Theorem ulmshft 25282

Description: A sequence of functions converges iff the shifted sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmshft.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmshft.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmshft.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))

Assertion

Ref	Expression
ulmshft	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshft

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmshft.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ulmshft.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
3		ulmshft.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		ulmshft.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		ulmshft.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
6		ulmshft.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ulmshftlem 25281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾))
9	3, 4	zaddcld 12286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
10	4	znegcld 12284	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
11	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
12	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
13	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ 𝑊)
15	14, 2	eleqtrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
16		eluzsub 12470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 1	eleqtrrdi 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ 𝑍)
19	11, 18	ffvelrnd 6905	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
20	6, 19	fmpt3d 6933	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
21		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ 𝑍)
22	21, 1	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		eluzelz 12448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℂ)
26	4	zcnd 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
27	26	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
28	25, 27	subnegd 11196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 − -𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
29	28	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)))
30	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
31	30	fveq1d 6719	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)) = ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)))
32	4	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
33		eluzadd 12469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
34	22, 32, 33	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
35	34, 2	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊)
36		fvoveq1 7236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
37		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))) = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))
38		fvex 6730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) ∈ V
39	36, 37, 38	fvmpt 6818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊 → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
40	35, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
41	25, 27	pncand 11190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑚 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑚)
42	41	fveq2d 6721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
43	40, 42	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
44	29, 31, 43	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
45	44	mpteq2dva 5150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑚)))
46	3	zcnd 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
47	10	zcnd 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
48	46, 26, 47	addassd 10855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)))
49	26	negidd 11179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + -𝐾) = 0)
50	49	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)) = (𝑀 + 0))
51	46	addid1d 11032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
52	48, 50, 51	3eqtrd 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = 𝑀)
53	52	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ≥‘𝑀))
54	53, 1	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = 𝑍)
55	54	mpteq1d 5144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
56	5	feqmptd 6780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑚)))
57	45, 55, 56	3eqtr4rd 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
58	2, 8, 9, 10, 20, 57	ulmshftlem 25281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
59	7, 58	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ↑_m cmap 8508  ℂcc 10727  0cc0 10729   + caddc 10732   − cmin 11062  -cneg 11063  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  ⇝_𝑢culm 25268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-ulm 25269

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  25320