MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmshft 26433
Description: A sequence of functions converges iff the shifted sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmshft.w 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmshft.h (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
Assertion
Ref Expression
ulmshft (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshft
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ulmshft.w . . 3 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
3 ulmshft.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 ulmshft.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5 ulmshft.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
6 ulmshft.h . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
71, 2, 3, 4, 5, 6ulmshftlem 26432 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
8 eqid 2737 . . 3 (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾))
93, 4zaddcld 12726 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
104znegcld 12724 . . 3 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
115adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
123adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
134adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
14 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛𝑊)
1514, 2eleqtrdi 2851 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
16 eluzsub 12908 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
1817, 1eleqtrrdi 2852 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ 𝑍)
1911, 18ffvelcdmd 7105 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐹‘(𝑛𝐾)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
206, 19fmpt3d 7136 . . 3 (𝜑𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
21 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
2221, 1eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
23 eluzelz 12888 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
2524zcnd 12723 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ ℂ)
264zcnd 12723 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
2825, 27subnegd 11627 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 − -𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
2928fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)))
306adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
3130fveq1d 6908 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)) = ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)))
324adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
33 eluzadd 12907 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
3422, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
3534, 2eleqtrrdi 2852 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊)
36 fvoveq1 7454 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐹‘(𝑛𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
37 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))) = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))
38 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) ∈ V
3936, 37, 38fvmpt 7016 . . . . . . . 8 ((𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊 → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
4035, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
4125, 27pncand 11621 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑚 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑚)
4241fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) = (𝐹𝑚))
4340, 42eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹𝑚))
4429, 31, 433eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐹𝑚))
4544mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝐹𝑚)))
463zcnd 12723 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4710zcnd 12723 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
4846, 26, 47addassd 11283 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)))
4926negidd 11610 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 + -𝐾) = 0)
5049oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)) = (𝑀 + 0))
5146addridd 11461 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
5248, 50, 513eqtrd 2781 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = 𝑀)
5352fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ𝑀))
5453, 1eqtr4di 2795 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = 𝑍)
5554mpteq1d 5237 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
565feqmptd 6977 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑚𝑍 ↦ (𝐹𝑚)))
5745, 55, 563eqtr4rd 2788 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
582, 8, 9, 10, 20, 57ulmshftlem 26432 . 2 (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺))
597, 58impbid 212 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  cc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158  cmin 11492  -cneg 11493  cz 12613  cuz 12878  𝑢culm 26419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-ulm 26420
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26472
  Copyright terms: Public domain W3C validator