Theorem nbumgrvtx 29203

Description: The set of neighbors of a vertex in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbumgrvtx	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑛,𝐸

Proof of Theorem nbumgrvtx

Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbuhgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		nbuhgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbgrval 29193	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
4	3	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
5		eldifi 4119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑥 ∈ 𝑉)
6	5	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
8		umgrupgr 28960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
9	8	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝐺 ∈ UPGraph)
10		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
11	10	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝐸)
12		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
13		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁 ∈ 𝑉)
15		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑥 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥 ∈ V)
17		eldifsn 4786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 𝑁))
18		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 𝑁) → 𝑥 ≠ 𝑁)
19	18	necomd 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 𝑁) → 𝑁 ≠ 𝑥)
20	17, 19	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑁 ≠ 𝑥)
21	20	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁 ≠ 𝑥)
22	14, 16, 21	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥))
23	22	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥))
24	23	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥))
25	1, 2	upgredgpr 28999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑁 ≠ 𝑥)) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
26	9, 11, 12, 24, 25	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
27	26	ex 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} = 𝑒))
28		eleq1 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → ({𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ 𝐸))
29	28	biimprd 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → (𝑒 ∈ 𝐸 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
30	27, 10, 29	syl6ci 71	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
31	30	impr 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
32	7, 31	jca 510	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
33	32	rexlimdvaa 3146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
34	33	expimpd 452	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
35		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
36	2	umgredgne 29002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → 𝑁 ≠ 𝑥)
37	36	ad2ant2rl 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑁 ≠ 𝑥)
38	37	necomd 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ≠ 𝑁)
39	35, 38, 17	sylanbrc 581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
40		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
41	40	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
42		sseq2 3999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {𝑁, 𝑥} → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
43	42	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑒 = {𝑁, 𝑥}) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
44		ssidd 3996	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥})
45	41, 43, 44	rspcedvd 3603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
46	39, 45	jca 510	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
47	46	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)))
48	34, 47	impbid 211	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
49		preq2 4734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → {𝑁, 𝑣} = {𝑁, 𝑥})
50	49	sseq1d 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
51	50	rexbidv 3169	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
52	51	elrab 3674	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
53		preq2 4734	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → {𝑁, 𝑛} = {𝑁, 𝑥})
54	53	eleq1d 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
55	54	elrab 3674	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
56	48, 52, 55	3bitr4g 313	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
57	56	eqrdv 2723	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
58	4, 57	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   ∖ cdif 3936   ⊆ wss 3939  {csn 4624  {cpr 4626  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Vtxcvtx 28853  Edgcedg 28904  UPGraphcupgr 28937  UMGraphcumgr 28938   NeighbVtx cnbgr 29189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322  df-edg 28905  df-upgr 28939  df-umgr 28940  df-nbgr 29190

This theorem is referenced by:  nbumgr  29204  nbusgrvtx  29205  umgr2v2enb1  29384