Theorem unicld 23002

Description: A finite union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
unicld	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem unicld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 5016	. 2 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2		dfss3 3924	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
3		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	iuncld 23001	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
5	2, 4	syl3an3b 1408	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
6	1, 5	eqeltrid 2841	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865  ∪ ciun 4948  ‘cfv 6500  Fincfn 8895  Topctop 22849  Clsdccld 22972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-1o 8407  df-2o 8408  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899  df-top 22850  df-cld 22975

This theorem is referenced by:  cldsubg  24067