Theorem ulm0 26452

Description: Every function converges uniformly on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulm0.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulm0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulm0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulm0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ulm0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Proof of Theorem ulm0

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulm0.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12918	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		ulm0.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6	5	ne0d 4365	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
7		ral0 4536	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 = ∅)
9	8	raleqdv 3334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
10	7, 9	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
11	10	ralrimivw 3156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
12	11	ralrimivw 3156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
13		r19.2z 4518	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ≠ ∅ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
14	6, 12, 13	syl2an2r 684	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
15	14	ralrimivw 3156	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
16	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
17		ulm0.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
19		eqidd 2741	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
20		eqidd 2741	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
21		ulm0.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
23		0ex 5325	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
24	8, 23	eqeltrdi 2852	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 ∈ V)
25	4, 16, 18, 19, 20, 22, 24	ulm2 26446	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
26	15, 25	mpbird 257	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  ℂcc 11182   < clt 11324   − cmin 11520  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  abscabs 15283  ⇝_𝑢culm 26437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904  df-ulm 26438

This theorem is referenced by:  pserulm  26483