Theorem ulmshft 26515

Description: A sequence of functions converges iff the shifted sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmshft.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmshft.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmshft.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))

Assertion

Ref	Expression
ulmshft	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshft

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmshft.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ulmshft.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
3		ulmshft.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		ulmshft.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		ulmshft.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
6		ulmshft.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ulmshftlem 26514	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
8		eqid 2769	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾))
9	3, 4	zaddcld 12700	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
10	4	znegcld 12698	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
11	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
12	3	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
13	4	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ 𝑊)
15	14, 2	eleqtrdi 2879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
16		eluzsub 12888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 1	eleqtrrdi 2880	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ 𝑍)
19	11, 18	ffvelcdmd 7078	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
20	6, 19	fmpt3d 7109	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
21		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ 𝑍)
22	21, 1	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		eluzelz 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℂ)
26	4	zcnd 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
27	26	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
28	25, 27	subnegd 11572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 − -𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
29	28	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)))
30	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
31	30	fveq1d 6881	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)) = ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)))
32	4	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
33		eluzadd 12887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
34	22, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
35	34, 2	eleqtrrdi 2880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊)
36		fvoveq1 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
37		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))) = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))
38		fvex 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) ∈ V
39	36, 37, 38	fvmpt 6987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊 → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
40	35, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
41	25, 27	pncand 11566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑚 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑚)
42	41	fveq2d 6883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
43	40, 42	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
44	29, 31, 43	3eqtrd 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
45	44	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑚)))
46	3	zcnd 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
47	10	zcnd 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
48	46, 26, 47	addassd 11227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)))
49	26	negidd 11555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + -𝐾) = 0)
50	49	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)) = (𝑀 + 0))
51	46	addridd 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
52	48, 50, 51	3eqtrd 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = 𝑀)
53	52	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ≥‘𝑀))
54	53, 1	eqtr4di 2822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = 𝑍)
55	54	mpteq1d 5202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
56	5	feqmptd 6947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑚)))
57	45, 55, 56	3eqtr4rd 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
58	2, 8, 9, 10, 20, 57	ulmshftlem 26514	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
59	7, 58	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  ℂcc 11094  0cc0 11096   + caddc 11099   − cmin 11437  -cneg 11438  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858  ⇝_𝑢culm 26501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-ulm 26502

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26553