Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmshft 25029
 Description: A sequence of functions converges iff the shifted sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmshft.w 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
ulmshft.h (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
Assertion
Ref Expression
ulmshft (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshft
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ulmshft.w . . 3 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
3 ulmshft.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 ulmshft.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5 ulmshft.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
6 ulmshft.h . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
71, 2, 3, 4, 5, 6ulmshftlem 25028 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
8 eqid 2798 . . 3 (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾))
93, 4zaddcld 12099 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
104znegcld 12097 . . 3 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
115adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
123adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
134adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
14 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛𝑊)
1514, 2eleqtrdi 2900 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
16 eluzsub 12282 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
1817, 1eleqtrrdi 2901 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ 𝑍)
1911, 18ffvelrnd 6839 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐹‘(𝑛𝐾)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
206, 19fmpt3d 6867 . . 3 (𝜑𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
21 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
2221, 1eleqtrdi 2900 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
23 eluzelz 12261 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
2524zcnd 12096 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ ℂ)
264zcnd 12096 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
2726adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
2825, 27subnegd 11011 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 − -𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
2928fveq2d 6659 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)))
306adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
3130fveq1d 6657 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)) = ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)))
324adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
33 eluzadd 12281 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
3422, 32, 33syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
3534, 2eleqtrrdi 2901 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊)
36 fvoveq1 7168 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐹‘(𝑛𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
37 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))) = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))
38 fvex 6668 . . . . . . . . 9 (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) ∈ V
3936, 37, 38fvmpt 6755 . . . . . . . 8 ((𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊 → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
4035, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
4125, 27pncand 11005 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑚 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑚)
4241fveq2d 6659 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) = (𝐹𝑚))
4340, 42eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹𝑚))
4429, 31, 433eqtrd 2837 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐹𝑚))
4544mpteq2dva 5129 . . . 4 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝐹𝑚)))
463zcnd 12096 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4710zcnd 12096 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
4846, 26, 47addassd 10670 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)))
4926negidd 10994 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 + -𝐾) = 0)
5049oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)) = (𝑀 + 0))
5146addid1d 10847 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
5248, 50, 513eqtrd 2837 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = 𝑀)
5352fveq2d 6659 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ𝑀))
5453, 1eqtr4di 2851 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = 𝑍)
5554mpteq1d 5123 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
565feqmptd 6718 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑚𝑍 ↦ (𝐹𝑚)))
5745, 55, 563eqtr4rd 2844 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
582, 8, 9, 10, 20, 57ulmshftlem 25028 . 2 (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺))
597, 58impbid 215 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ↑m cmap 8407  ℂcc 10542  0cc0 10544   + caddc 10547   − cmin 10877  -cneg 10878  ℤcz 11989  ℤ≥cuz 12251  ⇝𝑢culm 25015 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-ulm 25016 This theorem is referenced by:  pserdvlem2  25067
 Copyright terms: Public domain W3C validator