Theorem wfaxpr 45534

Description: The class of well-founded sets models the Axiom of Pairing ax-pr 5387. Part of Corollary II.2.5 of [Kunen2] p. 112. (Contributed by Eric Schmidt, 29-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfax.1	⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)

Assertion

Ref	Expression
wfaxpr	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑦,𝑊,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥,𝑤)

Proof of Theorem wfaxpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prwf 9762	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → {𝑥, 𝑦} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		wfax.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)
3	2	eleq2i 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4	2	eleq2i 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 ↔ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	3, 4	anbi12i 637	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)))
6	2	eleq2i 2853	. . . 4 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
7	1, 5, 6	3imtr4i 294	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊)
8	7	rgen2 3201	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊
9		prclaxpr 45521	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊 → ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧))
10	8, 9	ax-mp 5	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  {cpr 4581  ∪ cuni 4862   “ cima 5646  Oncon0 6340  𝑅₁cr1 9713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-r1 9715  df-rank 9716

This theorem is referenced by: (None)