Theorem wfaxpr 45940

Description: The class of well-founded sets models the Axiom of Pairing ax-pr 5391. Part of Corollary II.2.5 of [Kunen2] p. 112. (Contributed by Eric Schmidt, 29-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfax.1	⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)

Assertion

Ref	Expression
wfaxpr	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑦,𝑊,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥, 𝑤)

Proof of Theorem wfaxpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prwf 9801	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → {𝑥, 𝑦} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		wfax.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)
3	2	eleq2i 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4	2	eleq2i 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 ↔ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	3, 4	anbi12i 640	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)))
6	2	eleq2i 2853	. . . 4 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
7	1, 5, 6	3imtr4i 295	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊)
8	7	rgen2 3203	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊
9		prclaxpr 45927	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑊 → ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧))
10	8, 9	ax-mp 5	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ∃𝑧 ∈ 𝑊 ∀𝑤 ∈ 𝑊 ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑧)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {cpr 4586  ∪ cuni 4867   “ cima 5654  Oncon0 6355  𝑅₁cr1 9750

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-r1 9752  df-rank 9753

This theorem is used by: (None)