Theorem umgrwlknloop 30116

Description: In a multigraph, each walk has no loops! (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrwlknloop	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘

Proof of Theorem umgrwlknloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrupgr 29568	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	2	upgrwlkvtxedg 30112	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
4	1, 3	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
5	2	umgredgne 29610	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
6	5	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
8	7	ralimdv 3178	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
9	4, 8	mpd 16	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  {cpr 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131  ..^cfzo 13713  ♯chash 14398  Edgcedg 29512  UPGraphcupgr 29545  UMGraphcumgr 29546  Walkscwlks 30064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-edg 29513  df-uhgr 29523  df-upgr 29547  df-umgr 29548  df-wlks 30067

This theorem is used by: (None)