Theorem nbumgrvtx 29437

Description: The set of neighbors of a vertex in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbumgrvtx	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑛,𝐸

Proof of Theorem nbumgrvtx

Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbuhgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		nbuhgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbgrval 29427	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
4	3	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
5		eldifi 4064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑥 ∈ 𝑉)
6	5	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
8		umgrupgr 29194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
9	8	ad4antr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝐺 ∈ UPGraph)
10		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
11	10	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝐸)
12		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
13		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁 ∈ 𝑉)
15		vex 3437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑥 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥 ∈ V)
17		eldifsn 4722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 𝑁))
18		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 𝑁) → 𝑥 ≠ 𝑁)
19	18	necomd 2991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 𝑁) → 𝑁 ≠ 𝑥)
20	17, 19	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑁 ≠ 𝑥)
21	20	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁 ≠ 𝑥)
22	14, 16, 21	3jca 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥))
23	22	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥))
24	23	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥))
25	1, 2	upgredgpr 29233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥)) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
26	9, 11, 12, 24, 25	syl31anc 1382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
27	26	ex 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} = 𝑒))
28		eleq1 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → ({𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ 𝐸))
29	28	biimprd 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → (𝑒 ∈ 𝐸 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
30	27, 10, 29	syl6ci 71	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
31	30	impr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
32	7, 31	jca 517	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
33	32	rexlimdvaa 3143	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
34	33	expimpd 455	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
35		simprl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
36	2	umgredgne 29236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → 𝑁 ≠ 𝑥)
37	36	ad2ant2rl 756	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑁 ≠ 𝑥)
38	37	necomd 2991	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ≠ 𝑁)
39	35, 38, 17	sylanbrc 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
40		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
41	40	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
42		sseq2 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {𝑁, 𝑥} → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
43	42	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑒 = {𝑁, 𝑥}) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
44		ssidd 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥})
45	41, 43, 44	rspcedvd 3564	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
46	39, 45	jca 517	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
47	46	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)))
48	34, 47	impbid 214	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
49		preq2 4669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → {𝑁, 𝑣} = {𝑁, 𝑥})
50	49	sseq1d 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
51	50	rexbidv 3165	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
52	51	elrab 3631	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
53		preq2 4669	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → {𝑁, 𝑛} = {𝑁, 𝑥})
54	53	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
55	54	elrab 3631	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
56	48, 52, 55	3bitr4g 316	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
57	56	eqrdv 2739	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
58	4, 57	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065  {crab 3393  Vcvv 3433   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885  {csn 4558  {cpr 4560  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Vtxcvtx 29087  Edgcedg 29138  UPGraphcupgr 29171  UMGraphcumgr 29172   NeighbVtx cnbgr 29423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288  df-edg 29139  df-upgr 29173  df-umgr 29174  df-nbgr 29424

This theorem is referenced by:  nbumgr  29438  nbusgrvtx  29439  umgr2v2enb1  29617