Theorem nbumgrvtx 29547

Description: The set of neighbors of a vertex in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbumgrvtx	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑛,𝐸

Proof of Theorem nbumgrvtx

Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbuhgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		nbuhgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbgrval 29537	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
4	3	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
5		eldifi 4084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑥 ∈ 𝑉)
6	5	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
8		umgrupgr 29304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
9	8	ad4antr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝐺 ∈ UPGraph)
10		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
11	10	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝐸)
12		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
13		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁 ∈ 𝑉)
15		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑥 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥 ∈ V)
17		eldifsn 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 𝑁))
18		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 𝑁) → 𝑥 ≠ 𝑁)
19	18	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 𝑁) → 𝑁 ≠ 𝑥)
20	17, 19	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑁 ≠ 𝑥)
21	20	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁 ≠ 𝑥)
22	14, 16, 21	3jca 1141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥))
23	22	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥))
24	23	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥))
25	1, 2	upgredgpr 29343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥)) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
26	9, 11, 12, 24, 25	syl31anc 1392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
27	26	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} = 𝑒))
28		eleq1 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → ({𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ 𝐸))
29	28	biimprd 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → (𝑒 ∈ 𝐸 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
30	27, 10, 29	syl6ci 71	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
31	30	impr 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
32	7, 31	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
33	32	rexlimdvaa 3164	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
34	33	expimpd 457	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
35		simprl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
36	2	umgredgne 29346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → 𝑁 ≠ 𝑥)
37	36	ad2ant2rl 759	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑁 ≠ 𝑥)
38	37	necomd 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ≠ 𝑁)
39	35, 38, 17	sylanbrc 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
40		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
41	40	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
42		sseq2 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {𝑁, 𝑥} → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
43	42	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑒 = {𝑁, 𝑥}) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
44		ssidd 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥})
45	41, 43, 44	rspcedvd 3583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
46	39, 45	jca 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
47	46	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)))
48	34, 47	impbid 214	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
49		preq2 4693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → {𝑁, 𝑣} = {𝑁, 𝑥})
50	49	sseq1d 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
51	50	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
52	51	elrab 3650	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
53		preq2 4693	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → {𝑁, 𝑛} = {𝑁, 𝑥})
54	53	eleq1d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
55	54	elrab 3650	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
56	48, 52, 55	3bitr4g 316	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
57	56	eqrdv 2760	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
58	4, 57	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086  {crab 3414  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4582  {cpr 4584  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Vtxcvtx 29197  Edgcedg 29248  UPGraphcupgr 29281  UMGraphcumgr 29282   NeighbVtx cnbgr 29533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-hash 14344  df-edg 29249  df-upgr 29283  df-umgr 29284  df-nbgr 29534

This theorem is referenced by:  nbumgr  29548  nbusgrvtx  29549  umgr2v2enb1  29727