Theorem onwf 9665

Description: The ordinals are all well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onwf	⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)

Proof of Theorem onwf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1fnon 9602	. . 3 ⊢ 𝑅1 Fn On
2	1	fndmi 6575	. 2 ⊢ dom 𝑅1 = On
3		rankonidlem 9663	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
4	3	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	4	ssriv 3934	. 2 ⊢ dom 𝑅1 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)
6	2, 5	eqsstrri 3965	1 ⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3896  ∪ cuni 4849  dom cdm 5607   “ cima 5610  Oncon0 6288  ‘cfv 6465  𝑅₁cr1 9597  rankcrnk 9598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-ov 7319  df-om 7759  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-r1 9599  df-rank 9600

This theorem is referenced by:  dfac12r  9981  r1tskina  10617