MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unicld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unicld 21627
Description: A finite union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
unicld ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem unicld
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniiun 4956 . 2 𝐴 = 𝑥𝐴 𝑥
2 dfss3 3932 . . 3 (𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
3 clscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
43iuncld 21626 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑥𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
52, 4syl3an3b 1401 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → 𝑥𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
61, 5eqeltrid 2915 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  wss 3912   cuni 4812   ciun 4893  cfv 6329  Fincfn 8485  Topctop 21474  Clsdccld 21597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-iin 4896  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-oadd 8082  df-er 8265  df-en 8486  df-dom 8487  df-fin 8489  df-top 21475  df-cld 21600
This theorem is referenced by:  cldsubg  22692
  Copyright terms: Public domain W3C validator