Theorem onwf 9877

Description: The ordinals are all well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onwf	⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)

Proof of Theorem onwf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1fnon 9814	. . 3 ⊢ 𝑅1 Fn On
2	1	fndmi 6680	. 2 ⊢ dom 𝑅1 = On
3		rankonidlem 9875	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
4	3	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	4	ssriv 4002	. 2 ⊢ dom 𝑅1 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)
6	2, 5	eqsstrri 4034	1 ⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3966  ∪ cuni 4915  dom cdm 5693   “ cima 5696  Oncon0 6392  ‘cfv 6569  𝑅₁cr1 9809  rankcrnk 9810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-ov 7441  df-om 7895  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-r1 9811  df-rank 9812

This theorem is referenced by:  dfac12r  10194  r1tskina  10829  wfaxrep  44980