Theorem ulmshft 26367

Description: A sequence of functions converges iff the shifted sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmshft.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmshft.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmshft.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))

Assertion

Ref	Expression
ulmshft	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshft

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmshft.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ulmshft.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
3		ulmshft.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		ulmshft.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		ulmshft.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
6		ulmshft.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ulmshftlem 26366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾))
9	3, 4	zaddcld 12612	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
10	4	znegcld 12610	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
11	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
12	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
13	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ 𝑊)
15	14, 2	eleqtrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
16		eluzsub 12793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 1	eleqtrrdi 2848	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ 𝑍)
19	11, 18	ffvelcdmd 7039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
20	6, 19	fmpt3d 7070	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
21		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ 𝑍)
22	21, 1	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		eluzelz 12773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℂ)
26	4	zcnd 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
28	25, 27	subnegd 11511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 − -𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
29	28	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)))
30	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
31	30	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)) = ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)))
32	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
33		eluzadd 12792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
34	22, 32, 33	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
35	34, 2	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊)
36		fvoveq1 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
37		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))) = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))
38		fvex 6855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) ∈ V
39	36, 37, 38	fvmpt 6949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊 → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
40	35, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
41	25, 27	pncand 11505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑚 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑚)
42	41	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
43	40, 42	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
44	29, 31, 43	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
45	44	mpteq2dva 5193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑚)))
46	3	zcnd 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
47	10	zcnd 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
48	46, 26, 47	addassd 11166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)))
49	26	negidd 11494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + -𝐾) = 0)
50	49	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)) = (𝑀 + 0))
51	46	addridd 11345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
52	48, 50, 51	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = 𝑀)
53	52	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ≥‘𝑀))
54	53, 1	eqtr4di 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = 𝑍)
55	54	mpteq1d 5190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
56	5	feqmptd 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑚)))
57	45, 55, 56	3eqtr4rd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
58	2, 8, 9, 10, 20, 57	ulmshftlem 26366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
59	7, 58	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  ℂcc 11036  0cc0 11038   + caddc 11041   − cmin 11376  -cneg 11377  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ⇝_𝑢culm 26353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-ulm 26354

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26406