Theorem ulmshft 26723

Description: A sequence of functions converges iff the shifted sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmshft.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmshft.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmshft.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))

Assertion

Ref	Expression
ulmshft	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshft

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmshft.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		ulmshft.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))
3		ulmshft.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		ulmshft.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		ulmshft.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
6		ulmshft.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ulmshftlem 26722	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾))
9	3, 4	zaddcld 12811	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
10	4	znegcld 12809	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
11	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
12	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
13	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ 𝑊)
15	14, 2	eleqtrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
16		eluzsub 12999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 1	eleqtrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝑛 − 𝐾) ∈ 𝑍)
19	11, 18	ffvelcdmd 7086	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
20	6, 19	fmpt3d 7117	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
21		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ 𝑍)
22	21, 1	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		eluzelz 12979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℂ)
26	4	zcnd 12808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
27	26	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
28	25, 27	subnegd 11680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 − -𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
29	28	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)))
30	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))))
31	30	fveq1d 6888	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)) = ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)))
32	4	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
33		eluzadd 12998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
34	22, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
35	34, 2	eleqtrrdi 2871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊)
36		fvoveq1 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
37		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾))) = (𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))
38		fvex 6899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) ∈ V
39	36, 37, 38	fvmpt 6994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊 → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
40	35, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
41	25, 27	pncand 11674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑚 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑚)
42	41	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
43	40, 42	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛 − 𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
44	29, 31, 43	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐹‘𝑚))
45	44	mpteq2dva 5197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑚)))
46	3	zcnd 12808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
47	10	zcnd 12808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
48	46, 26, 47	addassd 11335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)))
49	26	negidd 11663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + -𝐾) = 0)
50	49	oveq2d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)) = (𝑀 + 0))
51	46	addridd 11514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
52	48, 50, 51	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = 𝑀)
53	52	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ≥‘𝑀))
54	53, 1	eqtr4di 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = 𝑍)
55	54	mpteq1d 5194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
56	5	feqmptd 6954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑚)))
57	45, 55, 56	3eqtr4rd 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
58	2, 8, 9, 10, 20, 57	ulmshftlem 26722	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
59	7, 58	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ 𝐻(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8851  ℂcc 11202  0cc0 11204   + caddc 11207   − cmin 11545   -cneg 11546  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ⇝_𝑢culm 26709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-ulm 26710

This theorem is used by:  pserdvlem2  26761