MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmshft 24357
Description: A sequence of functions converges iff the shifted sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmshft.w 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
ulmshft.h (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
Assertion
Ref Expression
ulmshft (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshft
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ulmshft.w . . 3 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
3 ulmshft.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 ulmshft.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5 ulmshft.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
6 ulmshft.h . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
71, 2, 3, 4, 5, 6ulmshftlem 24356 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
8 eqid 2771 . . 3 (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾))
93, 4zaddcld 11686 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
104znegcld 11684 . . 3 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
115adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
123adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
134adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
14 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛𝑊)
1514, 2syl6eleq 2860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
16 eluzsub 11916 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
1817, 1syl6eleqr 2861 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ 𝑍)
1911, 18ffvelrnd 6501 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐹‘(𝑛𝐾)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
20 eqid 2771 . . . . 5 (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))) = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))
2119, 20fmptd 6525 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))):𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
226feq1d 6168 . . . 4 (𝜑 → (𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))):𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)))
2321, 22mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
24 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
2524, 1syl6eleq 2860 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
26 eluzelz 11896 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
2827zcnd 11683 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ ℂ)
294zcnd 11683 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
3029adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
3128, 30subnegd 10599 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 − -𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
3231fveq2d 6334 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)))
336adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
3433fveq1d 6332 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)) = ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)))
354adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
36 eluzadd 11915 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
3725, 35, 36syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
3837, 2syl6eleqr 2861 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊)
39 fvoveq1 6814 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐹‘(𝑛𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
40 fvex 6340 . . . . . . . . 9 (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) ∈ V
4139, 20, 40fvmpt 6422 . . . . . . . 8 ((𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊 → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
4238, 41syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
4328, 30pncand 10593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑚 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑚)
4443fveq2d 6334 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) = (𝐹𝑚))
4542, 44eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹𝑚))
4632, 34, 453eqtrd 2809 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐹𝑚))
4746mpteq2dva 4878 . . . 4 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝐹𝑚)))
483zcnd 11683 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4910zcnd 11683 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
5048, 29, 49addassd 10262 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)))
5129negidd 10582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 + -𝐾) = 0)
5251oveq2d 6807 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)) = (𝑀 + 0))
5348addid1d 10436 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
5450, 52, 533eqtrd 2809 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = 𝑀)
5554fveq2d 6334 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ𝑀))
5655, 1syl6eqr 2823 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = 𝑍)
5756mpteq1d 4872 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
585feqmptd 6389 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑚𝑍 ↦ (𝐹𝑚)))
5947, 57, 583eqtr4rd 2816 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
602, 8, 9, 10, 23, 59ulmshftlem 24356 . 2 (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺))
617, 60impbid 202 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cmpt 4863  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  𝑚 cmap 8007  cc 10134  0cc0 10136   + caddc 10139  cmin 10466  -cneg 10467  cz 11577  cuz 11886  𝑢culm 24343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-ulm 24344
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  24395
  Copyright terms: Public domain W3C validator