Theorem nbumgrvtx 27122

Description: The set of neighbors of a vertex in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbumgrvtx	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑛,𝐸

Proof of Theorem nbumgrvtx

Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbuhgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		nbuhgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbgrval 27112	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
4	3	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
5		eldifi 4103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑥 ∈ 𝑉)
6	5	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
8		umgrupgr 26882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
9	8	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝐺 ∈ UPGraph)
10		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
11	10	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝐸)
12		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
13		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁 ∈ 𝑉)
15		vex 3498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑥 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥 ∈ V)
17		eldifsn 4713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 𝑁))
18		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 𝑁) → 𝑥 ≠ 𝑁)
19	18	necomd 3071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 𝑁) → 𝑁 ≠ 𝑥)
20	17, 19	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑁 ≠ 𝑥)
21	20	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁 ≠ 𝑥)
22	14, 16, 21	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥))
23	22	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥))
24	23	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥))
25	1, 2	upgredgpr 26921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥)) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
26	9, 11, 12, 24, 25	syl31anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
27	26	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} = 𝑒))
28		eleq1 2900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → ({𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ 𝐸))
29	28	biimprd 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → (𝑒 ∈ 𝐸 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
30	27, 10, 29	syl6ci 71	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
31	30	impr 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
32	7, 31	jca 514	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
33	32	rexlimdvaa 3285	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
34	33	expimpd 456	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
35		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
36	2	umgredgne 26924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → 𝑁 ≠ 𝑥)
37	36	ad2ant2rl 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑁 ≠ 𝑥)
38	37	necomd 3071	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ≠ 𝑁)
39	35, 38, 17	sylanbrc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
40		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
41	40	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
42		sseq2 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {𝑁, 𝑥} → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
43	42	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑒 = {𝑁, 𝑥}) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
44		ssidd 3990	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥})
45	41, 43, 44	rspcedvd 3626	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
46	39, 45	jca 514	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
47	46	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)))
48	34, 47	impbid 214	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
49		preq2 4664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → {𝑁, 𝑣} = {𝑁, 𝑥})
50	49	sseq1d 3998	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
51	50	rexbidv 3297	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
52	51	elrab 3680	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
53		preq2 4664	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → {𝑁, 𝑛} = {𝑁, 𝑥})
54	53	eleq1d 2897	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
55	54	elrab 3680	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
56	48, 52, 55	3bitr4g 316	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
57	56	eqrdv 2819	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
58	4, 57	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3495   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  {csn 4561  {cpr 4563  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Vtxcvtx 26775  Edgcedg 26826  UPGraphcupgr 26859  UMGraphcumgr 26860   NeighbVtx cnbgr 27108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-hash 13685  df-edg 26827  df-upgr 26861  df-umgr 26862  df-nbgr 27109

This theorem is referenced by:  nbumgr  27123  nbusgrvtx  27124  umgr2v2enb1  27302