Theorem ulmshft 26440

Description: A sequence of functions converges iff the shifted sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmshft.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmshft.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmshft.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))

Assertion

Ref	Expression
ulmshft	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshft

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmshft.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ulmshft.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
3		ulmshft.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		ulmshft.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		ulmshft.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
6		ulmshft.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ulmshftlem 26439	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
8		eqid 2761	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾))
9	3, 4	zaddcld 12674	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
10	4	znegcld 12672	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
11	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
12	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
13	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ 𝑊)
15	14, 2	eleqtrdi 2871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
16		eluzsub 12862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 1	eleqtrrdi 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ 𝑍)
19	11, 18	ffvelcdmd 7060	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
20	6, 19	fmpt3d 7091	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
21		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ 𝑍)
22	21, 1	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		eluzelz 12842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℂ)
26	4	zcnd 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
27	26	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
28	25, 27	subnegd 11542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 − -𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
29	28	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)))
30	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
31	30	fveq1d 6863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)) = ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)))
32	4	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
33		eluzadd 12861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
34	22, 32, 33	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
35	34, 2	eleqtrrdi 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊)
36		fvoveq1 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
37		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))) = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))
38		fvex 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) ∈ V
39	36, 37, 38	fvmpt 6969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊 → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
40	35, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
41	25, 27	pncand 11536	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑚 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑚)
42	41	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
43	40, 42	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
44	29, 31, 43	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
45	44	mpteq2dva 5190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑚)))
46	3	zcnd 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
47	10	zcnd 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
48	46, 26, 47	addassd 11197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)))
49	26	negidd 11525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + -𝐾) = 0)
50	49	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)) = (𝑀 + 0))
51	46	addridd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
52	48, 50, 51	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = 𝑀)
53	52	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ≥‘𝑀))
54	53, 1	eqtr4di 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = 𝑍)
55	54	mpteq1d 5187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
56	5	feqmptd 6929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑚)))
57	45, 55, 56	3eqtr4rd 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
58	2, 8, 9, 10, 20, 57	ulmshftlem 26439	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
59	7, 58	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8801  ℂcc 11064  0cc0 11066   + caddc 11069   − cmin 11407  -cneg 11408  ℤcz 12561  ℤ_≥cuz 12832  ⇝_𝑢culm 26426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-ulm 26427

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26478