Theorem wfaxpr 46082

Description: The class of well-founded sets models the Axiom of Pairing ax-pr 5390. Part of Corollary II.2.5 of [Kunen2] p. 112. (Contributed by Eric Schmidt, 29-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfax.1	⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)

Assertion

Ref	Expression
wfaxpr	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑦,𝑊,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥, 𝑤)

Proof of Theorem wfaxpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prwf 9823	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → {𝑥, 𝑦} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		wfax.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)
3	2	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4	2	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 ↔ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	3, 4	anbi12i 640	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)))
6	2	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
7	1, 5, 6	3imtr4i 295	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊)
8	7	rgen2 3202	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊
9		prclaxpr 46069	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊 → ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧))
10	8, 9	ax-mp 5	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {cpr 4586  ∪ cuni 4866   “ cima 5653  Oncon0 6362  𝑅₁cr1 9770

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-r1 9772  df-rank 9773

This theorem is used by: (None)