MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulm0 26420
Description: Every function converges uniformly on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulm0.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulm0.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulm0.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulm0.g (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ulm0 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)

Proof of Theorem ulm0
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulm0.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 12889 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4 ulm0.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleqtrrdi 2837 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑍)
65ne0d 4338 . . . 4 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
7 ral0 4517 . . . . . . 7 𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥
8 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝑆 = ∅)
98raleqdv 3315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ∅) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
107, 9mpbiri 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ∅) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
1110ralrimivw 3140 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ∅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
1211ralrimivw 3140 . . . 4 ((𝜑𝑆 = ∅) → ∀𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
13 r19.2z 4499 . . . 4 ((𝑍 ≠ ∅ ∧ ∀𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
146, 12, 13syl2an2r 683 . . 3 ((𝜑𝑆 = ∅) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
1514ralrimivw 3140 . 2 ((𝜑𝑆 = ∅) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)
161adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 ulm0.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
1817adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
19 eqidd 2727 . . 3 (((𝜑𝑆 = ∅) ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
20 eqidd 2727 . . 3 (((𝜑𝑆 = ∅) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
21 ulm0.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
2221adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
23 0ex 5312 . . . 4 ∅ ∈ V
248, 23eqeltrdi 2834 . . 3 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝑆 ∈ V)
254, 16, 18, 19, 20, 22, 24ulm2 26414 . 2 ((𝜑𝑆 = ∅) → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
2615, 25mpbird 256 1 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3462  c0 4325   class class class wbr 5153  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  m cmap 8855  cc 11156   < clt 11298  cmin 11494  cz 12610  cuz 12874  +crp 13028  abscabs 15239  𝑢culm 26405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-neg 11497  df-z 12611  df-uz 12875  df-ulm 26406
This theorem is referenced by:  pserulm  26451
  Copyright terms: Public domain W3C validator