MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbumgrvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbumgrvtx 27134
Description: The set of neighbors of a vertex in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbuhgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbumgrvtx ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑛,𝐸

Proof of Theorem nbumgrvtx
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbuhgr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 nbuhgr.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2nbgrval 27124 . . 3 (𝑁𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
43adantl 485 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
5 eldifi 4089 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑥𝑉)
65adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥𝑉)
76adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → 𝑥𝑉)
8 umgrupgr 26894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
98ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝐺 ∈ UPGraph)
10 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒𝐸)
1110adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝑒𝐸)
12 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
13 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑁𝑉)
1413adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁𝑉)
15 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥 ∈ V)
17 eldifsn 4704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑥𝑉𝑥𝑁))
18 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝑉𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
1918necomd 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑉𝑥𝑁) → 𝑁𝑥)
2017, 19sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑁𝑥)
2120adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁𝑥)
2214, 16, 213jca 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑁𝑉𝑥 ∈ V ∧ 𝑁𝑥))
2322adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) → (𝑁𝑉𝑥 ∈ V ∧ 𝑁𝑥))
2423adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑁𝑉𝑥 ∈ V ∧ 𝑁𝑥))
251, 2upgredgpr 26933 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑒𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ V ∧ 𝑁𝑥)) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
269, 11, 12, 24, 25syl31anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
2726ex 416 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} = 𝑒))
28 eleq1 2903 . . . . . . . . . . 11 ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → ({𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸𝑒𝐸))
2928biimprd 251 . . . . . . . . . 10 ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → (𝑒𝐸 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
3027, 10, 29syl6ci 71 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
3130impr 458 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
327, 31jca 515 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
3332rexlimdvaa 3278 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
3433expimpd 457 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
35 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥𝑉)
362umgredgne 26936 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → 𝑁𝑥)
3736ad2ant2rl 748 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑁𝑥)
3837necomd 3069 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥𝑁)
3935, 38, 17sylanbrc 586 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
40 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
4140adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
42 sseq2 3979 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝑁, 𝑥} → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
4342adantl 485 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑒 = {𝑁, 𝑥}) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
44 ssidd 3976 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥})
4541, 43, 44rspcedvd 3612 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
4639, 45jca 515 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
4746ex 416 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)))
4834, 47impbid 215 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ↔ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
49 preq2 4655 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑥 → {𝑁, 𝑣} = {𝑁, 𝑥})
5049sseq1d 3984 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
5150rexbidv 3290 . . . . 5 (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
5251elrab 3666 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
53 preq2 4655 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑥 → {𝑁, 𝑛} = {𝑁, 𝑥})
5453eleq1d 2900 . . . . 5 (𝑛 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
5554elrab 3666 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
5648, 52, 553bitr4g 317 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ 𝑥 ∈ {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
5756eqrdv 2822 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
584, 57eqtrd 2859 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  {crab 3137  Vcvv 3480  cdif 3916  wss 3919  {csn 4550  {cpr 4552  cfv 6344  (class class class)co 7146  Vtxcvtx 26787  Edgcedg 26838  UPGraphcupgr 26871  UMGraphcumgr 26872   NeighbVtx cnbgr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-n0 11893  df-xnn0 11963  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-hash 13694  df-edg 26839  df-upgr 26873  df-umgr 26874  df-nbgr 27121
This theorem is referenced by:  nbumgr  27135  nbusgrvtx  27136  umgr2v2enb1  27314
  Copyright terms: Public domain W3C validator