Theorem xmetdcn2 25166

Description: The metric function of an extended metric space is always continuous in the topology generated by it. In this variation of xmetdcn 25167 we use the metric topology instead of the order topology on ℝ^*, which makes the theorem a bit stronger. Since +∞ is an isolated point in the metric topology, this is saying that for any points 𝐴, 𝐵 which are an infinite distance apart, there is a product neighborhood around ⟨𝐴, 𝐵⟩ such that 𝑑(𝑎, 𝑏) = +∞ for any 𝑎 near 𝐴 and 𝑏 near 𝐵, i.e., the distance function is locally constant +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn2.2	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
xmetdcn2.3	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xmetdcn2	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem xmetdcn2

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24657	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		rphalfcl 13156	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
3		xmetdcn2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4		xmetdcn2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
5		xmetdcn2.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
6		simp-4l 795	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝑋)
8	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
9		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝑋)
10	9	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
11		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
12		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑧 ∈ 𝑋)
13		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → 𝑤 ∈ 𝑋)
14		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → (𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2))
15		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))
16	3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15	metdcnlem 25165	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)
17	16	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
18	17	ralrimivva 3205	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
19		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ↔ (𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2)))
20		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑦𝐷𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)))
21	19, 20	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) ↔ ((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2))))
22	21	imbi1d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟) ↔ (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)))
23	22	2ralbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)))
24	23	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐷𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
25	2, 18, 24	syl2an2 699	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
26	25	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
27	26	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))
28		id 23	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29	4	xrsxmet 25138	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*))
31	3, 3, 5	txmetcn 24876	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))))
32	28, 30, 31	mpd3an23 1492	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐷𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐷𝑦)𝐶(𝑧𝐷𝑤)) < 𝑟))))
33	1, 27, 32	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102   × cxp 5649  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   / cdiv 11980  2c2 12404  ℝ⁺crp 13127  distcds 17446  ℝ^*_𝑠cxrs 17681  ∞Metcxmet 21672  MetOpencmopn 21677   Cn ccn 23551   ×_t ctx 23888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-xms 24648  df-tms 24650

This theorem is used by:  xmetdcn  25167