MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulm0 25766
Description: Every function converges uniformly on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulm0.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulm0.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
ulm0.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
ulm0.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
ulm0 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)

Proof of Theorem ulm0
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulm0.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 uzid 12785 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4 ulm0.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
53, 4eleqtrrdi 2849 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
65ne0d 4300 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
7 ral0 4475 . . . . . . 7 βˆ€π‘§ ∈ βˆ… (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯
8 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ 𝑆 = βˆ…)
98raleqdv 3316 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ βˆ… (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
107, 9mpbiri 258 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
1110ralrimivw 3148 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
1211ralrimivw 3148 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
13 r19.2z 4457 . . . 4 ((𝑍 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
146, 12, 13syl2an2r 684 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
1514ralrimivw 3148 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)
161adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
17 ulm0.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
1817adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
19 eqidd 2738 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
20 eqidd 2738 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
21 ulm0.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
2221adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
23 0ex 5269 . . . 4 βˆ… ∈ V
248, 23eqeltrdi 2846 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ 𝑆 ∈ V)
254, 16, 18, 19, 20, 22, 24ulm2 25760 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
2615, 25mpbird 257 1 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ 𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  abscabs 15126  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-neg 11395  df-z 12507  df-uz 12771  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  pserulm  25797
  Copyright terms: Public domain W3C validator