞ei‘π) ∈ ran +∞ei
23		df-bj-minfty 37984	. . 3 ⊢ -∞ = (+∞ei‘π)
24		df-bj-ccinfty 37972	. . 3 ⊢ ℂ∞ = ran +∞ei
25	22, 23, 24	3eltr4i 2875	. 2 ⊢ -∞ ∈ ℂ∞
26	1, 25	sselii 3931	1 ⊢ -∞ ∈ ℂ̅

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ran crn 5660  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271  -cneg 11470  (,]cioc 13403  πcpi 16158  +∞eⁱcinftyexpi 37966  ℂ_∞cccinfty 37971  ℂ̅cccbar 37975  -∞cminfty 37983

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-shft 15144  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-ef 16159  df-sin 16161  df-cos 16162  df-pi 16164  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-lp 23367  df-perf 23368  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-haus 23546  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-cncf 25112  df-limc 26100  df-dv 26101  df-bj-inftyexpi 37967  df-bj-ccinfty 37972  df-bj-ccbar 37976  df-bj-minfty 37984

This theorem is used by: (None)