Theorem wfaxpr 44988

Description: The class of well-founded sets models the Axiom of Pairing ax-pr 5387. Part of Corollary II.2.5 of [Kunen2] p. 112. (Contributed by Eric Schmidt, 29-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfax.1	⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)

Assertion

Ref	Expression
wfaxpr	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑦,𝑊,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥,𝑤)

Proof of Theorem wfaxpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prwf 9764	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → {𝑥, 𝑦} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		wfax.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)
3	2	eleq2i 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4	2	eleq2i 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 ↔ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	3, 4	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)))
6	2	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
7	1, 5, 6	3imtr4i 292	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊)
8	7	rgen2 3177	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊
9		prclaxpr 44975	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊 → ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧))
10	8, 9	ax-mp 5	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {cpr 4591  ∪ cuni 4871   “ cima 5641  Oncon0 6332  𝑅₁cr1 9715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-r1 9717  df-rank 9718

This theorem is referenced by: (None)