Theorem iuncld 22993

Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
iuncld	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iuncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difin 4225	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))
2		iundif2 5030	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))
3	1, 2	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵))
4		clscld.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	cldss 22977	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
6		dfss4 4222	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
7	5, 6	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
8	7	ralimi 3074	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
9	8	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵)
10		iuneq2 4967	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = 𝐵 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐵)) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
12	3, 11	eqtrid 2784	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
13		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
14	4	cldopn 22979	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽)
15	14	ralimi 3074	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽)
16	4	riinopn 22856	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽)
17	15, 16	syl3an3 1166	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽)
18	4	opncld 22981	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵)) ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) ∈ (Clsd‘𝐽))
19	13, 17, 18	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑋 ∖ 𝐵))) ∈ (Clsd‘𝐽))
20	12, 19	eqeltrrd 2838	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4864  ∪ ciun 4947  ∩ ciin 4948  ‘cfv 6493  Fincfn 8887  Topctop 22841  Clsdccld 22964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8399  df-2o 8400  df-en 8888  df-dom 8889  df-fin 8891  df-top 22842  df-cld 22967

This theorem is referenced by:  unicld  22994  t1ficld  23275  mblfinlem1  37829  mblfinlem2  37830