Theorem weth 10486

Description: Well-ordering theorem: any set 𝐴 can be well-ordered. This is an equivalent of the Axiom of Choice. Theorem 6 of [Suppes] p. 242. First proved by Ernst Zermelo (the "Z" in ZFC) in 1904. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
weth	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 𝑥 We 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem weth

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weeq2 5664	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 We 𝑦 ↔ 𝑥 We 𝐴))
2	1	exbidv 1925	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 𝑥 We 𝑦 ↔ ∃𝑥 𝑥 We 𝐴))
3		dfac8 10126	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦∃𝑥 𝑥 We 𝑦)
4	3	axaci 10459	. 2 ⊢ ∃𝑥 𝑥 We 𝑦
5	2, 4	vtoclg 3556	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 𝑥 We 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   We wwe 5629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-ac2 10454

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-en 8936  df-card 9930  df-ac 10107

This theorem is referenced by:  vitali2  45345