MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulm0 24964
Description: Every function converges uniformly on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulm0.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulm0.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulm0.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulm0.g (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ulm0 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)

Proof of Theorem ulm0
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulm0.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 12236 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4 ulm0.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleqtrrdi 2923 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑍)
65ne0d 4274 . . . 4 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
7 ral0 4429 . . . . . . 7 𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥
8 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝑆 = ∅)
98raleqdv 3396 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ∅) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
107, 9mpbiri 261 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ∅) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
1110ralrimivw 3171 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ∅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
1211ralrimivw 3171 . . . 4 ((𝜑𝑆 = ∅) → ∀𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
13 r19.2z 4413 . . . 4 ((𝑍 ≠ ∅ ∧ ∀𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
146, 12, 13syl2an2r 684 . . 3 ((𝜑𝑆 = ∅) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
1514ralrimivw 3171 . 2 ((𝜑𝑆 = ∅) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
161adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 ulm0.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
1817adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
19 eqidd 2822 . . 3 (((𝜑𝑆 = ∅) ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
20 eqidd 2822 . . 3 (((𝜑𝑆 = ∅) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
21 ulm0.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
2221adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
23 0ex 5184 . . . 4 ∅ ∈ V
248, 23eqeltrdi 2920 . . 3 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝑆 ∈ V)
254, 16, 18, 19, 20, 22, 24ulm2 24958 . 2 ((𝜑𝑆 = ∅) → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
2615, 25mpbird 260 1 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wral 3126  wrex 3127  Vcvv 3471  c0 4266   class class class wbr 5039  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  m cmap 8381  cc 10512   < clt 10652  cmin 10847  cz 11959  cuz 12221  +crp 12367  abscabs 14572  𝑢culm 24949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-neg 10850  df-z 11960  df-uz 12222  df-ulm 24950
This theorem is referenced by:  pserulm  24995
  Copyright terms: Public domain W3C validator