Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsxms 23237
 Description: The indexed product structure is an extended metric space when the index set is finite. (Although the extended metric is still valid when the index set is infinite, it no longer agrees with the product topology, which is not metrizable in any case.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prdsxms.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
Assertion
Ref Expression
prdsxms ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem prdsxms
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsxms.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 simp1 1133 . . . 4 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → 𝑆𝑊)
3 simp2 1134 . . . 4 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → 𝐼 ∈ Fin)
4 eqid 2758 . . . 4 (dist‘𝑌) = (dist‘𝑌)
5 eqid 2758 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
6 simp3 1135 . . . 4 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
71, 2, 3, 4, 5, 6prdsxmslem1 23235 . . 3 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → (dist‘𝑌) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑌)))
8 ssid 3916 . . 3 (Base‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑌)
9 xmetres2 23068 . . 3 (((dist‘𝑌) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑌)) ∧ (Base‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑌)) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑌)))
107, 8, 9sylancl 589 . 2 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑌)))
11 eqid 2758 . . . 4 (TopOpen‘𝑌) = (TopOpen‘𝑌)
12 eqid 2758 . . . 4 (Base‘(𝑅𝑘)) = (Base‘(𝑅𝑘))
13 eqid 2758 . . . 4 ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘)))) = ((dist‘(𝑅𝑘)) ↾ ((Base‘(𝑅𝑘)) × (Base‘(𝑅𝑘))))
14 eqid 2758 . . . 4 (TopOpen‘(𝑅𝑘)) = (TopOpen‘(𝑅𝑘))
15 eqid 2758 . . . 4 {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑔𝑘) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)‘𝑘) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑘 ∈ (𝐼𝑧)(𝑔𝑘) = ((TopOpen ∘ 𝑅)‘𝑘)) ∧ 𝑥 = X𝑘𝐼 (𝑔𝑘))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑔𝑘) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)‘𝑘) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑘 ∈ (𝐼𝑧)(𝑔𝑘) = ((TopOpen ∘ 𝑅)‘𝑘)) ∧ 𝑥 = X𝑘𝐼 (𝑔𝑘))}
161, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 15prdsxmslem2 23236 . . 3 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → (TopOpen‘𝑌) = (MetOpen‘(dist‘𝑌)))
17 xmetf 23036 . . . . 5 ((dist‘𝑌) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑌)) → (dist‘𝑌):((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))⟶ℝ*)
18 ffn 6502 . . . . 5 ((dist‘𝑌):((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))⟶ℝ* → (dist‘𝑌) Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
19 fnresdm 6453 . . . . 5 ((dist‘𝑌) Fn ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) = (dist‘𝑌))
207, 17, 18, 194syl 19 . . . 4 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) = (dist‘𝑌))
2120fveq2d 6666 . . 3 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → (MetOpen‘((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))) = (MetOpen‘(dist‘𝑌)))
2216, 21eqtr4d 2796 . 2 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → (TopOpen‘𝑌) = (MetOpen‘((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))))
23 eqid 2758 . . 3 ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) = ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
2411, 5, 23isxms2 23155 . 2 (𝑌 ∈ ∞MetSp ↔ (((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑌)) ∧ (TopOpen‘𝑌) = (MetOpen‘((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))))))
2510, 22, 24sylanbrc 586 1 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {cab 2735  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3857   ⊆ wss 3860  ∪ cuni 4801   × cxp 5525   ↾ cres 5529   ∘ ccom 5531   Fn wfn 6334  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Xcixp 8484  Fincfn 8532  ℝ*cxr 10717  Basecbs 16546  distcds 16637  TopOpenctopn 16758  Xscprds 16782  ∞Metcxmet 20156  MetOpencmopn 20161  ∞MetSpcxms 23024 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-icc 12791  df-fz 12945  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-hom 16652  df-cco 16653  df-rest 16759  df-topn 16760  df-topgen 16780  df-pt 16781  df-prds 16784  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-xms 23027 This theorem is referenced by:  prdsms  23238  pwsxms  23239  xpsxms  23241
 Copyright terms: Public domain W3C validator