Theorem wfaxnul 44955

Description: The class of well-founded sets models the Null Set Axiom ax-nul 5274. (Contributed by Eric Schmidt, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfax.1	⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)

Assertion

Ref	Expression
wfaxnul	⊢ ∃𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem wfaxnul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onwf 9837	. . . 4 ⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)
2		0elon 6405	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	sselii 3953	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		wfax.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)
5	3, 4	eleqtrri 2832	. 2 ⊢ ∅ ∈ 𝑊
6		0elaxnul 44942	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝑊 → ∃𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
7	5, 6	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  ∅c0 4306  ∪ cuni 4881   “ cima 5655  Oncon0 6350  𝑅₁cr1 9769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7403  df-om 7857  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-r1 9771  df-rank 9772

This theorem is referenced by: (None)