Theorem iuncld 23356

Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
iuncld	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iuncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difin 4218	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))
2		iundif2 5032	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))
3	1, 2	eqtr4i 2787	. . 3 ⊢ (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵))
4		clscld.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	cldss 23340	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
6		dfss4 4215	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
7	5, 6	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
8	7	ralimi 3100	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
9	8	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
10		iuneq2 4971	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
12	3, 11	eqtrid 2808	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
13		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
14	4	cldopn 23342	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽)
15	14	ralimi 3100	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽)
16	4	riinopn 23219	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽)
17	15, 16	syl3an3 1183	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽)
18	4	opncld 23344	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) ∈ (Clsd‘𝐽))
19	13, 17, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) ∈ (Clsd‘𝐽))
20	12, 19	eqeltrrd 2862	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951  ∩ ciin 4952  ‘cfv 6537  Fincfn 8966  Topctop 23204  Clsdccld 23327

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8469  df-2o 8470  df-en 8967  df-dom 8968  df-fin 8970  df-top 23205  df-cld 23330

This theorem is used by:  unicld  23357  t1ficld  23638  mblfinlem1  38555  mblfinlem2  38556