Theorem wfaxpr 46194

Description: The class of well-founded sets models the Axiom of Pairing ax-pr 5396. Part of Corollary II.2.5 of [Kunen2] p. 112. (Contributed by Eric Schmidt, 29-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfax.1	⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)

Assertion

Ref	Expression
wfaxpr	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑦,𝑊,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥, 𝑤)

Proof of Theorem wfaxpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prwf 9849	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → {𝑥, 𝑦} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		wfax.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)
3	2	eleq2i 2856	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4	2	eleq2i 2856	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 ↔ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	3, 4	anbi12i 640	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)))
6	2	eleq2i 2856	. . . 4 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
7	1, 5, 6	3imtr4i 295	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊)
8	7	rgen2 3206	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊
9		prclaxpr 46181	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊 → ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧))
10	8, 9	ax-mp 5	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {cpr 4590  ∪ cuni 4870   “ cima 5659  Oncon0 6383  𝑅₁cr1 9796

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9798  df-rank 9799

This theorem is used by: (None)