MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbumgrvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbumgrvtx 29363
Description: The set of neighbors of a vertex in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbuhgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbumgrvtx ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑛,𝐸

Proof of Theorem nbumgrvtx
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbuhgr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 nbuhgr.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2nbgrval 29353 . . 3 (𝑁𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
43adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒})
5 eldifi 4131 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑥𝑉)
65adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥𝑉)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → 𝑥𝑉)
8 umgrupgr 29120 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
98ad4antr 732 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝐺 ∈ UPGraph)
10 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒𝐸)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → 𝑒𝐸)
12 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑁𝑉)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁𝑉)
15 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑥 ∈ V)
17 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝑥𝑉𝑥𝑁))
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝑉𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
1918necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑉𝑥𝑁) → 𝑁𝑥)
2017, 19sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑁𝑥)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → 𝑁𝑥)
2214, 16, 213jca 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (𝑁𝑉𝑥 ∈ V ∧ 𝑁𝑥))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) → (𝑁𝑉𝑥 ∈ V ∧ 𝑁𝑥))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑁𝑉𝑥 ∈ V ∧ 𝑁𝑥))
251, 2upgredgpr 29159 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑒𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ V ∧ 𝑁𝑥)) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
269, 11, 12, 24, 25syl31anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → {𝑁, 𝑥} = 𝑒)
2726ex 412 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} = 𝑒))
28 eleq1 2829 . . . . . . . . . . 11 ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → ({𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸𝑒𝐸))
2928biimprd 248 . . . . . . . . . 10 ({𝑁, 𝑥} = 𝑒 → (𝑒𝐸 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
3027, 10, 29syl6ci 71 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ 𝑒𝐸) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
3130impr 454 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
327, 31jca 511 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) ∧ (𝑒𝐸 ∧ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)) → (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
3332rexlimdvaa 3156 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 → (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
3433expimpd 453 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) → (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
35 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥𝑉)
362umgredgne 29162 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → 𝑁𝑥)
3736ad2ant2rl 749 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑁𝑥)
3837necomd 2996 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥𝑁)
3935, 38, 17sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
40 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
4140adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)
42 sseq2 4010 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝑁, 𝑥} → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
4342adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑒 = {𝑁, 𝑥}) → ({𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥}))
44 ssidd 4007 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → {𝑁, 𝑥} ⊆ {𝑁, 𝑥})
4541, 43, 44rspcedvd 3624 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)
4639, 45jca 511 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
4746ex 412 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒)))
4834, 47impbid 212 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒) ↔ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸)))
49 preq2 4734 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑥 → {𝑁, 𝑣} = {𝑁, 𝑥})
5049sseq1d 4015 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
5150rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
5251elrab 3692 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑥} ⊆ 𝑒))
53 preq2 4734 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑥 → {𝑁, 𝑛} = {𝑁, 𝑥})
5453eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑛 = 𝑥 → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
5554elrab 3692 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑥𝑉 ∧ {𝑁, 𝑥} ∈ 𝐸))
5648, 52, 553bitr4g 314 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} ↔ 𝑥 ∈ {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
5756eqrdv 2735 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → {𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑣} ⊆ 𝑒} = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
584, 57eqtrd 2777 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  cfv 6561  (class class class)co 7431  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  UPGraphcupgr 29097  UMGraphcumgr 29098   NeighbVtx cnbgr 29349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-nbgr 29350
This theorem is referenced by:  nbumgr  29364  nbusgrvtx  29365  umgr2v2enb1  29544
  Copyright terms: Public domain W3C validator