Theorem ulm0 26449

Description: Every function converges uniformly on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulm0.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulm0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulm0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulm0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ulm0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Proof of Theorem ulm0

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulm0.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		ulm0.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6	5	ne0d 4348	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
7		ral0 4519	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 = ∅)
9	8	raleqdv 3324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
10	7, 9	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
11	10	ralrimivw 3148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
12	11	ralrimivw 3148	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
13		r19.2z 4501	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ≠ ∅ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
14	6, 12, 13	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
15	14	ralrimivw 3148	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
16	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
17		ulm0.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
19		eqidd 2736	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
20		eqidd 2736	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
21		ulm0.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
23		0ex 5313	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
24	8, 23	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 ∈ V)
25	4, 16, 18, 19, 20, 22, 24	ulm2 26443	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
26	15, 25	mpbird 257	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3478  ∅c0 4339   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℂcc 11151   < clt 11293   − cmin 11490  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15270  ⇝_𝑢culm 26434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-ulm 26435

This theorem is referenced by:  pserulm  26480