Theorem xmetdcn2 24782

Description: The metric function of an extended metric space is always continuous in the topology generated by it. In this variation of xmetdcn 24783 we use the metric topology instead of the order topology on ℝ^*, which makes the theorem a bit stronger. Since +∞ is an isolated point in the metric topology, this is saying that for any points 𝐴, 𝐵 which are an infinite distance apart, there is a product neighborhood around ⟨𝐴, 𝐵⟩ such that 𝑑(𝑎, 𝑏) = +∞ for any 𝑎 near 𝐴 and 𝑏 near 𝐵, i.e., the distance function is locally constant +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn2.2	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
xmetdcn2.3	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xmetdcn2	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem xmetdcn2

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24273	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		rphalfcl 13041	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
3		xmetdcn2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4		xmetdcn2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
5		xmetdcn2.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
6		simp-4l 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝑋)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
9		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝑋)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
11		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
12		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑧 ∈ 𝑋)
13		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑤 ∈ 𝑋)
14		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → (𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2))
15		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))
16	3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15	metdcnlem 24781	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)
17	16	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
18	17	ralrimivva 3188	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
19		breq2 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ↔ (𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2)))
20		breq2 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑦𝐷𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)))
21	19, 20	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) ↔ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))))
22	21	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟) ↔ (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)))
23	22	2ralbidv 3209	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)))
24	23	rspcev 3606	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
25	2, 18, 24	syl2an2 686	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
26	25	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
27	26	ralrimivva 3188	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
28		id 22	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29	4	xrsxmet 24754	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*))
31	3, 3, 5	txmetcn 24492	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))))
32	28, 30, 31	mpd3an23 1465	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))))
33	1, 27, 32	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124   × cxp 5657  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274   / cdiv 11899  2c2 12300  ℝ⁺crp 13013  distcds 17285  ℝ^*_𝑠cxrs 17519  ∞Metcxmet 21305  MetOpencmopn 21310   Cn ccn 23167   ×_t ctx 23503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-xms 24264  df-tms 24266

This theorem is referenced by:  xmetdcn  24783