Theorem xmetdcn2 25065

Description: The metric function of an extended metric space is always continuous in the topology generated by it. In this variation of xmetdcn 25066 we use the metric topology instead of the order topology on ℝ^*, which makes the theorem a bit stronger. Since +∞ is an isolated point in the metric topology, this is saying that for any points 𝐴, 𝐵 which are an infinite distance apart, there is a product neighborhood around ⟨𝐴, 𝐵⟩ such that 𝑑(𝑎, 𝑏) = +∞ for any 𝑎 near 𝐴 and 𝑏 near 𝐵, i.e., the distance function is locally constant +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn2.2	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
xmetdcn2.3	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xmetdcn2	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem xmetdcn2

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24556	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		rphalfcl 13072	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
3		xmetdcn2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4		xmetdcn2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
5		xmetdcn2.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
6		simp-4l 795	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝑋)
8	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
9		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝑋)
10	9	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
11		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
12		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑧 ∈ 𝑋)
13		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑤 ∈ 𝑋)
14		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → (𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2))
15		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))
16	3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15	metdcnlem 25064	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)
17	16	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
18	17	ralrimivva 3205	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
19		breq2 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ↔ (𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2)))
20		breq2 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑦𝐷𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)))
21	19, 20	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) ↔ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))))
22	21	imbi1d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟) ↔ (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)))
23	22	2ralbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)))
24	23	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
25	2, 18, 24	syl2an2 699	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
26	25	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
27	26	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
28		id 23	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29	4	xrsxmet 25037	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*))
31	3, 3, 5	txmetcn 24775	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))))
32	28, 30, 31	mpd3an23 1492	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))))
33	1, 27, 32	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103   × cxp 5653  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268   / cdiv 11896  2c2 12320  ℝ⁺crp 13043  distcds 17352  ℝ^*_𝑠cxrs 17587  ∞Metcxmet 21571  MetOpencmopn 21576   Cn ccn 23450   ×_t ctx 23787

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-prds 17533  df-xrs 17589  df-qtop 17594  df-imas 17595  df-xps 17597  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-xms 24547  df-tms 24549

This theorem is used by:  xmetdcn  25066