Theorem iuncld 22932

Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
iuncld	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iuncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difin 4235	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))
2		iundif2 5038	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))
3	1, 2	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵))
4		clscld.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	cldss 22916	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
6		dfss4 4232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
7	5, 6	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
8	7	ralimi 3066	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
9	8	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
10		iuneq2 4975	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
12	3, 11	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
13		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
14	4	cldopn 22918	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽)
15	14	ralimi 3066	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽)
16	4	riinopn 22795	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽)
17	15, 16	syl3an3 1165	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽)
18	4	opncld 22920	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) ∈ (Clsd‘𝐽))
19	13, 17, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) ∈ (Clsd‘𝐽))
20	12, 19	eqeltrrd 2829	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∖ cdif 3911   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871  ∪ ciun 4955  ∩ ciin 4956  ‘cfv 6511  Fincfn 8918  Topctop 22780  Clsdccld 22903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8434  df-2o 8435  df-en 8919  df-dom 8920  df-fin 8922  df-top 22781  df-cld 22906

This theorem is referenced by:  unicld  22933  t1ficld  23214  mblfinlem1  37651  mblfinlem2  37652