Theorem iuncld 22267

Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
iuncld	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iuncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difin 4205	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))
2		iundif2 5014	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))
3	1, 2	eqtr4i 2768	. . 3 ⊢ (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵))
4		clscld.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	cldss 22251	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
6		dfss4 4202	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
7	5, 6	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
8	7	ralimi 3083	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
9	8	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
10		iuneq2 4954	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
12	3, 11	eqtrid 2789	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
13		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
14	4	cldopn 22253	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽)
15	14	ralimi 3083	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽)
16	4	riinopn 22128	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽)
17	15, 16	syl3an3 1164	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽)
18	4	opncld 22255	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) ∈ (Clsd‘𝐽))
19	13, 17, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) ∈ (Clsd‘𝐽))
20	12, 19	eqeltrrd 2839	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3062   ∖ cdif 3893   ∩ cin 3895   ⊆ wss 3896  ∪ cuni 4848  ∪ ciun 4935  ∩ ciin 4936  ‘cfv 6463  Fincfn 8779  Topctop 22113  Clsdccld 22238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-iin 4938  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-1o 8342  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-fin 8783  df-top 22114  df-cld 22241

This theorem is referenced by:  unicld  22268  t1ficld  22549  mblfinlem1  35874  mblfinlem2  35875