Theorem vitali2 46665

Description: There are non-measurable sets (the Axiom of Choice is used, in the invoked weth 10466). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
vitali2	⊢ dom vol ⊊ 𝒫 ℝ

Proof of Theorem vitali2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11177	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
2		weth 10466	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ V → ∃𝑜 𝑜 We ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑜 𝑜 We ℝ
4		vitali 25521	. . 3 ⊢ (𝑜 We ℝ → dom vol ⊊ 𝒫 ℝ)
5	4	exlimiv 1930	. 2 ⊢ (∃𝑜 𝑜 We ℝ → dom vol ⊊ 𝒫 ℝ)
6	3, 5	ax-mp 5	1 ⊢ dom vol ⊊ 𝒫 ℝ

Syntax hints:  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3455   ⊊ wpss 3923  𝒫 cpw 4571   We wwe 5598  dom cdm 5646  ℝcr 11085  volcvol 25371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-inf2 9612  ax-cc 10406  ax-ac2 10434  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-disj 5083  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-se 5600  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-isom 6528  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7660  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-oadd 8447  df-omul 8448  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fi 9380  df-sup 9411  df-inf 9412  df-oi 9481  df-dju 9872  df-card 9910  df-acn 9913  df-ac 10087  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-q 12922  df-rp 12966  df-xneg 13085  df-xadd 13086  df-xmul 13087  df-ioo 13323  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-fl 13766  df-seq 13977  df-exp 14037  df-hash 14306  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sqrt 15211  df-abs 15212  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-rest 17391  df-topgen 17412  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-top 22787  df-topon 22804  df-bases 22839  df-cmp 23280  df-ovol 25372  df-vol 25373

This theorem is referenced by:  nsssmfmbf  46750