Theorem ulm0 26356

Description: Every function converges uniformly on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulm0.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulm0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulm0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulm0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ulm0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Proof of Theorem ulm0

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulm0.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		ulm0.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6	5	ne0d 4282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
7		ral0 4438	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 = ∅)
9	8	raleqdv 3295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
10	7, 9	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
11	10	ralrimivw 3133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
12	11	ralrimivw 3133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
13		r19.2z 4439	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ≠ ∅ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
14	6, 12, 13	syl2an2r 686	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
15	14	ralrimivw 3133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
16	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
17		ulm0.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
19		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
20		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
21		ulm0.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
23		0ex 5242	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
24	8, 23	eqeltrdi 2844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 ∈ V)
25	4, 16, 18, 19, 20, 22, 24	ulm2 26350	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
26	15, 25	mpbird 257	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  ℂcc 11036   < clt 11179   − cmin 11377  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  abscabs 15196  ⇝_𝑢culm 26341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-ulm 26342

This theorem is referenced by:  pserulm  26387