Theorem unicld 21258

Description: A finite union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
unicld	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem unicld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 4806	. 2 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2		dfss3 3809	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
3		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	iuncld 21257	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
5	2, 4	syl3an3b 1473	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
6	1, 5	syl5eqel 2862	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089   ⊆ wss 3791  ∪ cuni 4671  ∪ ciun 4753  ‘cfv 6135  Fincfn 8241  Topctop 21105  Clsdccld 21228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-fin 8245  df-top 21106  df-cld 21231

This theorem is referenced by:  cldsubg  22322