Theorem ulm0 26431

Description: Every function converges uniformly on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulm0.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulm0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulm0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulm0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ulm0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Proof of Theorem ulm0

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulm0.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		ulm0.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6	5	ne0d 4294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
7		ral0 4451	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥
8		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 = ∅)
9	8	raleqdv 3319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
10	7, 9	mpbiri 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
11	10	ralrimivw 3157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
12	11	ralrimivw 3157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
13		r19.2z 4452	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ≠ ∅ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
14	6, 12, 13	syl2an2r 695	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
15	14	ralrimivw 3157	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
16	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
17		ulm0.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
18	17	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
19		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
20		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
21		ulm0.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
22	21	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
23		0ex 5256	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
24	8, 23	eqeltrdi 2869	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 ∈ V)
25	4, 16, 18, 19, 20, 22, 24	ulm2 26425	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
26	15, 25	mpbird 259	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  Vcvv 3453  ∅c0 4285   class class class wbr 5099  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ↑_m cmap 8803  ℂcc 11068   < clt 11213   − cmin 11411  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ℝ⁺crp 12990  abscabs 15244  ⇝_𝑢culm 26416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-neg 11414  df-z 12566  df-uz 12837  df-ulm 26417

This theorem is referenced by:  pserulm  26462