Theorem xmetdcn2 24816

Description: The metric function of an extended metric space is always continuous in the topology generated by it. In this variation of xmetdcn 24817 we use the metric topology instead of the order topology on ℝ^*, which makes the theorem a bit stronger. Since +∞ is an isolated point in the metric topology, this is saying that for any points 𝐴, 𝐵 which are an infinite distance apart, there is a product neighborhood around ⟨𝐴, 𝐵⟩ such that 𝑑(𝑎, 𝑏) = +∞ for any 𝑎 near 𝐴 and 𝑏 near 𝐵, i.e., the distance function is locally constant +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn2.2	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
xmetdcn2.3	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xmetdcn2	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem xmetdcn2

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24307	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		rphalfcl 12965	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
3		xmetdcn2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4		xmetdcn2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
5		xmetdcn2.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
6		simp-4l 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		simplrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝑋)
8	7	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
9		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝑋)
10	9	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
11		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
12		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑧 ∈ 𝑋)
13		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑤 ∈ 𝑋)
14		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → (𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2))
15		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))
16	3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15	metdcnlem 24815	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)
17	16	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
18	17	ralrimivva 3181	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
19		breq2 5090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ↔ (𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2)))
20		breq2 5090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑦𝐷𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)))
21	19, 20	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) ↔ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))))
22	21	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟) ↔ (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)))
23	22	2ralbidv 3202	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)))
24	23	rspcev 3565	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
25	2, 18, 24	syl2an2 687	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
26	25	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
27	26	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
28		id 22	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29	4	xrsxmet 24788	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*))
31	3, 3, 5	txmetcn 24526	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))))
32	28, 30, 31	mpd3an23 1466	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))))
33	1, 27, 32	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086   × cxp 5623  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   / cdiv 11801  2c2 12230  ℝ⁺crp 12936  distcds 17223  ℝ^*_𝑠cxrs 17458  ∞Metcxmet 21332  MetOpencmopn 21337   Cn ccn 23202   ×_t ctx 23538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-xms 24298  df-tms 24300

This theorem is referenced by:  xmetdcn  24817