Theorem iuncld 23069

Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
iuncld	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iuncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difin 4278	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))
2		iundif2 5079	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))
3	1, 2	eqtr4i 2766	. . 3 ⊢ (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵))
4		clscld.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	cldss 23053	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
6		dfss4 4275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
7	5, 6	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
8	7	ralimi 3081	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
9	8	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
10		iuneq2 5016	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
12	3, 11	eqtrid 2787	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
13		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
14	4	cldopn 23055	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽)
15	14	ralimi 3081	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽)
16	4	riinopn 22930	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽)
17	15, 16	syl3an3 1164	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽)
18	4	opncld 23057	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) ∈ (Clsd‘𝐽))
19	13, 17, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) ∈ (Clsd‘𝐽))
20	12, 19	eqeltrrd 2840	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ∖ cdif 3960   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912  ∪ ciun 4996  ∩ ciin 4997  ‘cfv 6563  Fincfn 8984  Topctop 22915  Clsdccld 23040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-top 22916  df-cld 23043

This theorem is referenced by:  unicld  23070  t1ficld  23351  mblfinlem1  37644  mblfinlem2  37645