Theorem bj-minftyccb 34910

Description: The class -∞ is an extended complex number. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-minftyccb	⊢ -∞ ∈ ℂ̅

Proof of Theorem bj-minftyccb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-ccinftyssccbar 34903	. 2 ⊢ ℂ∞ ⊆ ℂ̅
2		df-bj-inftyexpi 34892	. . . . 5 ⊢ +∞ei = (𝑥 ∈ (-π(,]π) ↦ ⟨𝑥, ℂ⟩)
3	2	funmpt2 6372	. . . 4 ⊢ Fun +∞ei
4		pire 25140	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
5	4	renegcli 10975	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
6	5	rexri 10727	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℝ*
7	4	rexri 10727	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
8		pipos 25142	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
9		0re 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
10	9, 4	ltnegi 11212	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < π ↔ -π < -0)
11	8, 10	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ -π < -0
12		neg0 10960	. . . . . . . 8 ⊢ -0 = 0
13	11, 12	breqtri 5055	. . . . . . 7 ⊢ -π < 0
14	5, 9, 4	lttri 10794	. . . . . . 7 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
15	13, 8, 14	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ -π < π
16		ubioc1 12822	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π < π) → π ∈ (-π(,]π))
17	6, 7, 15, 16	mp3an 1459	. . . . 5 ⊢ π ∈ (-π(,]π)
18		opex 5322	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑥, ℂ⟩ ∈ V
19	18, 2	dmmpti 6473	. . . . 5 ⊢ dom +∞ei = (-π(,]π)
20	17, 19	eleqtrri 2852	. . . 4 ⊢ π ∈ dom +∞ei
21		fvelrn 6833	. . . 4 ⊢ ((Fun +∞ei ∧ π ∈ dom +∞ei) → (+∞ei‘π) ∈ ran +∞ei)
22	3, 20, 21	mp2an 692	. . 3 ⊢ (+∞ei‘π) ∈ ran +∞ei
23		df-bj-minfty 34909	. . 3 ⊢ -∞ = (+∞ei‘π)
24		df-bj-ccinfty 34897	. . 3 ⊢ ℂ∞ = ran +∞ei
25	22, 23, 24	3eltr4i 2866	. 2 ⊢ -∞ ∈ ℂ∞
26	1, 25	sselii 3890	1 ⊢ -∞ ∈ ℂ̅

Syntax hints:   ∈ wcel 2112  ⟨cop 4526   class class class wbr 5030  dom cdm 5522  ran crn 5523  Fun wfun 6327  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148  ℂcc 10563  0cc0 10565  ℝ^*cxr 10702   < clt 10703  -cneg 10899  (,]cioc 12770  πcpi 15458  +∞eⁱcinftyexpi 34891  ℂ_∞cccinfty 34896  ℂ̅cccbar 34900  -∞cminfty 34908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-inf2 9127  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642  ax-pre-sup 10643  ax-addf 10644  ax-mulf 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7403  df-om 7578  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7834  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-1o 8110  df-2o 8111  df-oadd 8114  df-er 8297  df-map 8416  df-pm 8417  df-ixp 8478  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-fsupp 8857  df-fi 8898  df-sup 8929  df-inf 8930  df-oi 8997  df-card 9391  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-div 11326  df-nn 11665  df-2 11727  df-3 11728  df-4 11729  df-5 11730  df-6 11731  df-7 11732  df-8 11733  df-9 11734  df-n0 11925  df-z 12011  df-dec 12128  df-uz 12273  df-q 12379  df-rp 12421  df-xneg 12538  df-xadd 12539  df-xmul 12540  df-ioo 12773  df-ioc 12774  df-ico 12775  df-icc 12776  df-fz 12930  df-fzo 13073  df-fl 13201  df-seq 13409  df-exp 13470  df-fac 13674  df-bc 13703  df-hash 13731  df-shft 14464  df-cj 14496  df-re 14497  df-im 14498  df-sqrt 14632  df-abs 14633  df-limsup 14866  df-clim 14883  df-rlim 14884  df-sum 15081  df-ef 15459  df-sin 15461  df-cos 15462  df-pi 15464  df-struct 16533  df-ndx 16534  df-slot 16535  df-base 16537  df-sets 16538  df-ress 16539  df-plusg 16626  df-mulr 16627  df-starv 16628  df-sca 16629  df-vsca 16630  df-ip 16631  df-tset 16632  df-ple 16633  df-ds 16635  df-unif 16636  df-hom 16637  df-cco 16638  df-rest 16744  df-topn 16745  df-0g 16763  df-gsum 16764  df-topgen 16765  df-pt 16766  df-prds 16769  df-xrs 16823  df-qtop 16828  df-imas 16829  df-xps 16831  df-mre 16905  df-mrc 16906  df-acs 16908  df-mgm 17908  df-sgrp 17957  df-mnd 17968  df-submnd 18013  df-mulg 18282  df-cntz 18504  df-cmn 18965  df-psmet 20148  df-xmet 20149  df-met 20150  df-bl 20151  df-mopn 20152  df-fbas 20153  df-fg 20154  df-cnfld 20157  df-top 21584  df-topon 21601  df-topsp 21623  df-bases 21636  df-cld 21709  df-ntr 21710  df-cls 21711  df-nei 21788  df-lp 21826  df-perf 21827  df-cn 21917  df-cnp 21918  df-haus 22005  df-tx 22252  df-hmeo 22445  df-fil 22536  df-fm 22628  df-flim 22629  df-flf 22630  df-xms 23012  df-ms 23013  df-tms 23014  df-cncf 23569  df-limc 24555  df-dv 24556  df-bj-inftyexpi 34892  df-bj-ccinfty 34897  df-bj-ccbar 34901  df-bj-minfty 34909

This theorem is referenced by: (None)