MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr3v3e3cycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr3v3e3cycl 29981
Description: If and only if there is a 3-cycle in a multigraph, there are three (different) vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Nov-2017.) (Revised by AV, 12-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uhgr3cyclex.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
uhgr3cyclex.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
umgr3v3e3cycl (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑝,𝐺   𝐸,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑝   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑉,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑝

Proof of Theorem umgr3v3e3cycl
StepHypRef Expression
1 umgrupgr 28903 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)) β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
3 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ 𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
43adantl 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)) β†’ 𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
5 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 3)
65adantl 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 3)
7 uhgr3cyclex.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
8 uhgr3cyclex.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
97, 8upgr3v3e3cycl 29977 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))
10 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸))
1110reximi 3079 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸))
1211reximi 3079 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸))
1312reximi 3079 . . . . . 6 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸))
149, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸))
152, 4, 6, 14syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸))
1615ex 412 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
1716exlimdvv 1930 . 2 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
18 simplll 774 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸)) β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
19 df-3an 1087 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
2019biimpri 227 . . . . . 6 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
2120ad4ant23 752 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
22 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸))
238, 7umgr3cyclex 29980 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3 ∧ (π‘β€˜0) = π‘Ž))
24 3simpa 1146 . . . . . . 7 ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3 ∧ (π‘β€˜0) = π‘Ž) β†’ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
25242eximi 1831 . . . . . 6 (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3 ∧ (π‘β€˜0) = π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
2623, 25syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
2718, 21, 22, 26syl3anc 1369 . . . 4 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
2827rexlimdva2 3152 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
2928rexlimdvva 3206 . 2 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
3017, 29impbid 211 1 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆƒwrex 3065  {cpr 4626   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  0cc0 11130  3c3 12290  β™―chash 14313  Vtxcvtx 28796  Edgcedg 28847  UPGraphcupgr 28880  UMGraphcumgr 28881  Cyclesccycls 29586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-s2 14823  df-s3 14824  df-s4 14825  df-edg 28848  df-uhgr 28858  df-upgr 28882  df-umgr 28883  df-wlks 29400  df-trls 29493  df-pths 29517  df-cycls 29588
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator